數(shù)學論文數(shù)學中的對稱美及應用

1、談數(shù)學中的對稱美與在解題中的應用吳戀，數(shù)學計算機科學學院摘要本文首先討論了數(shù)和式中的對稱美.其次運用對稱思想來解決數(shù)學問題.在數(shù)學問題的解題過程中，巧妙地構造對稱美，從整體上把握問題的實質，優(yōu)化解題過程.先是就對稱在微積分中的應用，列舉了一些重要的結論及其在解題中的具體應用再研究了幾何圖形中的對稱美.然后討論了數(shù)學中其它方面的對稱美.特別是對稱在記憶數(shù)學公式和數(shù)學方法中的應用.最后探討了對稱思想在數(shù)學教學中的應用，通過在數(shù)學教學中落實對稱的數(shù)學美的思想方法，從而促進學生形成學習數(shù)學知識的良好的、積極的情感行為，更好地理解數(shù)學知識，提高學生解決數(shù)學問題的能力.關鍵詞：對稱；數(shù)學美；輪換對稱性；積

2、分區(qū)間；對稱性原理；數(shù)學思想1引言1.1 對稱美對稱性的感受逐慚成為一項美學準則，廣泛應用于建筑、造型藝術、繪畫以及工藝美術的裝飾之中.你可以從許多中、外著名的建筑、藝術珍品中看到.天壇的建筑、天安門的建筑、頤和園長廊的建筑以及各種花瓶、古人飲酒的爵和各種花邊等等是旋轉對稱、左右對稱和平移對稱的典型例子.這些對稱美給人以勻稱、均衡、連貫、流暢的感受，因而體現(xiàn)著一種嫻靜、穩(wěn)重、莊嚴.在現(xiàn)實世界中，既有形態(tài)各異的自然對稱，又有巧奪天工的人工對稱，它們構成了一幅人與自然和諧的優(yōu)美畫卷.因此,對稱是宇宙和自然界的基本屬性，也是事物適應周圍環(huán)境而生存發(fā)展和繁衍生息的自然規(guī)律，充分展現(xiàn)出事物協(xié)調環(huán)境、自我

3、完善的、和諧的自然美.1.2 數(shù)學中的對稱美美，不僅存在于藝術、文學中，存在于大自然以及社會生活中，而且也存在于自然科學中，存在于數(shù)學之中.早在兩千多年前，古代哲學家、數(shù)學家普洛克拉斯曾說過：“哪里有數(shù)，哪里就有美.”這就是說，數(shù)學中也充滿了美的因素.作為一門科學，數(shù)學在其內容結構上和方法上都具有自身的某種美，即數(shù)學美.數(shù)學美的內容非常豐富，包括普適美、對稱美、簡潔美、比例美、和諧美、奇趣美等特性.其中對稱性是數(shù)學美的重要特性之一，正如德國著名的數(shù)學家和物理學家魏爾所說的：“美和對稱性緊密相連”.數(shù)學對稱美是數(shù)學美的重要組成部分，它普遍存在于初等數(shù)學與高等數(shù)學的各個分支，在數(shù)學研究中有著重要的

4、作用，一直是數(shù)學們長期追求的目標，有時甚至把它作為一種尺度，是數(shù)學創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的美學方法之一.在數(shù)學中，不少的概念與運算，都是由人們對于“對稱”問題的探討派生出來的.數(shù)學中眾多的軸對稱，中心對稱圖形和等量關系都被賦予了平衡、協(xié)調的對稱美.對于數(shù)學概念，也是一分為二地成對出現(xiàn)的：整分，奇偶，和差，曲直，方一圓，分解一組合，平行一交叉，正比例一反比例，都顯得那么的穩(wěn)定、和諧、協(xié)調、平衡，如此地奇妙動人.2數(shù)和式的對稱美2.1 數(shù)的對稱美在數(shù)學中，如果一個整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對稱的，我們就稱這個數(shù)是對稱數(shù).例如：1234321、123321等.對稱數(shù)可以分為奇位對稱數(shù)和偶位對稱數(shù).奇位對稱數(shù)是指位

5、數(shù)是奇數(shù)的對稱數(shù)，奇位對稱數(shù)位數(shù)最中間的那個數(shù)字稱為對稱軸數(shù).偶位對稱數(shù)是指位數(shù)是偶數(shù)的對稱數(shù)，偶位對稱數(shù)沒有對稱軸數(shù).產(chǎn)生對稱數(shù)的方法有很多種：(1)形如11、111、1111、的數(shù)的平方數(shù)是對稱數(shù).如：1X9+2=1112X9+3=111x(2)某些自然數(shù)與它的逆序數(shù)相加，得出的和再與和的逆序數(shù)相加，連續(xù)進行下去，也可得到對稱數(shù).如：475475+574=10491049+9401=1045010450+05401=1585115851也是對稱數(shù)美的主要形式就是秩序，勻稱和確定性，上面的幾個式子就巧妙的體現(xiàn)了數(shù)和式中的對稱美.可以看出，數(shù)學與美學是緊密相連，相輔相成的.2.2 式的對稱美如

