數(shù)列通項(xiàng)與求和

1、用差分法探究數(shù)列的通項(xiàng)與求和問題河南省虞城縣利民鎮(zhèn)第二初級(jí)中學(xué)呂盈輝本文通過對(duì)數(shù)列an的各階差分?jǐn)?shù)列的分析，進(jìn)而得到數(shù)列4的第n項(xiàng)（或者前n項(xiàng)和）與它的各階差分?jǐn)?shù)列首項(xiàng)之間的關(guān)系。并在這個(gè)基礎(chǔ)上證明有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式存在且不惟一等結(jié)論。定義1本文角標(biāo)中的英文字母都表示正整數(shù)。定義2數(shù)列a的一階差分?jǐn)?shù)列用表示，二階差分?jǐn)?shù)列用乂工表示,以此類推，第n階差分?jǐn)?shù)列用父小表示。定義3若數(shù)列%的第n階差分?jǐn)?shù)列為常數(shù)，則記Anan=C（C為常數(shù)），并記An+an=0。定義4不影響組合性質(zhì)，記C0=0,Cm=0（m>n）。定理1數(shù)列Qn的第n項(xiàng)an與其各階差分?jǐn)?shù)列的首項(xiàng)有如下關(guān)系：an=a+C：Jai+

2、C：A2ai+川+C：；Anai證明：當(dāng)n=1時(shí)，ai=ai,結(jié)論成立；當(dāng)n=2時(shí)，ai=a1+%,結(jié)論成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有ak=4+C：_,£ai+C2W2ai+HI+C：力kai則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak1=ak.ak二（a+Ck"ai+C；/2ai+|+C：*k,ai）十（alCy：ai.CkH：aiIIICk,a'CkJ,'：ai）11212kkkikk=ai+（Ck1）ai+（CkCk）ai+1H+（CkCk）ai+Ckai=&+C："ai+C；A2ai+川+CAkai+C：Akai因此，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立。綜上所述，定理1

3、成立。推論1有窮數(shù)列aaTH、am的通項(xiàng)公式可以表示為：1122mJmJanai,CnaiCnai|l|，Cnai(n_m)證明：當(dāng)n=m時(shí)，an=ai+Cnai+CnAai+|11+CnAai由定理i可知，結(jié)論成立。當(dāng)n<m時(shí)，an=ai+出、a+C2A2ai+|+CnmfimJai=(a-iCnja-i-Cnj-a-i111Cnj-a1),(Cn,八a1,11|,Cn=a1)=(a"二4c2，|i|c：2%(oi"o)=a因此，結(jié)論成立。綜上所述，有窮數(shù)列aa2、lll、am的通項(xiàng)公式可以表示為：an=a1,C：.,C；：2a,Cm”，(nmm)例i:求數(shù)列i、5

4、、3、i的通項(xiàng)公式。解：a1=i"a=4A2ai=-6=6根據(jù)推論1,得an=1+Cn®+C：,_(-6)+Cl3_6整理得an=n3-9n224n-15推論2有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式存在且不惟一。證明：先證存在性。由推論1可知，有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式存在。再證不惟一性。不失一般性，設(shè)有窮數(shù)列為劣、a2、lll、am,則由推論一可知an=ai+C："ai+C；/2al+HI+Cmjima1(nWm)是其通項(xiàng)公式。若對(duì)數(shù)列a.a2、IM、am任添一項(xiàng)am卡,得到新數(shù)列小a2、IM、am、am+i。根據(jù)推論1可知，新數(shù)列的通項(xiàng)公式可以表示為：an=ai+C："ai+C

