數(shù)學(xué)分析研究論文

1、中國某某大學(xué)（本科）數(shù)學(xué)分析研究論文數(shù)信小組題目：函數(shù)的極值和最值的研究學(xué)院：數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院年級：2011級指導(dǎo)老師：XX（教授）完成時間:2014年6月8日函數(shù)極值與最值研究摘要：在實(shí)際問題中，往往會遇到一元函數(shù).二元函數(shù)，以及二元以上的多元函數(shù)的最值問題和極值問題等諸多函數(shù)常見問題。求一元函數(shù)的極值，主要方法有：均值等式法，配方法，求導(dǎo)法等。求一元函數(shù)的最值，主要方法有：函數(shù)的單調(diào)性法，配方法，判別式法，復(fù)數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法，換元法等。求二元函數(shù)極值，主要方法有：條件極值拉格朗日乘數(shù)法，偏導(dǎo)數(shù)法等。求二元函數(shù)最值，主要方法有：均值不等式法，換元法，偏導(dǎo)數(shù)法等。對于多元函數(shù)，由于自變量個數(shù)的增

2、加，從而使該問題更具復(fù)雜性，求多元函數(shù)極值方法主要有：條件極值拉格朗日法，等，對于多元函數(shù)最值問題與一元函數(shù)類似可以用極值來求函數(shù)的最值問題.主要方法有：向量法，均值不等式法，換元法，消元法，柯西不等式法，數(shù)形結(jié)合法等，關(guān)鍵詞：函數(shù)，極值，最值，極值點(diǎn)，方法技巧.Abstract:inpracticalproblems,oftenencounteraunaryfunction.Thefunctionoftwovariables,andmultiplefunctionsoftwoyuanmorethanthemostvaluequestionandextremumproblemsandmanyo

3、therfunctionsofcommonproblems.Extremumseekingabinaryfunction,themainmethodsare:inequalityextremummethod,distributionmethod,derivationetc.Thevaluefortheelementfunction,themainmethodsare:monotonemethod,functionmethod,thediscriminantmethod,complexmethod,derivativemethod,substitutionmethodetc.Fortwoyuan

4、valuefunction,themainmethodsare:conditionalextremumofLagrangemultipliermethodetc.Asktwoyuantothevaluefunction,themainmethodsare:meaninequalitymethod,substitutionmethod,partialderivativemethodetc.Formultivariatefunction,duetotheincreasednumberofvariables,sothatthemorecomplicatedtheproblem,findthefunc

5、tionextremevaluemethodmainlyhasconditionalextremumofmultivariateLagrangemethod,directionalderivative,formultivariatefunctionmostvaluethemostvalueproblemwiththefunctionofonevariablecanbeusedtofindthefunctionextremevalueissimilar.Themainmethodsare:vectormethod,themeanvalueinequalitymethod,substitution

6、,eliminationmethod,themethodofCauchyinequality,thecombinationmethod,Keywords:function,extremevalue,thevalue,extremepoints,methodsandtechniques第1頁共3頁引言作為函數(shù)性質(zhì)的一個重要分支和基本工具，函數(shù)極值和最值在數(shù)學(xué)與其他科學(xué)領(lǐng)域，如數(shù)學(xué)建模優(yōu)化問題、概率統(tǒng)計等學(xué)科都有廣泛應(yīng)用。不僅如此，函數(shù)極值理論在航海、保險價格策劃、航空航天等眾領(lǐng)域中也是最富變現(xiàn)性和靈和性，并起著不可替代的數(shù)學(xué)工具作用，許多實(shí)際問題最終都?xì)w結(jié)為函數(shù)極值和最值問題，生活中遇到的實(shí)際問