6、果在代數(shù)式中，把任意的兩個字母對換，代數(shù)式仍然保持不變，像這樣的代2c23c223數(shù)式就稱為是對稱彳t數(shù)式或對稱式.如：xyz，x2xyy,x3xy3xyy,互換式子中的x，y,得到的式子仍然成立.在對稱式中，字母是對稱的，地位是平等的.在二項式定理：中，如果把當n12Ln的二項式展開式的系數(shù)列成如下：111121133114641151010511615201561這就是著名的“楊輝三角”，它是宋朝數(shù)學家楊輝的杰作.楊輝三角是我國數(shù)學發(fā)展史上的一個成就，它反映的就是數(shù)學美的對稱性在代數(shù)學中，也存在著漂亮的對稱式，如：初等對稱多項式:iXi2XX2XiX3X2LXnLXiXnLXniXnLLL

7、LLLXiX2LX它在解題中也有廣泛的應用,其中在運用初等對稱多項式解題時聯(lián)系最緊密的就是根與系數(shù)的關系定理：對于n次多項式f(x)anXnaniXniLaiXiao的n個根Xi,X2,L,Xn有如下關系:由此定理可以非常簡便的求出關于多項式根的對稱多項式的值例i.設a1,a3是方程5x36x27x80的三個根，計算:(afaia2a|)(afa2a3222、a3)(a1aa3a3)*)的值.解:aia2a32a1a2a2a3a1a3,3a1a2a3,再將（*）式化為初等對稱多項式的多項式，得:1679625由上面的例子可以看出，對稱性在數(shù)學中是廣泛存在的，數(shù)學與對稱是緊密相連的.3對稱美在數(shù)

8、學中的應用3.1對稱在數(shù)學解題中的應用解題是一門藝術，對稱性是藝術的一個非常重要的要素，如果在解題的過程中注意到對稱性，那么就可以減少一些繁瑣的計算，化難為易，提高解題的效率，達到事半功倍的效果.微分與積分也是一對具有對稱美的事物，而對稱性的方法也是微積分計算中常用的方法.定理：(1)若u(x,y)u(y,x),則Uy(x,y)Ux(y,x);(2)若u(x,y)u(y,x),則Uy(x,y)Ux(y,x).因此若求出ux,則可直接寫出q,uxx與qy的關系，也是如此.例2.設uexy(xy),求出ux,uy,uxx,uyy.解：uxexyy(xy)exyexy(xyy21),uxxexyy(

9、xyy21)exyyexy(xy2y32y).對稱的有：uyexy(x2xy1),uyyexy(x3x2y2x).輪換對稱性的定義：若積分區(qū)域或被積函數(shù)的表達式中，將其變量x,y,z按下列次序:xfy;yfz;zfx后，其表達式均不變,則稱積分區(qū)域或被積函數(shù)關于變量x,y,z具有輪換對稱性.定理1:(二重積分的坐標輪換對稱性)如果區(qū)域D的邊界曲線方程是關于x,y地位對稱，f(x,y)在D上連續(xù),則定理2:(三重積分的坐標輪換對稱性)如果有界閉區(qū)域的邊界曲面的方程關于x,y,z地位對稱，f(u)在上連續(xù)，則f(x)dxdydzf(y)dxdydzf(z)dxdydz.由此，可以推廣到：定理3:(

10、n重積分的坐標輪換對稱性)如果n維有界閉區(qū)域V的邊界曲面白方程關于xi,x2,L,xn地位對稱，f(u)在V上連續(xù)，則Lf(x1)dx1dx2Ldxn=Lf(x2)dx1dx2Ldxn=LLf(xn)dx1dx2Ldxn例3.計算三重積分f(x)dxdydz(xyz)2dxdydz,其中是0xa,0ya,0za所圍成正方形(a為一大于0的實數(shù)).解：I(xyz)2dxdydz(x2y2z22xy2xz2yz)dxdydz中被積函數(shù)及積分區(qū)域都有輪換對稱性所以222.xdxdydzydxdydzzdxdydz,xydxdydzxzdxdydzyzdxdydz,2(3x6xy)dxdydzaa25

