數(shù)學函數(shù)模型在科學中的應用

1、數(shù)學函數(shù)模型在科學中的應用摘要：在初中科學教學中構建合適的模型，可以有效的開展教學。在研究物理量之間的量化關系時，通常要控制變量，這使得研究結果與可變因素間形成了數(shù)學的自變量與應變量的關系，構建相應的函數(shù)模型在教與學問搭建橋梁，使學習變得高效而充滿趣味。關鍵詞：函數(shù)模型；科學；應用科學實驗探究中，首先定性的研究可變因素與結果之間的關系。若存在定性的關系則進一步研究存在的定量關系，對于結果可能存在多個影響因素，使用控制變量的方法，使得結果與可變因素形成一一對應關系，這恰好對應數(shù)學的函數(shù)。以下筆者就函數(shù)模型在科學中的應用過程淺談一些看法。一、函數(shù)的定義及常見類型1、函數(shù)指在某變化過程中設有兩個變量

2、x,y,按照某個對應法則，對于每一個給定的x值，都有唯一確定的y值與之對應，那么y就是x的函數(shù)。其中x叫自變量，y叫x的因變量。2、初中常見的函數(shù)類型(1)一次函數(shù)：表達式為y=kx+b(kw0,k、b均為常數(shù))的函數(shù)，叫做y是x的一次函數(shù)。當b=0時稱y為x的正比例函數(shù)，其圖像為直線。正比例函數(shù)是一次函數(shù)中的特殊情況。當常數(shù)項為零時的一次函數(shù)，可表示為y=kx(kw0),其圖像為經(jīng)過坐標原點的直線。(2)反比例函數(shù)：形如函數(shù)y=k/x(k為常數(shù)且kw0)叫做反比例函數(shù)，其圖像為雙曲線。(3)分段函數(shù)：分段函數(shù)；對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)。它是

3、一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)：分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，值域也是各段函數(shù)值域的并集。二、構建函數(shù)模型教學在初中科學教學過程中，涉及很多物理量之間量化關系的研究。在選擇教學方法中，先讓學生將實驗數(shù)據(jù)建立表格模型，然后建立坐標軸進行描點，用光滑曲線連起來形成圖像模型，在利用圖像特點回歸到函數(shù)模型。這一方法符合學生的認知規(guī)律，同時加強了學科之間的聯(lián)系，使得學生對研究問題的認識明顯提高。八年級科學（上）第四章電路探秘，在學習了電路的基本物理量電流、電阻、電壓之后，需要研究三者之間的量化關系，通常的做法是：（1）控制電阻一定，研究電壓與電流的關系。（2）控制電壓一定，研究電流與電阻的關系。在（

4、1）中設計電路圖（甲）如下所示，移動滑動變阻器得到電壓和電流的多組數(shù)據(jù)并記錄表格（表一）。R-5Q電壓/V電流/A表一從表格模型中，可以初步得出：電阻一定時，通過導體的電流隨電壓的增大而增大。接下來建立坐標軸，橫坐標為電流，縱坐標為電壓，將表格中的數(shù)據(jù)進行描點，最后用光滑的線連起來，得到一條經(jīng)過坐標原點的線段。從函數(shù)的角度，這符合正比例函數(shù)y=kx圖像的特征。由此進一步可以得到結論：電阻一定時，導體中的電流與電壓成正比。用同樣的方法進行上述（2）的研究，得到的圖像符合反比例函數(shù)y=k/x圖像的特征。由此進一步可以得到結論：電壓一定時，導體中的電流與電阻成反比。最后確定電壓、電阻、電流三者的關系

5、為：I=U/R在上述的研究過程中，科學的物理量之間的定量關系借助數(shù)學函數(shù)圖像的建立過程，回歸到自變量與應變量的關系，使最后結果的得出順理成章。學生在學習過程中，對此類問題的研究有了明確的方法，自主學習能力得到加強。三、對實際問題的模型構建學生在學習中利用構建函數(shù)模型的思想，抓住所研究問題的本質特征，對原型進行抽象，把復雜的原型客體加以簡化和純化，并對抽象的假設或命題進行邏輯轉換，以構建一個能反映原型本質聯(lián)系的函數(shù)模型。不僅可以使學生更好地掌握科學知識，同時可以培養(yǎng)學生的研究能力。例如：當一個物體由靜止開始自由下落過程中，重力做功的功率與下落時間的關系。通常的方法是先計算做功再除以下落時間，即P