7、題，可以通過數(shù)學(xué)建模的方式，表示為函數(shù)形式，而在求解具體問題時往往需要應(yīng)用到極值和最值的求解，來為生產(chǎn)生活做保證！由此可見，研究函數(shù)極值和最值，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的理論基礎(chǔ)，是生活生產(chǎn)中的必備工具。它為我們對于數(shù)學(xué)的進(jìn)一步研究起到很大幫助；同時，它對于其它相關(guān)學(xué)科的理解、學(xué)習(xí)與應(yīng)用也起著十分重要的作用，更對其他學(xué)科領(lǐng)域的展開有很大的促進(jìn)作用。函數(shù)的極值和最值不僅是函重要的基礎(chǔ)性質(zhì)，在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動中也有著重要的應(yīng)用，對于不同類型的問題，我們應(yīng)有一個系統(tǒng)而簡便的方法，巧妙地運(yùn)用進(jìn)而達(dá)到熟練地掌握這些方法。而恰恰這些方法的終極解決，都?xì)w結(jié)于對函數(shù)極值和最值的求解。下面，就讓我們做一些簡單的歸納，研

8、究函數(shù)的極值和最值，詮釋一些方法和技巧，并附上具體的例子加以說明，讓我們明白函數(shù)極值和最值的相關(guān)問題及在生活實(shí)際中的各種應(yīng)用！第2頁共4頁(1)(4) (4)(5)(6)(10)(11)(11)(14)(16)目錄摘要引言1 函數(shù)極值1.1 極值概述1.2 極值判斷條件1.3 極值應(yīng)用實(shí)例1.4 求極值思想方法總結(jié)2 函數(shù)最值2.1 函數(shù)最值概述2.2 函數(shù)最值求法2.3 求函數(shù)最值思想方法總結(jié)學(xué)習(xí)心得(17)附錄致謝辭(18)(19)附錄一組員名單(19)附錄二開題報告(20)參考文獻(xiàn)(21)第3頁共5頁1函數(shù)極值1.1 極值概述1.1.1 函數(shù)極值的引入什么叫極值？在詮釋這個概念之前我們引

9、入一個定理-費(fèi)爾馬定理，下面給出他的定義：(1)若函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域U(xo)內(nèi)滿足：_xU(Xo),f(x)_f(Xo)則稱函數(shù)y=f(x)在xo點(diǎn)取極大值f(xo),%點(diǎn)稱為極大值點(diǎn).(2)若函數(shù)y=f(x)在x0的某鄰域U(xo)內(nèi)滿足：Vx=U(xo),f(x)>f(xo)則稱函數(shù)y=f(x)在xo點(diǎn)取極小值f(xo),xo點(diǎn)稱為極小值點(diǎn).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，即在某鄰域U(x0)內(nèi)作比較而獲得，而且曲線在極值點(diǎn)的切線是一條水平線如圖1,這就是費(fèi)爾馬定費(fèi)爾馬定理簡單的描述就是：若函數(shù)y=f(x)在xo點(diǎn)的某領(lǐng)域U(xo)內(nèi)有定義，且在幾點(diǎn)可導(dǎo)

10、，則小點(diǎn)為極值點(diǎn)=f(x°)=o.他的實(shí)質(zhì)就是可導(dǎo)與極值點(diǎn)的必要條件是穩(wěn)定點(diǎn)，但非充分。1.1.2 一元函數(shù)的極值定義：若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)可導(dǎo)，則有費(fèi)爾馬定理，x°點(diǎn)為極值點(diǎn)mf(xo)=o,而此時f(xo)就是所謂的極值。而f(x0)是極大值還是極小值呢？現(xiàn)在從圖2可以得到如下結(jié)論.(1)在(xo-Nxo)內(nèi)，f(x)<0；在(xo,xo+5)內(nèi)f(x)之0時，此時f(xo)為極第4頁共6頁小伯.(2)在(x1一&為)內(nèi),f'(x)之0;在(xXi+8)內(nèi)f'(x)«0時,止匕時f(x)為極大化yOxoxix圖21.1.3 二元

11、函數(shù)的極值定義：設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo，y。)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，對于該領(lǐng)域內(nèi)異于(x。,y°)的點(diǎn)(x,y),若滿足不等式f(x,y)<f(x°,y°),則稱函數(shù)在(x。"。)有極大值；若滿足不等式f(x,y)>f(xo,yo),則稱函數(shù)在(xo,y。)有極小值,極大值和極小值統(tǒng)稱極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。1.2 極值判別條件1.2.1 一元極值判別條件(1)必要條件：費(fèi)爾馬定理(2)充分條件.第一充分條件設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)連續(xù),在鄰域(xo-5,xo)和(xo,xo+6)內(nèi)可導(dǎo)，則(i)在鄰域(x0-6«

