（精心整理）初三-幾何問題之中點題型

1、學員編號： 年 級：初三 課 時 數(shù)： 3學員姓名： 輔導科目：數(shù)學 學科教師： 授課類型T-同步講解C-專題T-能力提升星 級教學目標1. 掌握三角形的內角和定理；2. 了解三角形三邊的關系，并且能進行簡單的應用；3. 學習用三角形邊、角的關系進行簡單的計算和證明；4. 學習分析問題、解決問題的能力。授課時間教學內容 幾何問題之中點題型5. 掌握三角形的內角和定理；6. 了解三角形三邊的關系，并且能進行簡單的應用；7. 學習用三角形邊、角的關系進行簡單的計算和證明；8. 學習分析問題、解決問題的能力。一.中點有關聯(lián)想歸類：1.等腰三角形中遇到底邊上的中點，常聯(lián)想“三線合一”的性質；2.直角三

2、角形中遇到斜邊上的中點，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”；3.三角形中遇到兩邊的中點，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”；4、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點時，常聯(lián)想“八字型”全等三角形）；5.有中點時常構造垂直平分線；6.有中點時，常會出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）；7.倍長中線。二.與中點問題有關的四大輔助線：1.出現(xiàn)三角形的中線時，可以延長（簡稱“倍長中線”）；2.出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點，作斜邊中線；3.出現(xiàn)三角形邊上的中點，作中位線；4.出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點，構造“三線合一” 。三.幾何證明之輔助線構造技巧： 1.假如作一條輔助線，能起到什

3、么作用； 2.常作那些輔助線能與已知條件聯(lián)系更緊密，且不破壞已知條件。一、基礎回顧1.線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做這條線段的中點。2.若點是線段的中點，則： 從線段來看：； 從點與點的相對位置來看：點在點之間，且點關于點對稱。3.三角形的中線：連接三角形的一個頂點和它所對的邊的中點所得的線段叫做三角形的中線。 一個三角形有三條中線； 每條中線平分三角形的面積； 三角形的三條中線交于一點，每條中線被該點（重心）分成的兩段； 三角形的三條中線把三角形分成六個面積相等的小三角形。2、 如何延長三角形的中線 1.延長1倍的中線：如圖，線段是的中線，延長線段至，使（即延長1倍的中線）

4、，再連接?？偟膩碚f，就可以得到一個平行四邊形和兩對（中心選轉型）全等三角形、，且每對全等三角形都關于點中心對稱；詳細地說，就是可以轉移角：，；可以移邊：，；可以構造平行線：，；可以構造邊長與、有關的三角形：、。（1） 延長倍的中線：（且）如左（右）下圖，點為中線（延長線）上的點，延長至，使，連接、.在平行四邊形中就可以得到類似（1）中的結論。注意：通常在已知條件或結論中測及到與、有關的邊與角時，會用這種輔助線. 整體做題思路：例題1.如圖，中，是中線.求證：?！咀C明】：延長到點使得，聯(lián)結 是中線 在和中: ； ， 又 點評：1.比較角度大小，常用兩個方法：一是利用三角形的角度關系，將其中一個角

5、表示為另外一個角加上第三個角；二是利同一三角形中大邊對大角進行比較大??； 2.倍長中線是常用構造輔助線方法，并再結合同一三角形中大邊對大例題2.如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交 于.求證：?！咀C明】：延長到點使得，聯(lián)結 是中線 在和中: ； ， 又 例題3.已知中，求邊上的中線的范圍。 【解答】：延長到點使得，聯(lián)結 是中線 在和中: ； 在中，由兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，可得： 點評：求線段的范圍，一般利用三角形中“兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊”。1.如圖1，在中，點為中點，于點，則等于（ ）A B C D2. 如圖，中，為斜邊的中點，、分別為、上的點

6、，且，若，試求的長?！痉治觥浚喝缦聢D，可以把看作的一條中線。延長至點，使，連接、。則；所以，。因為，所以因為垂直平分，所以在中，由勾股定理得，所以。AGB DFE1 C2 3. 如圖，在中，為邊的中點，為的平分線，過作的平行線，交于，交的延長線于。求證：【分析】：如下圖，可以把看作的一條中線；延長至點，使，連接。則，所以，。因為，所以，；又因為，所以，所以由此得。所以A2 3GB E D CF1H4. 如圖所示，已知為中點，點在上，且，求證：。提示】：證法一：如圖1，延長到,使，連結 易證。 , , (證法二：如圖2，取的中點，取的中點，連結、；利用中位線來證明。) （其余方法略）圖1圖2 1

