五年級奧數(shù)-容斥原理

1、容斥原理容斥原理 主講：劉文峰主講：劉文峰集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一。如某班全體學(xué)生可以看作是一個集合，念之一。如某班全體學(xué)生可以看作是一個集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便組成一個數(shù)字集合。組成集合的每個事物稱為便組成一個數(shù)字集合。組成集合的每個事物稱為這個集合的元素。如某班全體學(xué)生組成一個集合，每一個學(xué)生都這個集合的元素。如某班全體學(xué)生組成一個集合，每一個學(xué)生都是這個集合的元素，數(shù)字集合中有是這個集合的元素，數(shù)字集合中有10個元素。個元素。兩個集合中可以做加法運算，把兩個集合兩個集合中可

2、以做加法運算，把兩個集合A、B合并在一起，就組合并在一起，就組成了一個新的集合成了一個新的集合C。計算集合。計算集合C的元素的個數(shù)的思考方法主要是的元素的個數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先把包含與排除：先把A、B的一切元素都的一切元素都“包含包含”進來加在一起，再進來加在一起，再“排除排除”A、B兩集合的公共元素的個數(shù)，減去加了兩次的元素，兩集合的公共元素的個數(shù)，減去加了兩次的元素，即：即：C=ABAB。在解包含與排除問題時，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，在解包含與排除問題時，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關(guān)系的邏輯關(guān)系。有些語言不易表達清楚的關(guān)系，用了搞清數(shù)量關(guān)系的邏輯關(guān)系。

3、有些語言不易表達清楚的關(guān)系，用了適當(dāng)?shù)膱D形就顯得很直觀、很清楚，因而容易進行計算。適當(dāng)?shù)膱D形就顯得很直觀、很清楚，因而容易進行計算。五年級五年級96名學(xué)生都訂了報紙，有名學(xué)生都訂了報紙，有64人訂了人訂了少年報，有少年報，有48人訂了小學(xué)生報。兩種報紙人訂了小學(xué)生報。兩種報紙都訂的有多少人？都訂的有多少人？ n用左邊的圓表示訂少年報的64人，右邊的圓表示訂小學(xué)報的48人，中間重疊部分表示兩種報刊都訂的人數(shù)。顯然，兩種報刊都訂的人數(shù)被統(tǒng)計了兩次：n6448=112人，n比總?cè)藬?shù)多11296=16人人，n這16人就是兩種報刊都訂的人數(shù)。 分析與解答分析與解答實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1n1，一個班的，一個班

4、的52人都在做語文和數(shù)學(xué)作業(yè)。有人都在做語文和數(shù)學(xué)作業(yè)。有32人人做完了語文作業(yè)，有做完了語文作業(yè)，有35人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)。語文、人做完了數(shù)學(xué)作業(yè)。語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？n2，五年級有，五年級有122人參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少人參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)。其中語文得優(yōu)的有有一門功課得優(yōu)。其中語文得優(yōu)的有65人，數(shù)學(xué)得人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有優(yōu)的有87人。語文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？人。語文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？n3，某班有，某班有50名學(xué)生，在一次測驗中有名學(xué)生，在一次測驗中有26人滿分，人滿分，在第二次測驗中有在第二次測驗中有21人滿分。如果

5、兩次測驗都沒得人滿分。如果兩次測驗都沒得過滿分的學(xué)生有過滿分的學(xué)生有17人，那么，兩次測驗都得滿分的人，那么，兩次測驗都得滿分的有多少人？有多少人？某校教師至少懂得英語和日語某校教師至少懂得英語和日語中的一種語言。已知有中的一種語言。已知有35人懂人懂英語，英語，34人懂日語，兩種語言人懂日語，兩種語言都懂的有都懂的有21人。這個學(xué)校共有人。這個學(xué)校共有多少名教師？多少名教師？n把懂英語和懂日語的人數(shù)加起來得n3534=69人，n但是，兩種語言都懂的21人被統(tǒng)計過兩次，應(yīng)該從69里去掉一個21才能得出這個地區(qū)外語教師的總?cè)藬?shù)：n6921=48人。 實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練2n1，某校的每個學(xué)生至少愛體

6、育和文娛中的一種活動。，某校的每個學(xué)生至少愛體育和文娛中的一種活動。已知有已知有900人愛好體育活動，有人愛好體育活動，有850人愛好文娛活動，人愛好文娛活動，其中其中260人兩種活動都愛好。這個學(xué)校共有學(xué)生多少人兩種活動都愛好。這個學(xué)校共有學(xué)生多少人？人？n2，某班在一次測驗中有，某班在一次測驗中有26人語文獲優(yōu)，有人語文獲優(yōu)，有30人數(shù)人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有學(xué)獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有12人，另外還有人，另外還有8人語文、數(shù)學(xué)均未獲優(yōu)。這個班共有多少人？人語文、數(shù)學(xué)均未獲優(yōu)。這個班共有多少人？n3，第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考題，做對，第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考