5、皂、+川+CmJmai(nMm)顯然，這個(gè)表達(dá)式也可以作為原有窮數(shù)列aa2、lll、am的通項(xiàng)公式。因此，或改變所添項(xiàng)的大小，或改變所添項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，可以得到有窮數(shù)列的不同的通項(xiàng)表達(dá)式。因此，有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式存在且不惟一。例2:求數(shù)歹1、5、3、1的任意兩種通項(xiàng)公式。解：由例1可知，an=n3-9n2+24n-15是它的一個(gè)通項(xiàng)公式。對(duì)原數(shù)列添一項(xiàng)29,得到新數(shù)列1、5、3129,對(duì)于這個(gè)數(shù)列，有a1=1A1al=4A2a1=6la.6A4al=24根據(jù)推論1,得an=1+C：m+C1tJ-6）+C；_6+C4_j24整理得an=n4-9n326n2-26n9因此，原數(shù)列的任意兩個(gè)通項(xiàng)公式可以是

6、：3 一2_一an=n-9n24n-154 32an=n-9n26n-26n9引理若等差數(shù)列an的階數(shù)為m,則其必有m階差分?jǐn)?shù)列，且man=C（C為常數(shù)）。推論3若等差數(shù)列an的階數(shù)為m,則其通項(xiàng)公式為an=a1'C：la1'C：二匚a1'1CnL田21證明：分三種情況：（1）對(duì)于數(shù)列an的第（m+1）項(xiàng)，即當(dāng)n=m+1時(shí)，按定理1,有am=a+CmNa1+Cm42a1+|+CmAma1顯然，符合推論3結(jié)論；（2）對(duì)于數(shù)列an的第（m+1）項(xiàng)前面各項(xiàng)，即當(dāng)ncm+1時(shí)，按定理1,有an=a+Cn+C20a1+HI+C：；”a1=（a,C：/；：，,|1底二；）,（0川0

7、）=（a1C：；：，IHC；±：na1）-（或_1；：%1川5"）=a1（：/工2：1CmJma1因此，此時(shí)推論3成立。(3)對(duì)于對(duì)于數(shù)列an的第(m+1)項(xiàng)后面各項(xiàng)，即當(dāng)nm+1時(shí)，按定理1,有1.12.2.n1.nan=a1，CnILa1CnV-&IlfCn131=(a1,Cn二a1'Cn1a1.|l|Cn二a1).(Cn工a1Ml'Cnj-a1)=(a1+C：/A1a1+C2IA2a1+|+CmAma1)+(0+|M+0)=a1十CnA1a1+C；A2a1十|+Cm1Ama1因此，此時(shí)推論3成立。綜上所述，推論3總成立。例3:試求三階等差數(shù)列-

8、1、7、27、6s127、|的通項(xiàng)公式。解：a1=-1Yai=82a1-12：3a1-6根據(jù)推論3,得：4=1+C：忸+C：,2+C3&整理得：an=n3n-3定理2數(shù)列Qn的前n項(xiàng)和的表達(dá)式Sn="向C工©,CLJ%證明：設(shè)數(shù)列4為數(shù)列a的一階差分?jǐn)?shù)列，則Sn也1f=(nC：EC12H1a1C1nHn%)-b1=C：a1CWC：l_J,a1推論若等差數(shù)列an的階數(shù)為m,則其前n項(xiàng)和&=C；E1+C：二4+上，1證明：設(shè)數(shù)列%為數(shù)列>的一階差分?jǐn)?shù)列，則數(shù)列>的的階數(shù)為m+1Sn=41f根據(jù)推論3可得bn書=n+C1a1+C："a1+"+Cm"，因此Sh-bn1-bl=山+cha1+CnA1a1+|+Chn+Ama1)白121mm=Cn3i-Cn.'：ai'|'Cn.:a例4:試求一階等差數(shù)列加的，試求它的前n項(xiàng)和。解：設(shè)小的首項(xiàng)為a1,公差為d,則=d根據(jù)定理2推論，得Sn=C；La1+02"4.n(n-1)dnad2例5：試求數(shù)列L3前n項(xiàng)和。解：數(shù)列M3為三階等差數(shù)列a1二1.:a二7=ai12.:a1二6根據(jù)定理2推論，得Sn=C：1+CnL7+C3_12+Cn-6整理得Sn=1n2(n1)24通過例5可以看出，對(duì)于自然數(shù)幕和問題，我們總