11、6dzdy(3x6xy)dx-a3.1.2.2利用積分區(qū)間的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可簡化定積分的計算定理：設f(x)是a,b上的連續(xù)函數(shù),則通過變換可得:bf(x)dx=f(abx)dxab2a-f(x)f(abx)dx這就是積分區(qū)間的對稱原理.特別地，當f(x)f(abx)時,bf(x)dx2aab2f(x)dx.a例4.求積分萬dx,201tanx1,解：由于f(x)-在0-1tan2x2上有界,且只有可去間斷點x2,故定積分存在.由積分區(qū)間對稱原理可得:原積分1萬12201tanxdx1tan、2(x)22dx一0422dx-1tanx1cotx2若被積函數(shù)是非奇非偶時，通過適當?shù)膿Q

12、元或拆項等方法也可轉化為對稱區(qū)間的積分問題.把積分區(qū)間的對稱性原理推廣到二元函數(shù)積分中，可以得到結論：結論1:設D關于y軸對稱，則2f(x,y)dxdy若f(x,y)關于變量x為偶函數(shù)f(x,y)dxdyDiD0若f(x,y)關于變量x為奇函數(shù)其中Di是D的右半部分：Di(x,y)|(x,y)D,且x0.結論2:設D關于x軸對稱，則2f(x,y)dxdy若f(x,y)關于變量y為偶函數(shù)f(x,y)dxdyDiD0若f(x,y)關于變量y為奇函數(shù)其中Di是D的上半部分：Di(x,y)|(x,y)D,且y0.結論3:設D關于x軸和y軸均對稱，且f(x,y)關于變量x和變量y均為偶函數(shù)，則f(x,y

13、)dxdy4f(x,y)dxdyDDi其中Di是D在第一象限的部分：Di(x,y)|(x,y)D,且x0,y0.結論4:設D關于原點對稱，則其中Di(x,y)|(x,y)D,且x0,D2(x,y)|(x,y)D,且y0.結論5：設D關于直線y=x對稱，則特別地，當f(x,y)fi(x)f2(y)時，f1(x)f2(y)dxdyfi(y)f2(x)dxdy.例5.計算二重積分I(x27x5y1)d，其中D:x2y21.D解：D關于x軸和y軸均對稱，而7x和5y分別關于變量x和y為奇函數(shù)，故(7x5y)d0,D21o5所以：I(x1)dxddd(rcos)rdrDDD004同樣地，將它應用到三重積

14、分中.例6.計算三重積分(xz)dxdydz,其中是由曲面z,x2y2與z1x2y2所圍成的區(qū)域.解：關于坐標面x=0對稱，且關于變量x為奇函數(shù)，故xdxdydz0.212所以(xz)dxdydzzdxdydz0d04d0rcos*rsindr222、例10.計算三重積分zln(1j2y2z)dxdydz,V1xyz其中V(x,y,z)|x2y2z21解：積分區(qū)域V是以原點O(0,0,0)為中心的單位球域，所以V關于xoy平面對稱，被積函22數(shù)f(x,y,z)z1n(1:2y2z)是關于z的奇函數(shù),1 xyz2 222故由對稱性知Z1n(12x2y2z-)dxdydz0.V1xyz由上可見，在

15、解決微積分問題時，巧妙應用對稱性的觀點去解題，可以使運算過程更加的快捷、流暢，11算結果更加的精確.3.2對稱在數(shù)學中的其他應用對稱是形式美的顯著特征，就數(shù)學而言，不僅讓枯燥抽象的數(shù)學公式變得容易記憶，而且也是數(shù)學命題證明必不可少的一種方法.3.2.1 利用對稱性記憶公式在數(shù)學分析中，斯托克斯公式有一種形式表示法其中P,Q,和R為連續(xù)可微函數(shù)，S為逐片光滑的有界雙側曲面，C為包圍S的逐段光滑的簡單閉曲線,(sin,sin,sin)為曲面夠點(x,y,z)處的單位法向量，方向為逆時針，這個公式的右邊是用第一型曲面積分表示的，被積函數(shù)是一個三階行列式.若取xy平面上的平面區(qū)域D乍曲面S,并取上側，

16、則斯托克斯公式右側的三階行列式為一一一xyzPQR于是斯式公式就變成了格林公式,由此可見，格林公式是斯式公式的特例類似地，奧式公式可表示為其中S是包圍V的逐片光滑曲面，P,Q,R在S+V1是連續(xù)可微的,(sin,sin,sin)為曲面S上點(x,y,z)處的單位法向量.不難看出，斯式公式和奧式公式都是由三個矢量(P,Q,R),(sin,sin,sin)，及(一,一,一)所決定的.xyz上述一些形式上的對稱性，是數(shù)學分析中追求對稱形式美的有利證據(jù).一些望而生怯的公式由于有了對稱美，變得非常容易記憶了.3.2.2 數(shù)列解題中的的對稱思想在數(shù)列解題中，存在著大量的對稱思想，無論是等差數(shù)列還是等比數(shù)列

