正定二次型的判定及其應用開題報告

1、的的個個數(shù)數(shù)則則標標準準形形中中所所含含平平方方項項 ，經(jīng)經(jīng)可可逆逆變變換換化化為為標標準準形形若若xAxfT2211()0rrifk yk yk正定二次型的判定及其應用開題報告正定二次型的判定及其應用開題報告221 1()0rrifd zd zd 定理定理1( (慣性定理慣性定理P132Th9) )設(shè)設(shè) f = x TA x 的秩為的秩為 r , 使且有兩個實可逆變換zPxyCx,.,11中中正正數(shù)數(shù)的的個個數(shù)數(shù)相相等等中中正正數(shù)數(shù)的的個個數(shù)數(shù)與與則則rrkkdd正慣性指數(shù)正慣性指數(shù) p 是唯一的是唯一的 負慣性指數(shù)負慣性指數(shù)? ( )R Af 非非零零元元素素的的個個數(shù)數(shù)的的秩秩負慣性指數(shù)

2、負慣性指數(shù) = r p 并稱其對稱陣并稱其對稱陣 A 是是正定矩陣正定矩陣；則稱則稱 f (x) 為為正定二次型正定二次型，定義定義( (P133Th10) )，設(shè)設(shè)有有實實二二次次型型xAxxfT )(, 0)(,0 xfx恒恒有有若若對對任任意意, 0)0( f顯顯然然 一、實二次型的分類一、實二次型的分類, 0)(,0 xfx恒恒有有若若對對任任意意如何證明如何證明 A 是正定陣是正定陣 ? A 正定正定 xTA x 0 并稱其對稱陣并稱其對稱陣 A 是是負定矩陣負定矩陣.則稱則稱 f (x) 為為負定二次型負定二次型，從正定矩陣的角度看從正定矩陣的角度看慣性定理慣性定理 任一實對稱矩陣

3、任一實對稱矩陣 A 唯一合同于對角矩陣唯一合同于對角矩陣 判別法判別法 I ： 用定義用定義 例例1 .,階階正正定定陣陣也也為為證證明明階階正正定定陣陣均均為為設(shè)設(shè)nBAnBA 證證,階階正正定定陣陣為為nBA判別法判別法 II ：用標準型用標準型 定理定理2( (P133 Th10) )階階正正定定陣陣。為為nBA 0,0,TTxx Axx BxO ()0TxxA B二、二、 二次型正定的判別方法二次型正定的判別方法正慣性指數(shù)正慣性指數(shù) = n 21,()niiixC yffyk yC 證證 “” ：), 2 , 1(0niki 若若, 0, 01 xCyx都都有有21,( )0niiif

4、 xk y “” ：反證反證 1(, ),0snsk ，若若有有,時時當當sey 0,sk , 0sCe 但但,為為正正定定矛矛盾盾這這與與 f0.sk ()sf Ce設(shè)可逆線性變換設(shè)可逆線性變換 ,的的特特征征值值全全大大于于零零為為正正定定陣陣AA1,AA 的的特特征征值值全全大大于于零零, ,1,AA 都都是是正正定定. .陣陣證證推論推論( (P133) )例例2 判別法判別法III：用特征值用特征值1,AAA 設(shè)設(shè)為為正正定定陣陣, ,證證明明都都是是正正定定陣陣. .11111121121221,000;nnnnaaaaaaaaa ( (負定負定) ) 22212132312354

5、22fxxtxx xx xx x , 051 25 210,2 1 3521| |21111At 2t ，5 212 111 1At ，例例3IV： 用順序主子式用順序主子式 判別法判別法 ( (奇數(shù)階主子式為負奇數(shù)階主子式為負, ,偶數(shù)階為正偶數(shù)階為正) ) ()10()ii 定理定理3( (P133 Th11) ) t為為何何值值時時, ,二二次次型型正正定定？32,0t ，時時2t 時時, ,二二次次型型正正定定. . 有偶數(shù)階主子式為負時，矩陣不定有偶數(shù)階主子式為負時，矩陣不定.P133例例17 請自讀請自讀. 記為記為 i 0 . 322255 ,25 5A 2223554410fx

6、yzxyxzyz 322255,0255AE 1230,2,11, 實際上是半正定的！實際上是半正定的！ 不是正定的！不是正定的！ 是否正定？是否正定？ 特征值非全正，特征值非全正， 或者或者 11,30a 111221223 211,02 5aaaa 111213212223313233| |,0Aaaaaaaaaa 主子式不全為正，主子式不全為正， 不是正定的！不是正定的！ 解解 例例4 判定二次型判定二次型222( , , )5224f x y zxyzaxyxzyz 設(shè)設(shè)正正定定，求求 a . 111 21 2 5afAa 正正定定正正定定()540aa 101aa 解解 應取應取11