12、;0)上，f'(x)>0,在鄰域(x°,x0+6)上，f'(x)<0,nx0為極大點(diǎn)，f(x)在x0處取得極大值。(ii)在鄰域(x°-6,x°)上，f(x)<0,在鄰域(x°,x0+6)上，f(x)>0,nx0為極小點(diǎn)，f(x)在x0處取得極小值。由導(dǎo)數(shù)的符號可知函數(shù)的單調(diào)性，故結(jié)論成立。一般地，用極值的充分條件判別極值點(diǎn)時，常用列表法。.第二充分條件設(shè)函數(shù)y=f(x)在x。點(diǎn)的某鄰域U(x0,6)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x。點(diǎn)二階可導(dǎo)，且f(x0)=0,f(x)¥0,則f(%)>0=xO為極小值點(diǎn)，f

13、(x0)<0=x0為極大值點(diǎn)。證明：由二階泰勒公式得第5頁共7頁f(x)=f'(x)2f''(Xo)(X-X0)2o(x-X0)2)二f(x(0+1ff''(%)+o(1)(xX0)2,所以f''(x0)>0nX0為極小值點(diǎn)，f(x0)：:0=x0為極大值點(diǎn).1.2.2二元極值判別條件(1)必要條件設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(x°,y°)處有極值，則它在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)必然為零.有fx(x0,y°)=fy(x0,y°)。(2)充分條件設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

14、(x。,y。)的某領(lǐng)域連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)又fx(x0，y0)，fy(x0，y0),令fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B，fyy(x01y0)=C-則z=f(x,y)在點(diǎn)(x°,y°)處是否取得極值的條件如下：(i) AC-B2>0時具有極值，當(dāng)A>0時具有極大值，當(dāng)A<0時具有極小值；(ii) AC-B2<0時沒有極值。(iii) AC-B2=0時可能有極值，也可能沒有極值。1.3極值應(yīng)用實(shí)例前面介紹了極值和極值的判別，那到具體的應(yīng)用中如何應(yīng)用呢？理論要結(jié)合實(shí)踐，那么我們結(jié)合一些經(jīng)典題型說說到底如何求解極值的問題，來說明其方

15、法和技巧.1.3.1 極值的第一充分條件(列表法)例1.3.1求函數(shù)f(x)=(2x-5)3口的極值點(diǎn)與極值。解：函數(shù)f(x)=(2x-5)Tx2的定義域?yàn)?血產(chǎn))，當(dāng)E人口4一、10310110而x=0時，f(x)=x-x=333x=1是穩(wěn)定點(diǎn)，x=0是不可導(dǎo)點(diǎn)列表如下：x(-°0,0)(0,1)(1尸)_，f(x)+-+單調(diào)性所以x=0為極大值點(diǎn)，極大值為0,x=1為極小點(diǎn)，極小值為-3(如圖1)第6頁共8頁-3圖1.3.2 極值的第二充分條件c432例1.3.2求函數(shù)f(x)=x2+的極值點(diǎn)和極值。x解：函數(shù)f(x)=x2+432定義域?yàn)閤#0,當(dāng)x#0時，f'(x)=

16、2x-432令f'(x)=0得xx864x=6，又f(x)=2+864得f(6)=6>0,所以x=6為極小點(diǎn)，極小值f(6)=108.x如果f''(x0)=0，則f'''(%)¥0寸，函數(shù)f(x)在乂0點(diǎn)不能取到極值，當(dāng)/(刈)=0,f(4)(x0)#0時，可以四階導(dǎo)數(shù)的符號來判別極值點(diǎn)，方法同第二判別法。1.3.3 極值的第一充分條件和極值的第二充分條件例1.3.3求函數(shù)f(x)=x4(x-1)3的極值點(diǎn)和極值。解：f'=x3(x)(x-1)2(7x-4),令f'(x)=0得x=0,1,4,f''

