2.1-重積分的應(yīng)用舉例ppt課件

1、7.4 重積分的應(yīng)用舉例1. 重積分的幾何應(yīng)用重積分的幾何應(yīng)用 計算面積與體積計算面積與體積011limniiDSd011limniiVdVV例例1 求兩曲面求兩曲面 與223yxz228yxz所圍區(qū)域的體積所圍區(qū)域的體積.上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁解解所求體積為所求體積為,dvV.83, 124:| ),(222222yxzyxyxDzyx面上投影往將oxy222283yxzyxz, 12422yx于是于是dvV222283yxyxDdzdxdyDdxdyyx)24(222, 10 ,20,sin2,cos2rryrx令.22),(),(|rrDyxDJDrdrdrrV22)sin4cos44(

2、2222210220)1 (4216drrrd.28上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 曲面的面積曲面的面積 設(shè)曲面設(shè)曲面S的方程的方程zf(x, y)在區(qū)域在區(qū)域D上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), 則曲面則曲面S的面積為的面積為dyxfyxfSyxD),(),(122 , 或dxdyyzxzSD22)()(1 . 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁PSdzdnxyzSo設(shè)光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:則面積 S 可看成曲面上各點),(zyxP處小切平面的面積 d S 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,Sdcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22

3、yxfyxfSyx(稱為面積元素)那么Pnd上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁故有曲面面積公式d),(),(122DyxyxfyxfSyxyzxzSDdd)()(122若光滑曲面方程為zyzxyxSdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx則有zyD即xzxyzySdd)()(122若光滑曲面方程為 ,),( , ),(xzDxzxzhy則有xzD上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例 2 求圓柱面求圓柱面 被圓柱面被圓柱面222222)0(RyxRRzx所割部分的面積所割部分的面積. 解解 由對稱性知，所求曲面面積是位于第一掛限中的由對稱性知，所求曲面面積是位于第一掛限中的 曲面曲面 的面積的的面積的

4、8倍倍.1S平面上的投影區(qū)域在oxyS1.0, 0,| ),(222yxRyxyxD的方程為1S),0(22RxxRz, 0,22yxzxRxz.12222xRRzzyxdzzSDyx2218于是所求曲面面積為于是所求曲面面積為2202208xRRdyxRRdxRRdx08.82R上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁利用曲面的參數(shù)方程求曲面的面積利用曲面的參數(shù)方程求曲面的面積若曲面若曲面S 由參數(shù)方程由參數(shù)方程Dvuvuzzvuyyvuxx),(),(),(),(給出，其中給出，其中D是一個平面有界閉區(qū)域是一個平面有界閉區(qū)域,又又x(u,v),y(u,v),z(u,v)在在D上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且上具有

5、連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且,),(),(vuDyxD,),(),(vuDzyD,),(),(vuDxzD不全為零，不全為零， 則曲面則曲面S 的面積的面積,2dudvFEGSD其中其中.,222222vvvvuvuvuuuuzyxzzzyyxxyzyxE上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例 3 求螺旋曲面求螺旋曲面,sin,coshzryrx20,0ar面積面積.解解 由已知條件得由已知條件得,sin,sin,cosrryrxx., 0,coshzzryr, 1222rrrzyxE, 0zzyyxxFrrr.22222hrzyxGdrdFEGSD2drdhrD22drhrda02220).ln(22222hh

6、aahhaa2. 重積分的物理應(yīng)用重積分的物理應(yīng)用(1) 質(zhì)量質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量,DMx y d是薄片是薄片 在在 處的面密度處的面密度., x yD, x y空間物體空間物體 的質(zhì)量的質(zhì)量, ,Mx y z dV是物體是物體 在在 處的體密度處的體密度., ,x y z, ,x y z分析P點對y軸的靜矩為dMyx(x y)d 設(shè)質(zhì)心的橫坐標(biāo)為x 薄片的質(zhì)量為M 那么xMMy 薄片對y軸的靜矩為 DydyxxM),(. ds P(x,y) 設(shè)一平面薄片占有設(shè)一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D 其面密度其面密度(x y) 是閉區(qū)域是閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù) 則

