無(wú)窮小與無(wú)窮大和極限的關(guān)系ppt課件

1、二二 無(wú)窮小與無(wú)窮大和極限的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大和極限的關(guān)系三三 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)第四節(jié)第四節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大一一 無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念一、無(wú)窮小與無(wú)窮大的概念定定義義 1 1 如如果果對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在正正數(shù)數(shù) ( (或或正正數(shù)數(shù) X) ), ,使使得得對(duì)對(duì)于于適適合合不不等等式式 00 xx( (或或 xX) )的的一一切切x, ,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf都都滿滿足足不不等等式式 )(xf, , 那那末末 稱稱函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx ( (或或 x) )時(shí)

2、時(shí)為為無(wú)無(wú)窮窮小小, ,記記作作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或 極限為零的變量稱為無(wú)窮小極限為零的變量稱為無(wú)窮小. .1.1.無(wú)窮小無(wú)窮小例如例如, , 0sinlim0 xx時(shí)的無(wú)窮小.時(shí)的無(wú)窮小.是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)0sinxx, 01lim xx時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小. .是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx1, 0)1(lim nnn時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小. .是是當(dāng)當(dāng)數(shù)數(shù)列列 nnn)1(注意1.無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù). .2.2.無(wú)窮大無(wú)窮大定義 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)M(不論它多么小),總存在正數(shù)

3、(或正數(shù)X),使得對(duì)于適合不等式 00 xx(或 xX)的一切x,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式 Mxf )(, 則稱函數(shù))(xf當(dāng)0 xx(或x)時(shí)為無(wú)窮小,記作 ).)()( xfxf或或 絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱為無(wú)窮大. . 0 xxlim xlim 特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3. 無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.認(rèn)為極限存在.2.切勿將)(lim0 xfxxxxy1sin1 但不是無(wú)窮大.但不是

4、無(wú)窮大.是一個(gè)無(wú)界變量,是一個(gè)無(wú)界變量,當(dāng)當(dāng)例如,例如,xxyx1sin10 時(shí),), 3 , 2 , 1 , 0(221kL kkxp pp p取取(1),22)(kp pp p kxy.)(,kMxy 充分大時(shí)充分大時(shí)當(dāng)當(dāng)k), 3 , 2 , 1 , 0(21kL kkxp p取取(2), kxk充分大時(shí),充分大時(shí),當(dāng)p pp pkkxyk2sin2)( 但但.0M 不是無(wú)窮大不是無(wú)窮大無(wú)界，無(wú)界，.11lim1 xx證證明明例證. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取時(shí),Mx110 當(dāng)當(dāng).11Mx 就就有有.11lim1 xx的圖形的鉛直漸近線.是函數(shù)則直線,如果

5、:定義)()(lim00 xfyxxxfxx 11 xy1.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè),)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設(shè)設(shè),)(0時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 定定理理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其其中中)(x 是是當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮小小. 二、無(wú)窮小與無(wú)窮大和極限的關(guān)系 x 0 xx 是時(shí)無(wú)窮小.2. 2. 無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的

6、關(guān)系. 0)(1lim ,)(lim .)(1lim ),0)( , 0)(limxfxfxfxfxfxxxx則(2)若 則(1)若 定理2即：即： 無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小，非零無(wú)窮無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小，非零無(wú)窮小的倒數(shù)是無(wú)窮大小的倒數(shù)是無(wú)窮大. .)(1 xf即即證 (2),1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng).)(lim0 xfxx設(shè)設(shè).為無(wú)窮小為無(wú)窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))(1,0 xfxx 注注 關(guān)于無(wú)窮大的討論關(guān)于無(wú)窮大的討論, ,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮 小的討論小的討論. .,1)(0, 0, 0 0MxfxxM 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng) 為為無(wú)無(wú)窮窮大大. .

7、時(shí)時(shí), ,當(dāng)當(dāng))(10 xfxx , 0)( xf由由于于.)(1Mxf 從從而而. 0)(, 0)( )1( xfxf且且設(shè)設(shè) 0 xxlim意義意義 1.1.將一般的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊的極限問(wèn)將一般的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊的極限問(wèn) 題題( (無(wú)窮?。?；無(wú)窮?。?； 2.2.給出了函數(shù)給出了函數(shù) 在在 附近的近似表達(dá)附近的近似表達(dá) 式式 )(xfox).()(xAxf 誤差為誤差為, 三、 無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理3同一過(guò)程中，有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.證：時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小,時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小,是當(dāng)是當(dāng)及及設(shè)設(shè) x 使使得得, 0, 0, 021 XX 注意：無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的和不一定是無(wú)窮小注意：無(wú)限

8、個(gè)無(wú)窮小量的和不一定是無(wú)窮小. .例如，例如，不是無(wú)窮小.不是無(wú)窮小.個(gè)之和為1,個(gè)之和為1,但但是無(wú)窮小.是無(wú)窮小.時(shí)時(shí)nnn1， ;22 時(shí)時(shí)恒恒有有當(dāng)當(dāng)Xx 22 , ,max21XXX 取取恒恒有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),Xx . 0)lim( ;21 時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng)Xx定理4 有界函數(shù)與無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小.證 內(nèi)有界,內(nèi)有界,在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(10 oxUu使得當(dāng)使得當(dāng)則則, 0, 01 M時(shí)時(shí)10|0 xx,|Mu 恒恒有有恒有恒有又設(shè)又設(shè) 是當(dāng)是當(dāng) 時(shí)的無(wú)窮小，時(shí)的無(wú)窮小， 0 xx , 0, 02 使得當(dāng)使得當(dāng)20|0 xx.|M 取取,min21 則當(dāng)則當(dāng) |00 xx 時(shí)恒有時(shí),| MMuu為為無(wú)無(wú)