7、題，做對第一題的有第一題的有15人，做對第二題的有人，做對第二題的有10人，兩題都做人，兩題都做對的有對的有7人，兩題都做錯的有人，兩題都做錯的有2人。第一小組共有多人。第一小組共有多少人？少人？n學(xué)校開展課外活動，共有250人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時活動，參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有86人，這兩個小組都參加的有25人。問這250名同學(xué)中，象棋組、乒乓球組都不參加的有多少人？ 例3、分析與解答分析與解答n兩個小組都參加的有25人，因此，至少參加這兩種小組的一個小組的人數(shù)是：n848625=144人，n所以，這兩個小組都不參加的人數(shù)是：n250144=106人。 實戰(zhàn)

8、演練實戰(zhàn)演練3n1，五年級有，五年級有250人，其中參加象棋組的有人，其中參加象棋組的有83人，參人，參加乒乓球組的有加乒乓球組的有86人，這兩個小組都參加的有人，這兩個小組都參加的有25人。人。兩個小組都不參加的有多少人？兩個小組都不參加的有多少人？n2，五（，五（1）班有）班有50人，在一次測試中，語文人，在一次測試中，語文90分以分以上的有上的有30人，數(shù)學(xué)人，數(shù)學(xué)90分以上的分以上的35人，語文和數(shù)學(xué)都人，語文和數(shù)學(xué)都在在90分以上的有分以上的有20人。兩科都在人。兩科都在90分以下的有多少分以下的有多少人？人？n3，老師在統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得，老師在統(tǒng)計考試成績，數(shù)學(xué)得90分以上的有

9、分以上的有25人，語文得人，語文得90分以上的有分以上的有21人，兩科中至少有一科人，兩科中至少有一科在在90分以上的有分以上的有38人。兩科都在人。兩科都在90分以上的有多少分以上的有多少人？人？n實驗小學(xué)各年級都參加的一次書法比賽中，四年級與五年級共有20人獲獎，在獲獎?wù)咧杏?6人不是四年級的，有12人不是五年級的。該校書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是多少人？ n由由“16人不是四年級的人不是四年級的”可知：可知：16人是五年級和其他年級人是五年級和其他年級的；由的；由“12人不是五年級的人不是五年級的”可知：可知：12人是四年級和其它人是四年級和其它年級的。用年級的。用1612可算出四年級加五年級

10、以及兩個其它年可算出四年級加五年級以及兩個其它年級的人數(shù)和，再減去級的人數(shù)和，再減去20就得兩個其他年級的人數(shù)，這樣其他就得兩個其他年級的人數(shù)，這樣其他年級的人數(shù)是：年級的人數(shù)是：n（161220）2=4人，人，n該校參加書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是該校參加書法比賽獲獎的總?cè)藬?shù)是:n420=24人。人。 分析與解答n1，五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運動會，其中，五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運動會，其中24名運名運動員不是六年級的，動員不是六年級的，28名運動員不是五年級的，已名運動員不是五年級的，已知五、六年級運動員共有知五、六年級運動員共有32名，求五、六年級和中名，求五、六年級和中低年級運動員各有多少名？低

11、年級運動員各有多少名？n2，少年樂團學(xué)生中有，少年樂團學(xué)生中有170人不是五年級的，有人不是五年級的，有135人不是六年級的，已知五、六年級的共有人不是六年級的，已知五、六年級的共有205人，人，求少年樂團中五、六年級以外的學(xué)生共有多少人？求少年樂團中五、六年級以外的學(xué)生共有多少人？n3，六一兒童狼子野心同學(xué)們做小花，有，六一兒童狼子野心同學(xué)們做小花，有24朵不是朵不是紅色的，有紅色的，有20朵不是黃色的，已知紅花和黃花一共朵不是黃色的，已知紅花和黃花一共有有18朵，其他顏色的花一共做了多少朵？朵，其他顏色的花一共做了多少朵？實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練4n在在100個外語教師中，懂英語的有個外語教師中，

12、懂英語的有75人，人，懂日語的有懂日語的有45人，其中必然有既懂英語人，其中必然有既懂英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？有多少人？分析與解答n顯然，兩種語言都懂的人在懂英語的顯然，兩種語言都懂的人在懂英語的75人中統(tǒng)計人中統(tǒng)計過一次，在懂日語的過一次，在懂日語的45人中又統(tǒng)計過一次。因此，人中又統(tǒng)計過一次。因此，7545=120人，比人，比100多出的多出的20人就是兩種語人就是兩種語言都懂的人數(shù)。然后，從懂英語的言都懂的人數(shù)。然后，從懂英語的75人中減去兩人中減去兩種語言都懂的種語言都懂的20人，就是只懂英語的人數(shù)了：人，就是只懂英語的人數(shù)了：7520=55人。人。 實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練5n1，40人都在做加試的兩道題，并且至少做對了其中人都在做加試的兩道題，并且至少做對了其中的一題。已知做對第一題的有的一題。已知做對第一題的有30人，做對第二題的人，做對第二題的有有21人。只做對第一題的有多少人？人。只做對第一題的有多少人？n2，五年級，五年級122名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門得優(yōu)。已知語文