17、，都含有豐富的對稱之美.我們知道：只要mnpq,其中m，n，p，qN,就有(i)垢前*aq(等差數(shù)列)(ii)amanaPaq(等比數(shù)列)利用這個數(shù)量關系來處理有關數(shù)列問題，常常能化繁為簡例11.(1)已知an為等差數(shù)列，且a2a3a10a1148,求證為(2)已知an為等比數(shù)列,an0,a2a42a3a5a4a625,求a3a5解：(1)(a2a11)(a3al0)482(a6a7)，.二a6a72422a3a3ag,a4a6a522ag2a3a5as25例12.在等差數(shù)列中,a6a9ai2ai520,求S20解.a6a9ai2a152(a6a5)2(aia20)%2(aia20)20由此可

18、以看出，如果在等差數(shù)列中，由條件不能具體的求出a和d,但可以求出a和d的組合式，而所求的量往往可以用這個組合式來表示，那么就用“整體代值”的方法將值求出，同樣的方法也可以用在等比數(shù)列中3.3對稱美與數(shù)學教學人們常說：“成功的教學給人以一種美的享受”.而長期以來，在數(shù)學教學中，人們總是重視基礎知識和基本技能的傳授與訓練，而忽視了美育的滲透，不善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學本身所特有的美，不注意用數(shù)學美來感染誘發(fā)學生的求知欲望，激發(fā)他們的學習興趣，不重視引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，鑒賞數(shù)學美，以致使一些學生感到數(shù)學抽象枯燥，失去學好的信心.心理學研究表明：沒有絲毫興趣的強制性學習，將會扼殺學生探求真理的欲望.因此，只有學生

19、熱愛數(shù)學，才能產(chǎn)生積極而又持久的求學勁頭我國數(shù)學家徐利治認為：“數(shù)學教學的目的之一是使學生獲得對數(shù)學的審美能力，即能增進學生對數(shù)學美的主觀感受能力.”數(shù)學的教學過程不僅僅是學生個體的認識過程和發(fā)展過程，而且也是在教師指導下的一種特殊審美過程.因此在教學過程中，應當把數(shù)學美的內容通過教學過程的設計向學生揭示出來，從而使學生認識到數(shù)學的內容是美的，并且充分運用數(shù)學美的誘發(fā)力引起學生濃厚的學習興趣、強烈的求知欲望，使抽象、高深的數(shù)學知識得以形象化、趣味化，使學生從心理上愿意接近它、接受它，直到最終熱愛它.對稱美是數(shù)學中最普遍的一種美.圖形的對稱、式子的對稱和解題方法的對稱等，都能給人以勻稱的美感，用

20、對稱的觀點去處理數(shù)學問題，往往可以從問題的一部分聯(lián)想起與此對稱的另一部分，從而采取補全的方法，使之構成一種整體的對稱美，使問題化繁為簡，化難為易.在數(shù)學教學過程中，充分發(fā)掘教材中的對稱式的美，運算中的對稱美、函數(shù)中的對稱美、幾何圖形中的對稱美，激發(fā)學生對數(shù)學美的體驗，使學生從數(shù)學的顯性美提高到對數(shù)學隱性美的認識，從感性認識上升到理性認識，使學生對所學的知識更易于接受，便于理解，培養(yǎng)學生愛好數(shù)學、認識數(shù)學美的興趣在數(shù)學問題的求解過程中，充分運用對稱的數(shù)學美的思想方法，可以使學生感受到對稱美，增強求知欲，使數(shù)學問題的解決更加簡捷明快，從而提高了學生的直覺思維能力和形象思維能力，開拓解題新思路，進而提高了學生解決問題的能力和對數(shù)學思想方法的領悟，使學生由此而產(chǎn)生學習數(shù)學的興趣.在數(shù)學解題過程中，若能積極挖掘問題中隱含的對稱性，巧妙地利用對稱性，可使復雜的問題變得條理清楚脈絡分明，能化難為易、化繁為簡.例如對于數(shù)列中的若干項的和或積的問題，如果能對其結構進行稱性的分析，將數(shù)學的對稱美與題目的條件或結論相結合，就能構建一組互相關聯(lián)的對偶式，從而確定解