數值線性代數課程設計資料

1、數值線性代數課程設計報告（2014-2015 第二學期）姓名:王美玲學號:081310104任課教師:楊熙南京航空航天大學2015年6月18Jacobi 迭代法)Gauss-Seidel 迭代法)SOR 迭代法求解線性方程組的數值效果比較摘要：Jacobi迭代法，Gauss-Seide迭代法，SOR迭代法是三種經典的用于求解線性方程組的迭代方法，本文主要對這三種方法的數值逼近效果進行比較。關鍵詞：Jacobi迭代法；Gauss-Seidel迭代法；SOR迭代法；線性方程組線性方程組的求解方法可歸納為直接法和迭代法。 迭代法中有三種最為經典的迭代方法，就是Jacobi迭代法，Gauss-Seid

2、el迭代法和SOR迭代法。然而三種方法的收斂性，近似解的逼近效果有不同。本文將對三種方法求解線性方程組的迭代效果做相應探討。設有線性方程組Ax=b,A為非奇異矩陣，求x的近似解，三種迭代方法如下。1. Jacobi迭代法算法：(1)選取初始點x(0)化迭代次數k=0。,精度要求ep,最大迭代次數N,初始(3)相對誤差err小于等于精度要求ep時，輸出(k+1)作為方程的近似解(4)x(k)=x(k+i),k=k+1,轉步驟(2)。2. Gauss-Seidel迭代法算法：(1)選取初始點x(0),精度要求ep,最大迭代次數N,初x始化迭代次數k=0。(2)由Gauss-Seide迭代法計算公式

3、計算點x(k+1)。Gau-Seidel迭代法計算公式為：7。-值7(初始向期=b工a吟川工的甘施j=1j=a-l(13)(3)相對誤差err小于等于精度要求ep時，輸出丫(k+1)作為方x程的近似解。(4)x(k)=x(k+1),k=k+1,轉步驟(2)。3. SOR迭代法算法：(2)由Jacobi迭代法計算公式計算點Jacobi迭代法的計算公式為：=/v網TX(Xin)ni2ayxj)/an;j百(k+1)x(L2)(1)選取初始點x(0),精度要求ep,最大迭代次數N,初始化迭代次數k=0。(2)由SOR迭代法計算公式計算點x(k+1)。(14)(3)相對誤差err小于等于精度要求ep時

4、，輸出(k+i)作為方x程的近似解。(4)x(k)=x(k+i),k=k+1,轉步驟(2)。上述三種經典迭代法收斂的充分必要條件是迭代矩陣譜半徑小于1。譜半徑不易求解，而在一定條件下，通過系數矩陣A的性質可判斷迭代法的收斂性。定理1:若系數矩陣A是嚴格對角占優(yōu)或不可約對角占優(yōu)，則Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收斂。定理2：(1)SOR迭代法收斂的必要條件是0w2;(2)若系數矩陣A嚴格對角占優(yōu)或不可約對角占優(yōu)且0wGauss-SeidelSORb=第29卷第6期,2008年11月2徐樹方.數值線i代數.北京:北京大學出版社,1995.3馬昌鳳.現代數值分析.北京:國防工業(yè)

5、出版社.2013.4劉春鳳，米翠蘭.實用數值分析教程.北京冶金工業(yè)出版社.2006附錄：源代碼I.Jacob迭代法functionx,k=myjacobi(A,b,x,ep,N)%雅可比迭代法解線性方程組Ax=b%A為系數矩陣，b為右端向量，x為初始向量(默認為零向量)，ep為精度%N為最大迭代次數(默認最大值為500),x為近似解，k為迭代次數clearkx;ifnargin5N=500;Endifnargin4ep=1e-6;endifnargin3x=zeros(size(b);endD=diag(diag(A);fork=1:Nx=D(D-A)*x+b);err=norm(b-A*x)

6、/norm(b);iferrepbreakendendend2.Gauss-Seidellt代法functionx,k=myseidel(A,b,x,ep,N)%高斯-賽德爾迭代法解線性方程組Ax=b%A為系數矩陣，b為右端向量，x為初始向量(默認為零向量)，ep為精度%N為最大迭代次數(默認最大值為500),x為近似解，k為迭代次數clearkx;ifnargin5N=500;endifnargin4ep=1e-6;endifnargin3x=zeros(size(b);endD=diag(diag(A);L=D-tril(A);U=D-triu(A);fork=1:Nx=(D-L)(U*x+b);err=norm(b-A*x)/norm(b);iferrepbreak;endend3.SORt代法functionx,k=mysordd(A,b,w,x,ep,N)%超松弛迭代法(SOR)解線性方程組Ax=b%w為松弛因子%A為系數矩陣，b為右端向量，x為初始向量(默認為零向量)，ep為精度%N為最大迭代次數(默認最大值為500),x為近似解，k為迭代次數clearkx;ifnargin6N=500;endifnargin5ep=1e-6;endifnargin4x=zeros(size(b);endifnargin3w=0.8;endD=diag(dia