6、=W/t。但用公式P=GV這個公式模型判斷，此時功率取決于V的變化情況。自由落體運動中速度V=gt,故功率P=Ggt公式中G和g都是定值，從公式模型中可看出功率P和時間t成正比，符合正比例函數(shù)模型。故可以做圖來形象的理解，如下圖（一）所示。如果想進一步研究重力做功與時間的關系，可從原來功率的計算基礎上再乘以時間，考慮這是一個勻加速過程，故速度應取平均值，即V=1/2gt。此時重力做功可表示為W=1/2Ggto此公式模型屬于二次函數(shù)，對應的圖像應為拋物線，如下圖（二）所示。圖（二）圖（一）根據(jù)研究的任務、目的抽象出被研究對象的本質特征，舍去許多次要的細節(jié)和非本質的屬性，把要研究的現(xiàn)象、問題從紛繁

7、復雜的交錯關系中明確、清晰地顯示出來，使問題得以簡化和明確化，并制訂出解決問題的程序，從而充分地發(fā)揮思維的能動作用，達到認識原型的目的。四、利用函數(shù)公式模型與圖像模型解題函數(shù)模型是聯(lián)系實際問題與數(shù)學的橋梁，具有解釋、判斷、預測等重要功能,在科學研究中，函數(shù)模型是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索新規(guī)律的有效途徑之一。1、物理學中的一次函數(shù)運用例如：在一次校運動會，小明騎一質量為m的獨輪車，以速度v勻速通過一重為G長為L的水平獨木橋，獨木橋的兩端由兩根豎直支柱A、B支撐著，如圖所示.設獨輪車騎上A端支柱處為初始時刻（t=0）,下面哪一個圖正確地表Fb與時間t的函數(shù)關系？（不考慮獨木橋的形變）（C.B.A.

8、示了B端支柱所受壓力首先要分析橋的受力，左右兩端的支持力分別為Fa、Fb,橋自身的重力G在橋上移動的人與車的重力mg我彳門以A為支點，那么橋的重力和人車重力都是要讓橋順時針轉動的力，而B端的支持力是要使橋逆時針轉動的力，因此有FbXL=GX0.5L+mgX,X是人車距離A端的距離：X=vt,因此可計算得到Fb=（mgv/L）xt+0.5G。當t=0時，F(xiàn)b=0.5G,當t=L/v也就是行駛到B端時：FB=0.5G+mg。綜上B端支柱所受壓力Fb與時間t構成一次函數(shù)關系，其圖像為上述B選項所示。物理學中涉及很多物理量間的量化關系，當我們控制其他的可變因素之后，研究結果與唯一可變因素之間就形成了相

9、應的函數(shù)關系。結合函數(shù)公式模型和對應的圖像模型，讓解題變得輕松而有據(jù)可循。通過科學與數(shù)學的整合，有利于培養(yǎng)學生簡約、嚴密的思維品質。2、化學中的分段函數(shù)運用例如：做實驗時，小科取了40mL的Ba（OH2溶液，并隨手倒人等量的稀鹽酸（均未知濃度）。老師發(fā)現(xiàn)后，遞給他一瓶未知質量分數(shù)的6CO溶液，讓小科來檢測混合溶液的酸堿性。小科在混合液中慢慢滴入&CQ,溶液，獲得相關數(shù)據(jù)并繪成如圖所示圖象%C03溶液的質量收圖（三）本題圖形從數(shù)學的角度可看作是分段函數(shù)模型。當碳酸鉀溶液質量x取值范圍在（0,10）時，生成沉淀質量為y=0;當碳酸鉀溶液質量x取值范圍在110,40時，生成沉淀質量為y=0.

10、328x+3.28;當碳酸鉀溶液質量x取值范圍在40時，生成沉淀質量為y=0。分析原溶液發(fā)生的反應為Ba（OH）+2HCl=BaC2+2HQ三個取值范圍內發(fā)生的是不同的變化，x取值范圍在（0,10）發(fā)生的反應是K2CO+2HCl=2KCl+HO+COt反應后的溶質組成為：BaCb、KCl;x取值范圍在10,40時，BaCl2+&CO=BaCOj+2KCl反應后的溶質組成為：KCl;x取值范圍在40時，碳酸鉀過量，沒有反應發(fā)生，此時溶質的組成為：KCl、&CO相關的圖形都可采取上述的方法進行分析，理清在不同區(qū)域的變化，判斷反應結束時溶液的物質組成，完成所設問題的回答。并且此類為題可以推廣為如圖（二）所示的類型，解題的思路是一致的?？傊?，構建函數(shù)模型是數(shù)據(jù)處理的重要方法，充分理解函數(shù)公式模型與圖像模型的建立過程，以此來指導科學研究過程的數(shù)據(jù)處理，可以培養(yǎng)學生的學習能力和思維廣度。學生置身于探索科學現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)科學規(guī)律的活動中，充分體會了學科之間的交融。學以致用激發(fā)其學習的積極性，以及繼續(xù)探索相關問題的濃厚興趣。同時順著科學