2021年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案(新人教A)空間角

1、9.8 空間角鞏固夯實(shí)基礎(chǔ)一、自主梳理1 .過(guò)空間任一點(diǎn)。分別作異面直線 a與b的平行線a與b,那么直線a與b所成的 不大于90的角，叫做異面直線a與b所成的角.2 .平面的斜線與它在平面上的射影所成的角叫做這條斜線與平面所成的角3 .過(guò)二面角a -l- 3棱上任一點(diǎn)。作垂直于棱l的平面，與面a、3的交線分別為OA、OB,那么/ AOB叫做二面角a -l-3的平面角.4 .求線面角和二面角可以轉(zhuǎn)化為平面角去求解，也可以轉(zhuǎn)化為空間兩個(gè)向量的夾角去求解.(1)異面直線所成角的向量公式兩異面直線a、b的方向向量分別為 m和n.當(dāng)m與n的夾角不大于90時(shí)，異面直線a、b 所成的角。與 m和n的夾角相等

2、；當(dāng)m與n的夾角大于90時(shí)，直線a、b所成的角。與 m和 n的夾角互補(bǔ).所以直線 a、b所成的角。=arccos 1n，m | , 0 C (0, ).|n|m|2(2)直線與平面所成角的向量公式直線a的方向向量和平面”的法向量分別為 m和n,若m與n的夾角不大于90時(shí)，直線a 與平面”所成的角等于 m與n的夾角的余角；若m與n的夾角大于90 時(shí)，直線a與平面a所 成的角等于 m與n的夾角的補(bǔ)角的余角，所以直線 a的方向向量和平面”所成的角。| n ?m |=-arccos2|n|m|或。=arcsin| n ?m |n|m|0 ： 0,.(3)平面與平面所成角的向量公式平面a與平面3的法向量

3、分別為m和n,則二面角與m、n的夾角0相等或互補(bǔ)八 | n?m| 0 =arccos .|n|m|當(dāng)二面角 a -l- 3 大于 90 時(shí)，二面角 0 = % -arccos | n ?m | ., |n|m當(dāng)二面角 a -l-3 小于 90 時(shí),二面角 0 =arccos | n ? m | .|n|m|除利用上面公式計(jì)算面面角外，還可以直接在兩個(gè)平面內(nèi)分別作垂直于兩平面交線的向量m、n,通過(guò)計(jì)算向量 m、n的夾角來(lái)計(jì)算兩平面的夾角.注意向量m、n的夾角與兩平面的夾角的關(guān)系.二、點(diǎn)擊雙基1 .如果平面的一條斜線長(zhǎng)是它在這個(gè)平面上射影長(zhǎng)的3倍，那么這條斜線與平面所成角的余弦值為()2 3B.3

4、C_2 C.2解析：由直線與平面所成角的定義易知，選A.答案:A2 .平面”的斜線與a所成的角為 30。，則此斜線和a內(nèi)所有不過(guò)斜足的直線所成的角的最大值為()A.30B.60C.90D.150解析:本題易誤選D,因斜線和a內(nèi)所有不過(guò)斜足的直線為異面直線，故最大角為90。.答案:Ci0i B.- 20iC.20.i0 D. i03 .在如圖所示的正方體 AiBiCiDi ABCD中,E是CiDi的中點(diǎn)，則異面直線 DE與AC所成角的 余弦值為()解法一：供9(B)選用建立空間直角坐標(biāo)系如圖.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,i,2).所以 AC =(-2,2

5、,0), DE =(0,i,2),AC?DEcos AC, DE= 一 一 |AC|DE|_2J02 .2?、5 i0 .解法二：取AiDi中點(diǎn) F,連結(jié) EF、DF,則EF / AC.在 EFD中，由余弦定理可求得cos/DEF=010答案:D4 .在ABC中,M、N分別是 AB、AC的中點(diǎn)，PM,平面 ABC,當(dāng)BC=18,PM=3 J3時(shí),PN和平面ABC所成的角是 解析：:PM，平面ABC, / PNM為PN與平面ABC所成的角,tan/PNM= PM =3L3 =2MN 93 ./ PNM=30 .答案：305 .PA、PB、PC是從P點(diǎn)引出的三條射線，它們之間每?jī)蓷l的夾角都為60

6、,則直線PC與平面PAB所成的角的余弦值為.解:構(gòu)造正四面體如圖，取AB中點(diǎn)D,連結(jié)PD,則/ CPD為直線PC與平面PAB所成白角.過(guò)C作CO，PD于。，則O為正三角形 PAB的中心.設(shè)PC刊則Pon*,一上PO /3在 RtPOC 中，求得 cos/CPD=PC 33或由 cos60 =cos/CPD - cos30cos/ CPD= .3答案：一3誘思實(shí)例點(diǎn)撥【例1】如圖，已知正方體ABCD AiBiCiDi的棱長(zhǎng)為1.(1)求BiCi與平面ABiC所成角的正切值(2)求二面角B-BiD-Ci的平面角的大小.(1)解:設(shè) ABiAiB=O,1. BC / BiCi, .BC與面ABiC所