17、(x)=6x2(x-1)(7x2-8x2),得“4、446912一f(1)=0,f(-)>0,f(0)=0所以x=一為極小點(diǎn)，極小值為f(一)=,又777823543f'''(x)=6x(35x3-60x2+30x-4)，有f'''(0)=0,f'''(1)a0,所以x=1非極值點(diǎn);再f(4)(0)：二0，所以x=0為極大點(diǎn)，極大值為f(0)=0.1.3.4 極值的第一充分條件例1.3.4由一寬為24cm的長方形鐵板，把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？解：設(shè)折起來的邊長為xcm

18、,傾斜角為口，那么梯形斷面的下底長為24-2x,上底長為24-2x+2xcosa,高為xsina,則斷面面積1，一A(242x2xcos：242x)xsin-222A=24xsin、工2xsin1一x31D:0cxe12,0<«<,2卜面是求二元函數(shù)A(xp)在區(qū)域第7頁共9頁D:0<x<12,0<aM萬上取得最大值的點(diǎn)（x,a）0Ax=24sina-4xsina+2xsinacosotAa=24xcosa-2xcosa+x(cosa由于since#0,x#0上式為12-2xxcos：-0(1)224cos:-2xcos工二x(2cos:1.(2)式得x

19、=8,再求出cosot=,則有2二02-sin=0-1)-0將cosa=2x-1*2代入x0,于是方程組的解是a=600,x=8cm3在考慮邊界，當(dāng)口=土?xí)r,2函數(shù)A=24x_2x2為x的一元函數(shù)，求最值點(diǎn)，由A=24-4x=0,得x=6。dr*r、J-冗、-八冗所以A(6,)=246sin222:rc2M62sin=72,222A（8,）=248sin28sin+8sincos=48,3之83。33333根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在，并且在區(qū)域D:0<x<12,0<«（一內(nèi)取得，通過計算得知«2時的函數(shù)值比6=60°,x=8cm時函數(shù)值

20、為小，又函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，因此可以斷定，當(dāng)x=8cm,a=600時，就能使斷面的面積最大1.3.5 偏導(dǎo)數(shù)法二13-8x2-4xi=0X根據(jù)極值存在的必要條件，令f25-8xi-10X2=0j：，X2351351.得Xi=35,X2，即為駐點(diǎn)（35,1）,利潤函數(shù)在駐點(diǎn)處的Hesinn矩陣126126易驗(yàn)證Hesinn矩陣A為負(fù)定矩陣，所以f在駐點(diǎn)（上）處達(dá)到極大值，也是最126大值，即最優(yōu)廣告策略為：電臺廣告費(fèi)用和報紙廣告費(fèi)用分別為差萬元和萬126元，此時可獲得最大利潤。1.3.6條件極值拉格朗日數(shù)乘法用條件極值的方法，把問題轉(zhuǎn)化為無條件極值，正確寫出目標(biāo)函數(shù)和約束條件。例1.3.6經(jīng)

21、過點(diǎn)（1,1,1）的所有平面中，哪一個平面與坐標(biāo)面在第一卦限所圍的立體的體積最小.并求此最小體積.解:設(shè)所求平面方程為：Xyz=1,（a0,b0,c.0）.abc111因?yàn)槠矫孢^點(diǎn)（1,1,1）,所以該點(diǎn)坐標(biāo)滿足此平面萬程，即有+=1,（1）abc設(shè)所求平面與三個坐標(biāo)平面所圍立體的體積為v,則v=1abc（2）6原問題化為目標(biāo)函數(shù)（2）在約束條件（1）下的最小值，作拉格朗日函數(shù)1111L（a,b,c）abc"-1）.6abc求函數(shù)L的各個偏導(dǎo)數(shù)，并令他們?yōu)?,得方程組：111一bc-2=0,ac-2=0,ab-2=0,6a6b6c解方程組得a=b=c=3,由于最小體積存在，函數(shù)又有唯