7、101 2011 2 5aaaa ，且且而而 111 21 2 5aa 4,05a 2, 1a4.05a例例5( (P137題題33) )二元二次型二元二次型 22121112122212(,)2,f xxaxax xax 11122122Aaaaa 22fmxny中中 m, ,n 均為正數(shù)均為正數(shù), , 2212120(,)f xxcmxnxc c 為為常常數(shù)數(shù)) )是是( (橢橢圓圓. .三元二次型三元二次型 212311121213131222232322333(,)22 2,f xxxa xax xax xaxax xax ， 111213212223313233Aaaaaaaaaa

8、222fmxnylz 中中 m, ,n, ,l 均為正數(shù)均為正數(shù), , 1230(,)f xxxc c為為常常數(shù)數(shù)) )是是( (橢橢球球面面. .f 正定正定 f 的標準形的標準形 f 正定正定 f 的標準形的標準形 正定二次型的幾何解釋正定二次型的幾何解釋為正定為正定),(21nxxxfA 為正定陣為正定陣 ), 2 , 1(0nidfi 的的標標準準型型的的系系數(shù)數(shù)nyyyf 21的的規(guī)規(guī)范范標標準準型型為為nf 的的正正慣慣性性指指數(shù)數(shù)為為 A 的特征值均的特征值均 0 A 與與 E 合同合同 A 的各階順序主子式的各階順序主子式 0 為為負負定定二二次次型型f 即存在可逆陣即存在可逆

9、陣 Q, 使得使得 E = Q T AQ . . , 0)(,0 xfx恒恒有有若若對對任任意意 存在可逆陣存在可逆陣 U, 使得使得 A = U TU . P137題題34 xTA x 0 ( (對任意的非零對任意的非零 x ) )TAA1 A AA可逆可逆對稱對稱正交正交正定正定TAA 1AATEAA1EACCT A+B kA AB 0 0 1 0 0 秩秩 n n n特征值特征值 0 0 1 0對角化對角化 k = 1可交可交換換可交可交換換B正定正定k0實實 n個實的個實的特殊矩陣的運算性質(zhì)特殊矩陣的運算性質(zhì)B對稱對稱排列排列矩陣矩陣向量向量行列式行列式線性方程組的解線性方程組的解運算

10、運算運算運算線性相關(guān)性線性相關(guān)性向量空間向量空間秩秩初等變換初等變換對角化對角化特征向量特征向量二次型二次型線性空間線性空間線性變換線性變換克萊姆法則克萊姆法則設(shè)有二次型設(shè)有二次型 1123231 2 34 5 67 8 9,( ),xxxxf xxx 分析分析 112321233123(23)(456)(789)xxxxxxxxxxxx22212131223132312323456789xx xx xx xxx xx xx xx2221213231235961014xxxx xx xx x3 5375 7159A 需要寫出規(guī)范式需要寫出規(guī)范式. 寫出它的矩陣寫出它的矩陣. 123112321

11、231233123231 2 3( ),4 5 6,4567 8 9789xxxxf xxxxxxxxxxxxxxx雖用矩陣表示，但矩陣非對稱，雖用矩陣表示，但矩陣非對稱，只是二次型的普通式，只是二次型的普通式， 解解 P136 題題27證明：二次型證明：二次型1Tfx AxxA 在在時時的的最最大大值值為為矩矩陣陣的的最最大大特特征征值值. .證證 不妨設(shè)不妨設(shè) A 的的 n個特征值個特征值12,n將將 f 化為標準型的正交變換為化為標準型的正交變換為 x = P y ，2221212( ),TTTnnf xy P APyyyyyy,xy 由由正正交交變變換換保保長長11max( )maxT

12、xyf xyy222212121max ()innyyyy 222211121max ().inyyyy 空間中的空間中的“單位球單位球” 另一方面存在另一方面存在010,1,yey000,1,xyxP滿足滿足使使0001(),Tf xxx 111maxmax( ).Txxf xx Ax 綜上即綜上即則一方面則一方面 P136 題題30P137 題題34證證 )()(xUxUxUUxfTTT, 0,xUxU,)(nUR 又又,OxOxU , 00 xf, 0,0fx時時從從而而所以所以 f 是正定二次型是正定二次型. 反之，反之， A 的特征值均的特征值均 0 ,1TnP AP ，其中其中 P

13、 為正交陣為正交陣, 1,0n ，11,2,iiiircninE 又又EPPPAPPPnTTnT11.UUATA 是正定是正定 存在可逆陣存在可逆陣U, 使得使得A=U TU . PiPiT10000001iiP 解解( (1) ) 21 25312PAab 1 11 1- -1 1已已知知是是矩矩陣陣的的一一個個特特征征向向量量. .( )1,a bP；求求參參數(shù)數(shù)及及特特征征向向量量所所對對應應的的特特征征值值( )2A問問能能否否相相似似對對角角化化? ?并并說說明明理理由由. .設(shè)設(shè) P 對應的特征值是對應的特征值是 , ,則則 2121()531121aOAE Pb 10,2010,ab 1,3,0ab ( (2) ) A 能對角化能對角化