7、成的角即為所求. . /ACB= ZBCBi,2 BC在面ABiC上的射影在 OC上,/BCO即BC與面ABiC所成的角，tan/BCO=-.(2)解法一 ：- BOABi,CiBiBO, .BOL平面 ABiCiD.作OEDBi于點(diǎn)E,連ZEB,則EBDBi,/BEO為所求二面角的平面角的補(bǔ)角，,.2.3.6. 2 - OE=B iOsin Z EBiO= - ,= ,BO= ,，tan/BEO=3,/BEO=60 . 所求二面角的平面角為i20 .解法二：取DiA、DiCi、DiD為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，則B(i,i,i)、D(0,0,i)、 Ci(0,i,0)、Bi(i,i,0

8、),AB i、DiBi 的中點(diǎn)分別為 O。，11,1)、Oi(i,- ,0),2 2 22 2OCi DBi =(-i, 1,-1) .(i,i,-i)=o, OiB - DBi x1,1/) (i,i,-i)=o,2 22 2 -OCiDBi,OiBDBi.OCi?OiB1 cos 0 =|OCi|OiB| 2. 所求二面角的平面角為120 鏈接提示:首先要找到從二面角的一個(gè).對(duì)于新教材而言，三垂線定理的，求得相應(yīng)二面角.,SAW ABCD,SA=AB=BC高考重視二面角的考查 ，重點(diǎn)是三垂線法作二面角的平面角 面到另一面的一條垂線，再用三垂線定理作出二面角的平面角 意義主要在這里.也可通過(guò)

9、求二面角兩個(gè)面的兩個(gè)法向量的夾角【例2】在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中,/ABC=90=2AD.求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值，若從定義法入手，必須再找一剖析:顯然，本題中的二面角只有一個(gè)公共頂點(diǎn)，屬“無(wú)棱二面角” 個(gè)公共點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)BA、CD相交，可得交點(diǎn)E,則SE為二面角的棱 解法一：（定義法）如圖，延長(zhǎng)BA、CD交于E,連結(jié)SE,則SE為所求二面角的棱. AD / BC,BC=2AD, EA=AB=SA.ESB是直角三角形，且SESB.又 BC，AB,BC，SA, . BC,平面 SBE. SB是SC在面SBE上的射影.SEXSC./ BSC是所求二面角的平面角.在 R

10、t SAB 中，易得 SB= J2 AB.在 RtASBC 43,SC=SB2 BC2 = J3AB.SB .6 一 ，_ .6cos/ BSC=-=-，即面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值為 .解法二：（射影法）如上圖, SAL面ABCD, .,.SAXBC. 又 AB，BC, BC，面 SAB,而 AD / BC, .AD，面 SAB.SDC在面SAB上的射影是 SAB.于是八 S SABcos。=S SDC.SA=AB=BC=2AD,.SB= .2 AB,SC= . 3 AB._. 5SD=DC= 一AB,易求得 SDC中SC邊上的高為.SSDC=AB2sSAB=lAB2，cose

11、匹423故所求二面角的余弦值是解法三：（向量法）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè) AD=1,則 SA=AB=BC=2,于是 A(0,0,0),D(0,1,0),C(-220),S(0,0,2), AD =(0,1,0)為面 SAB的一個(gè)法向量，SD =(0,i,-2), SC=(-2,2,2).設(shè)n=(a,b,1)是面SDC的一個(gè)法向量，由n - SD =0和n - SC =0得b 2 0, 2a 2b 2 0.a=1,b=2.n=(1,2,1). cos n, AD n?AD _6 |n|AD| = T由圖可知，所求二面角的余弦值為講評(píng):本題是一個(gè)沒(méi)給出棱的二面角求解問(wèn)題，分別采用三種方法求解.值得認(rèn)真體會(huì)，優(yōu)化解題思想方法.【例3】已知異面直線a、b所成的角為70。，則過(guò)空間任意一點(diǎn) M可作多少條不同的直線與 a、 b所成的角都是55。.解:過(guò)M作a / a,b / b,分直線與a、b共面和異面兩種情況討論.(1)當(dāng)所作直線與a、b共面時(shí)，只有平分110。角的直線l符合題意.(2)當(dāng)所作直線l與a、b不在同一平面內(nèi)時(shí)(如圖)，在l上取一點(diǎn)P作POL”于O,由于 PM與a、b所成的角相等(55 ),因此,P在“上白射影 O在70角的平分線1i上. / PMA=55 ，/