7、、 出現(xiàn)直角三角形斜邊的中點，作斜邊中線1.如圖，在中，直角所對的邊稱為的斜邊，由，過點作交于點，且。，.， 又，2.發(fā)現(xiàn)線段為斜邊上的中線，且等于斜邊的一半。3.作斜邊中線，可以構造出等腰三角形，從而得到相等的邊、相等的角。 4. 通常在知道直角三角形斜邊的中點的情況下，想到作斜邊中線這條輔助線。2、 出現(xiàn)三角形邊上的中點，作中位線1.中位線：連接三角形兩邊的中點所得的線段叫做三角形的中位線；也可以過三角形一邊的中點作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線；以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質，第二種需要說明理由為什么是中位線，再用中位線的性質. 2.中位線的性質

8、：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；3.中位線輔助線能起到的作用： 在線段大小關系上，三角形的中位線是三角形第三邊的一半，起著傳遞線段長度的功能. 在位置上，三角形的中位線平行三角形的第三邊，起著角的位置轉移和計算角的的功能.4.通常在以下兩種情況下，會作中位線輔助線： 有兩個（或兩個以上）的中點時； 有一邊中點，并且已知或求證中涉及到線段的倍分關系時。熟悉以下兩個圖形：例題4.如圖，在四邊形中，點、分別是、的中點，、的延長線分別交的延長線、。求證：?！咀C明】： 證法一：如圖1：連結，并取的中點為，連結、，則是的中位線， ， 由是的中位線， ， ， ， ， ，從而。（證法

9、二：如圖2，延長到,使，連結（略）。 或者延長到,使，連結也行。（其余方法略）圖2圖1例題5已知：如圖，中，在上取點，在延長線上取點，連結交于點，若是中點，求證：。【分析】：要證的，不在同一個三角形中，而它們所在的三角形又不是同類三角形，無法證明它們全等，由于是的中點，想到利用中點構造中心對稱圖形或中位線來移動或的位置，把它們集中到同一個三角形中或把不同類三角形轉化為同類三角形，使問題得以解決?！咀C明】：方法一：如圖2，過作交于，易證,再證。方法二：如圖3，過作交的延長線于。易證,再證： 。方法三：如圖4,在上取點,使,連結。則為的中位線。 再證：。圖2圖3圖4方法四: 如圖5，在的延長線上取

10、點，使，連結。則為的 中位線. 再證。方法五: 如圖6, 連結,取的中點，取的中點 ,連結、。則、 分別為中位線。再證，得。方法六: 如圖7, 連結,取的中點，取的中點，連結、。則、 分別為中位線。 再證,得。圖5圖6圖7例題6.已知如圖，中，是邊的中點，是邊的中點，連結并延長交于點。求證：。 【證明】：如圖1，過點做，交于 是邊的中點， 。 同理， 即 例題7例7. 如圖1-1，已知中，在中，連結，取中點，連結和，（1）若點在邊上，點在邊上且與點不重合，如圖1-1，求證：且；（2）將圖1-1中的繞點逆時針轉小于的角，如圖1-2，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，

11、請給予證明。圖1-2圖1-1【分析】：圖1-1中由于點為直角三角形斜邊的中點，顯然要利用斜邊中線的性質求解.圖1-2中盡管繞點進行了旋轉，但為的中點的條件依然未變，于是仍然可以利用中點還原出中心對稱基本圖形，使問題得解；另一方面，由于旋轉之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜邊中線及中位線來解決。 圖2圖3【證明】:（1）如圖2，在和中，為公共斜邊的中點, ， 且 （2）成立。方法一：如圖3：延長至，使，連結，延長交于 易證： , ， 為等腰直角三角形且方法二:如圖4，取的中點，取的中點，連結，,為中位線,為斜邊中線 。同理，四邊形為平行四邊形.， , 且圖4 5.如圖，中，是邊的中點，于點，若，求證：【提示】：證法一：如圖1，取的中點, 連結，所以，為中位線，得, 由得,在中，得,于是。（證法二：如圖2，取的中點, 連結，類似法一可證。（其余方法略）圖1圖26.如圖，已知正方形中，點、分別是、的中點。求證：【提示】：證法一，如圖1，延長、交于，易證，得，為線段的中點，由能證明，因此為直角三角形斜邊中線，所以。圖2(證法二：如圖2，取中點，連結，用中位線的性質證明。) 圖1【橫向拓展】 7.如圖，正方形的邊與正方形的邊在同一直線上（），連結，取線段的中點。