7、該平面薄片的質(zhì)心坐則該平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為標(biāo)為 DDydyxdyxxMMx),(),(, (2)質(zhì)心質(zhì)心分析P點對x軸的靜矩為dMxy(x y)d 設(shè)質(zhì)心的橫坐標(biāo)為y 薄片的質(zhì)量為M 那么yMMx 薄片對x軸的靜矩為 ds P(x,y) 設(shè)一平面薄片占有設(shè)一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D 其面密度其面密度(x y) 是閉區(qū)域是閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù) 則該平面薄片的質(zhì)心坐則該平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為標(biāo)為 DDydyxdyxxMMx),(),(, DDxdyxdyxyMMy),(),(. DxdyxyM),(. (2)質(zhì)心質(zhì)心 設(shè)一平面薄片占有設(shè)一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域

8、面上的閉區(qū)域D 其面密度其面密度(x y) 是閉區(qū)域是閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù) 則該平面薄片的質(zhì)心坐則該平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為標(biāo)為 DDdxdx, DDdydy. 討論 設(shè)一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D 其面密度是常數(shù) 如何求該平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)？ 提示DDydyxdyxxMMx),(),(, DDxdyxdyxyMMy),(),(. (2)質(zhì)心質(zhì)心 類似地 設(shè)一物體占有空間閉區(qū)域 其密度(x y z)是閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù) 則該物體的質(zhì)心坐標(biāo)為dvzyxdvzyxxx),(),(, dvzyxdvzyxyy),(),(, dvzyxdvzyxzz),(),(. 設(shè)一平面薄片占

9、有設(shè)一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D 其面密度其面密度(x y) 是閉區(qū)域是閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù) 則該平面薄片的質(zhì)心坐則該平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為標(biāo)為 DDydyxdyxxMMx),(),(, DDxdyxdyxyMMy),(),(. (2) 力矩與質(zhì)心力矩與質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量元素 在點在點Px, yPx, y處取一直徑很小的小處取一直徑很小的小薄片薄片, , 其面積其面積 面積元素面積元素 為為d, d, 其質(zhì)量認其質(zhì)量認為集中于點為集中于點P, P, 其值近似為其值近似為x, yd. x, yd. P點對點對x軸和對軸和對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 dIxy2(x y)

10、d dIyx2(x y)d ds P(x,y)dyxyIDx),(2, dyxxIDy),(2. 設(shè)一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D 其面密度(x y) 是D上的連續(xù)函數(shù), 則該平面薄片對則該平面薄片對x、y軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 (3) 物體的轉(zhuǎn)動慣量物體的轉(zhuǎn)動慣量 類似地類似地 設(shè)一物體占有空間閉區(qū)域設(shè)一物體占有空間閉區(qū)域 其密度其密度(x y z)是是上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù) 則該物體對于則該物體對于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量為慣量為 設(shè)一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D 其面密度(x y) 是D上的連續(xù)函數(shù), dvzyxzyIx),()(22, dvzyxxzIy),()(

11、22, dvzyxyxIz),()(22. 則該平面薄片對則該平面薄片對x、y軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 dyxyIDx),(2, dyxxIDy),(2. (3) 物體的轉(zhuǎn)動慣量物體的轉(zhuǎn)動慣量上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例4 求由兩圓周求由兩圓周及2224)2(aayx)0()(222aaayx所圍的均勻薄片的質(zhì)心所圍的均勻薄片的質(zhì)心. 解解 因為閉區(qū)域因為閉區(qū)域D對稱于對稱于y軸軸,所以質(zhì)所以質(zhì)心心 必位于必位于 y 軸上軸上,于是于是),(00yx. 00 xayyx422r= 2 asin r = 4a sinayyx222由公式,10DydSy其中其中S的面積為的面積為.3)2(222aaaSDydDdrdrsin2drrdaasin4sin220sin043sin356da.73a所求重心坐標(biāo)為所求重心坐標(biāo)為).37, 0(aa42DoyxCa2上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁例例5 求由平面求由平面)0, 0, 0(1cbaczbyax及及x=0,y=0,z=0所圍之均勻物體對三個坐標(biāo)面的轉(zhuǎn)動