22、一的駐點(diǎn)，故a=b=c=3為所求，即平面為：x+y+z=1,與坐標(biāo)面在第一卦限所圍物體的體積最小.最小體積為Vmin=133=2。621.3.7均值不等式法用均值不等式求解問題的極值時，一定要注意自變量的要求：一正，二定,第9頁共11頁能等的關(guān)系例1.3.7當(dāng)x為何值時，函數(shù)丫=/9*2+6+2取得極值。IX解：1(9x242)-9x22=62x,x224.9x242_12xc2c49x62_18x18=3,2式子兩邊都是非負(fù)數(shù)，分別去算術(shù)平均根，得y=9x2642x6.ymin=3、,2此時*=631.3.8配方法用配方法求解極值問題，可以將整個函數(shù)的極值問題轉(zhuǎn)化為局部函數(shù)的最值問題來求解，

23、使問題更加簡單化。例1.3.8求函數(shù)y=一2一1的極值。cosx-cosx3解：令u=cos2x-cosx+3,貝八=cos2xcosx+3=cos2x-cosx+一-+3=44(cosx-1)2+二y=1取極大值的條件是u取最小值，24u1 1y=L取極小值的條件是U取最大值；y=1取極小值的條件是U取最大值UUumax。(cosx1)2取最大值=cosx=-1，則y的極小值為,25umin二(cosx-)2=0取最小值=cosx=,則y的極大值為.22111.4求極值思想方法總結(jié).(1)求解函數(shù)極值的問題，由以上的例題求解一元函數(shù)，二元函數(shù)，以及多元函數(shù)極值的解答方法來看，求取極值的方法很

24、多，但一般極值問題能用多種方法求解，具體極值問題得看具體情況，可以根據(jù)自己對方法掌握的程度來選擇，由于求解極值的方法很多，我這里只是其中一部分，大多數(shù)的思想一致，少數(shù)思想比較特別。通過前面的應(yīng)用實(shí)例，不難看出求一元函數(shù)，二元函數(shù)，以及多元函數(shù)極值的思想和方法第10頁共12頁2函數(shù)最值2.1 最值概述.提到函數(shù)，就不難會想到函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性、連續(xù)性、可導(dǎo)性等等，下面就對此進(jìn)行簡單說說.2.1.1 函數(shù)最值的定義一般地，若一元函數(shù)f（x）在閉區(qū)間上a,b上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上必取得最大值和最小值，函數(shù)的最大（?。┲蹬c函數(shù)的極值是有區(qū)別的，前者是指整個區(qū)間a,b所有函數(shù)值中的最

25、大（?。┲担虼俗畲螅ㄐ。┲凳侨指拍?。但如果函數(shù)的最大（小）值在區(qū)間（a,b）取得，那么函數(shù)的最大（?。┲狄彩菢O大（?。┲?。一般地，對二元函數(shù)z=f（x,y）的最值問題定義而言，與一元函數(shù)類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最值。若函數(shù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f（x,y）在D上必取得最值，且函數(shù)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)比在函數(shù)的極值點(diǎn)或邊界點(diǎn)上。因此只需求出f（x,y）在這個駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值及在邊界點(diǎn)上的最值。推廣到多元函數(shù)也是如此，其核心思想不變！但定義過程比較麻煩，求解更是如此。2.1.2 初等函數(shù)與性質(zhì)2.1.2.1 有界性函數(shù)的值域有上界稱為函數(shù)的上界，有下界稱為函數(shù)下界，函數(shù)值域

26、有界稱為函數(shù)有界.定義：設(shè)f（x）是定義在X上的函數(shù)，D是X的子集，如果存在數(shù)M,使得對于D中的任意x,則稱f（x）在D上有界.2.1.2.2單調(diào)性定義：設(shè)f(x)是定義在X上的函數(shù)，D是X的子集，如果對于D中任意兩點(diǎn)x1,X2,當(dāng)X1<X2時，f(x)<f(X2),則稱f(x)在D上單調(diào)增，相反，單調(diào)減.2.1.2.3 奇偶性f(x)為奇函數(shù)uf(x)=f(x),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.f(x)為偶函數(shù)Uf(x)=f(x),其圖像關(guān)于y軸對稱.2.1.2.4 周期性在D上，f(x)為周期函數(shù)二Bk>0,3"VxwD,f(x+k)=f(x)”，則k為f(x)的一個周期，

27、顯然周期并不唯一.2.1.2.5 可導(dǎo)與連續(xù)若函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，則y=f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)由此，可據(jù)函數(shù)的可導(dǎo)求極值點(diǎn)，進(jìn)而討論函數(shù)最值.2.1.3 6種基本初等函數(shù)2.1.3.1常數(shù)函數(shù)y=C.定義域?yàn)镽,圖像平行于x軸.2.1.3.2幕函數(shù)y=*%(二為實(shí)數(shù)).2.1.3.3指數(shù)函數(shù)y=ax,(a>0,a#1).奇圖像如圖21.1.1 .4對數(shù)函數(shù)y=logax,(a>0,a¥1).圖像如圖32.1.3 .5三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx余弦函數(shù)y=cosx第12頁共14頁第13頁共15頁2.2 函數(shù)最值求法函數(shù)最值求法，其

28、方法多種多樣，下面我們列舉出如下8中并結(jié)合例題來說明其數(shù)學(xué)思想2.2.2 復(fù)數(shù)法用復(fù)數(shù)方法求解函數(shù)的最值問題，就是運(yùn)用復(fù)數(shù)的模以及絕對值的性質(zhì)來求解，關(guān)鍵是構(gòu)造復(fù)數(shù)。例2.2.1求函數(shù)f(x)=x2-2x+5+Jx2+1的最值。解:x2-2x+5=(x-1)2-(2i)2&z1=(1x)+2i,z2=x+i,f(x)=闖+|z2|,丁團(tuán)+怪閆4+z卜1x+2i+x+i|=11+3i|=廂，等號當(dāng)且僅當(dāng)0Z1與0Z2同向，即Lx=4亦即x=1時成立，故f(x)min=忑02132.2.3 配方法用配方法求解最值問題，可以將整個函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為局部函數(shù)的最值問題來求解，使問題更加簡單化

29、。例2.2.2求函數(shù)y=2-74x-x2的最小值。解：設(shè)f(x)=-x2+4x(f(x)之0),配方得f(x)=-(x-2)2+4,則f(x)的最大值為4,即ymin=。為所求。2.2.4 判別式法用判別式法，可以將函數(shù)的最值問題化為一元二次函數(shù)的問題，進(jìn)而化為判斷一元二次函數(shù)判別式的問題，關(guān)鍵是二次項(xiàng)系數(shù)不為零。例2.2.3求函數(shù)y=,2-2x3的最值。2x2x1解：由原函數(shù)可得關(guān)于x的一個二次方程(2y-1)x2-2(y+1)+(y+3)=0為使得方程有實(shí)數(shù)解x,必須有AO.即=4(y+1)2-42y-1)(y+3)之0,化簡得(y+4)(y-1)<0,<y«1;即y

30、min=Y,ymaX=1。2.2.5 導(dǎo)數(shù)法用導(dǎo)數(shù)法是在，極值點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)，端點(diǎn)中，通過對函數(shù)值的比較而得最值點(diǎn)，若函數(shù)在某區(qū)間只有極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值。若函數(shù)在整個區(qū)間都不連續(xù)的，就把它分為多連續(xù)的個區(qū)間，分別求出每個區(qū)間的極值，最后在求出最值。例2.2.4求函數(shù)f(x)=(x1)2(x-2)3在0,3上的最值。第14頁共16頁解：f'(x)=(x-1)(5x7)(x-2)2，令f'(x)=0,得x=1,x=2,x=1.經(jīng)計算得f(0)=-8,f(1)=0,f(7)=_0.035,f(2)=0,f(3)=4，所以f(x)在0,3上的最大值是4,最小.5

31、值是-8.2.2.6 函數(shù)的單調(diào)性法當(dāng)自變量的取值范圍為一區(qū)間時，常用單調(diào)性法來求函數(shù)的最值，若函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)性的，那么函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)取得最值，若函數(shù)在該區(qū)間不是單調(diào)的，把該區(qū)間分成各個小區(qū)間，使得函數(shù)函數(shù)在每個區(qū)間上是單調(diào)的，在求出各個區(qū)間上的最值，在比較，最后求得整個區(qū)間上的最值。例2.2.5求函數(shù)f(x)=<8x-x2-Jl4x-x2-48的最值。解：由題意得定義域8x-x2>0,14x-x2-4820得6WxE8,又丫(而二x)(夜VT=6)=戶8E,6,8,故當(dāng)xw6,8,且x增力口時Jx6增大，Jx+Jx-6而J8-x減小,于(xS#x的增大而減小(x)在艮區(qū)間上

32、減函數(shù)，所以fmin(x)=f(8)=0,fmax(x)=f(6)=2、3。2.2.7 換元法用換元法求函數(shù)的最值，就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，把某一部分看作一個整體或用新元來代替，達(dá)到問題化難為易，化陌生為熟悉，從而使原問題得到解答。換元法通有三角代換和代數(shù)代換兩種。例2.2.6正數(shù)x,y,滿足-+-=1,其中a,b為不相等的正常數(shù)，求x+y的最小值.xy解：令-=,2=上，其中v,心0,xu+vyv+uWJx+y=a(u+v)+b(v+u)=a+b-十四至a+b+2，ab,當(dāng)且僅當(dāng)受十至，即J"aV=4buuv_u_vuv時上式取等號，故(x+y)min=(Ja+db)2。2.2.

33、8 消元法消元法是指通過消去變量(未知數(shù))從而達(dá)到解題的目的。該方法是求多元函數(shù)最值最基本的方法。例2.2.7.已知3x2+2y2=9x,求s=2(x+y)的最值.i，,、r111o斛：條件3x+2y=9x知y=(9x-3x)2221219281s-2(x-y)-2x(9x-3x)-2(x)第15頁共17頁一c1c又y2,-（9x-3x2）,0,2_一一一.x-3x_0,.x0,3一9而9盤0,3,函數(shù)s在0,3上是增函數(shù)，當(dāng)x=3tSmax=18，當(dāng)x=0時，Smin=022.3.8柯西不等式法柯西不等式：設(shè)己色,.;匕力2.1均為實(shí)數(shù),則有(a1b1+a2b2+.anbn)2w（a；+a；

34、+.+a；）（b；+b；+.+b；）等號當(dāng)且僅當(dāng)a,=g（7.是常數(shù)，i=1.,2,3.n）時取得例2.2.8設(shè)x,y,z>0,且x+y+z=1,求u=1+，+9的最小值xyz解：由柯西不等式可得，u=+9=（x+y+z）口+xyz|xyz22由x2=匕=三及x+y+z=1可得x=-,y=,z=-，故Umin=36。496322.3求函數(shù)最值思想方法總結(jié)求解函數(shù)的最值問題，涉及到函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃、解析幾何、向量等諸多數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識，更體現(xiàn)了函數(shù)思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想等若干核心數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。掌握一元函數(shù)問題最值的求解，是求其它多元函數(shù)最值的關(guān)鍵。求解二元函數(shù)最

35、值，核心思想是化二元為一元一一將復(fù)雜問題化歸為簡單模型是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵，也是本質(zhì)。通過消元或換元，將一個二元問題簡化為一元函數(shù)問題，依托于學(xué)生所熟識的一元函數(shù)達(dá)到求解二元函數(shù)最值的目的。應(yīng)用實(shí)例中敘述的消元法和換元法都是這一思想的具體運(yùn)用。同時，求解多元函數(shù)最值問題時，聯(lián)系題目中條件與最值問題所對應(yīng)的幾何意義一一利用數(shù)形結(jié)合的思想，將多元函數(shù)問題化歸為二元函數(shù)和一元函數(shù)變換關(guān)系，通過觀察圖形的幾何意義來解決問題，是此類問題其求解的又一寶。止匕外，結(jié)合已知條件，利用重要不等式來解決問題是我們可以借助的又一重要工具。均值不等式法就體現(xiàn)了這一思想，求解函數(shù)最值問題的方法很多，這里我們只是研究了其中一

36、些方法，通過多種求解最值方法我們得到一題可以用多種方法來求解，一種方法亦可以用于多種問題的思想。第16頁共18頁學(xué)習(xí)心得我們組的論文題目是函數(shù)極值與最值研究，從第四周選題后，經(jīng)過開題、檢索文獻(xiàn)、整理分析文獻(xiàn)、擬定寫作方案，小組進(jìn)行分工、討論等。通過此次論文寫作使我們充分認(rèn)識了函數(shù)極值和最值以及掌握其求解方法，求解函數(shù)的極值和最值問題，涉及到函數(shù)、不等式、復(fù)數(shù)、柯西不等式、向量等諸多高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識，更體現(xiàn)了函數(shù)思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想等若干核心數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，讓我們感受到了數(shù)學(xué)的真正魅力，數(shù)學(xué)來源于生活，而又高于生活，生活中處處離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)讓我們明白只有理論與實(shí)際相結(jié)

37、合才能真正實(shí)現(xiàn)它的價值，我們才能用它來創(chuàng)造價值，滿足我們的需要。時光飛逝，我們大三的生活即將結(jié)束，課程也差不多結(jié)束了，在此學(xué)校為我們開了數(shù)學(xué)分析研究這門課，對此老師安排了這次論文寫作，它不僅是對我大學(xué)幾年對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)成果的檢驗(yàn)和總結(jié)，更是對能力的一種提升。寫作前，我們查閱了大量文獻(xiàn)資料，進(jìn)行整理分析，提取有用信息，對此我們真的學(xué)到好多新知識，提高了文獻(xiàn)檢索能力和分析問題能力；在寫論文過程中，我們體會到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，體現(xiàn)了團(tuán)隊(duì)合作的默契，雖然有些意想不到的問題出現(xiàn)，棄的我們很頭疼，但通過大家的努力還是能解決，然而解決問題后看到大家的喜悅及成就感真的很棒，增強(qiáng)了我們學(xué)習(xí)的自信心，相信對以后的

38、學(xué)習(xí)、工作、生活都將有著很深的影響，鍛煉了邏輯思維能力，提高了動手能力，以及在word中繪數(shù)學(xué)圖形的操作能力，還有培養(yǎng)了我們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。當(dāng)然我們也發(fā)現(xiàn)了自身存在的很多問題，比如知識的儲備不夠，發(fā)現(xiàn)自己還有許多東西需要學(xué)習(xí)，認(rèn)識到學(xué)習(xí)是一個長期積累的過程，在以后的學(xué)習(xí)工作生活中，都要做好準(zhǔn)備，隨時學(xué)習(xí)，時刻注意自身素質(zhì)和能力的全面提高；在論文的寫作過程中感觸最深的是注意細(xì)節(jié)的重要性，寫論文時，常常會遇到一些細(xì)小問題，如：字體、字間距、符號等，這些細(xì)節(jié)問題常常導(dǎo)致我們的論文一遍又一遍的修改，浪費(fèi)了很多時間，造成很多麻煩，這也使我們意識到細(xì)節(jié)的重要性，使我們在以后的生活工作中

39、更加的注意細(xì)節(jié)，有時往往就是一些細(xì)節(jié)問題決定了成敗。最后在寫論文的過程中，得到了老師和同學(xué)們的幫助，在此，要感謝大家對我們的幫助和支持，謝謝！第17頁共19頁致謝辭這次論文在徐波老師的教導(dǎo)下完成的，X老師淵博的專業(yè)知識、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，嚴(yán)于律己、寬以待人的崇高風(fēng)范，以及平易近人的人格魅力對我們影響深遠(yuǎn)。讓我們樹立了考研等學(xué)習(xí)目標(biāo)、掌握了基本的研究方法，明白了許多為人處事的道理。在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！時光匆匆如流水，轉(zhuǎn)眼間大學(xué)三年過去了，春夢秋云，聚散真容易。修讀課程也隨之進(jìn)入了尾聲。在此，在大三下學(xué)校開了數(shù)學(xué)分析研究這課，為了讓我們更好的掌握知識，老師安排了本次論文寫作，對于此次論文的順利完成