2.1-最常見的隨機(jī)過程或隨機(jī)模型ppt課件

1、1最常見的隨機(jī)過程或隨機(jī)模型最常見的隨機(jī)過程或隨機(jī)模型 2n Brown運(yùn)動或運(yùn)動或Wiener過程過程 n 二項(xiàng)過程二項(xiàng)過程 n Poission過程過程 n 白噪聲過程白噪聲過程 n 自回歸過程自回歸過程 n 移動平均過程移動平均過程 n 混合自回歸移動平均過程混合自回歸移動平均過程 n 利率期限結(jié)構(gòu)或均值回復(fù)模型利率期限結(jié)構(gòu)或均值回復(fù)模型 n ARCH類模型類模型主要內(nèi)容主要內(nèi)容31979年年Cox、Ross和和Rubinstein利用二項(xiàng)過程提出利用二項(xiàng)過程提出了二叉樹期權(quán)定價模型，用以構(gòu)造股票價格運(yùn)動過了二叉樹期權(quán)定價模型，用以構(gòu)造股票價格運(yùn)動過程，進(jìn)行股票期權(quán)定價分析。程，進(jìn)行股票

2、期權(quán)定價分析。目前，二叉樹模型已被廣泛應(yīng)用于金融資產(chǎn)定價領(lǐng)目前，二叉樹模型已被廣泛應(yīng)用于金融資產(chǎn)定價領(lǐng)域，并為直觀理解金融資產(chǎn)價格的復(fù)雜隨機(jī)行為提域，并為直觀理解金融資產(chǎn)價格的復(fù)雜隨機(jī)行為提供了最佳認(rèn)識工具，為金融計算提供了可行的數(shù)值供了最佳認(rèn)識工具，為金融計算提供了可行的數(shù)值方法。方法。二項(xiàng)過程二項(xiàng)過程4n二項(xiàng)分布是指隨機(jī)變量滿足概率分布二項(xiàng)分布是指隨機(jī)變量滿足概率分布n其中，其中，k=1,2, ，0p1)，要么以概率要么以概率q下降到下降到dS(d1)；時間為；時間為t+2t時時有三種可能：有三種可能：u2S、udS、d2S，以此類推，見樹，以此類推，見樹型結(jié)構(gòu)型結(jié)構(gòu) 圖3.1 股票價格的

3、樹型結(jié)構(gòu)6顯然，在顯然，在t +t 時刻，股票的期望價格為時刻，股票的期望價格為 E(St+t)=puS+(1-p)dS，在在t +2t 時刻，股票的期望價格為：時刻，股票的期望價格為：在在t + nt 時刻，股票的期望價格為：時刻，股票的期望價格為：SdpudSppSupSEtt22222)1 ()1 (2)(20222)1 (iiiiiiSduppc，)(tntSE0(1)niin iin iniC ppu dS-=-7引言：引言：Brown運(yùn)動是用以描述連續(xù)時間下金融資產(chǎn)價格運(yùn)動是用以描述連續(xù)時間下金融資產(chǎn)價格運(yùn)動的，但金融資產(chǎn)價格并不都是隨時間而連續(xù)變運(yùn)動的，但金融資產(chǎn)價格并不都是隨時

4、間而連續(xù)變化的，有時會出現(xiàn)跳躍，化的，有時會出現(xiàn)跳躍，Poission過程就是經(jīng)常過程就是經(jīng)常用以模擬跳躍的一類隨機(jī)過程。用以模擬跳躍的一類隨機(jī)過程。Poission過程過程 8計數(shù)過程：計數(shù)過程：如果用如果用t表示表示0,t內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的總數(shù)，則隨內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的總數(shù)，則隨機(jī)過程機(jī)過程t t0稱為計數(shù)過程，且滿足：稱為計數(shù)過程，且滿足：(a) t 0；(b) t是整數(shù)值；是整數(shù)值；(c) 對于任意兩個時刻對于任意兩個時刻0 st,有有st；(d) 對于任意兩個時刻對于任意兩個時刻0 st, t -s等于在區(qū)等于在區(qū)間間 中發(fā)生的事件的個數(shù)。中發(fā)生的事件的個數(shù)。, s t9 若在不相交的時間

5、區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)是獨(dú)立若在不相交的時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)是獨(dú)立的，則稱計數(shù)過程有獨(dú)立增量。的，則稱計數(shù)過程有獨(dú)立增量。 若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)的分布只依若在任一時間區(qū)間中發(fā)生的事件個數(shù)的分布只依賴于時間區(qū)間的長度，則稱計數(shù)過程有平穩(wěn)增量。賴于時間區(qū)間的長度，則稱計數(shù)過程有平穩(wěn)增量。顯然，顯然，t為一個正整數(shù)，為一個正整數(shù)，0=0；對于任意的時；對于任意的時刻刻0 st, 有有s t, t =t s表示表示s到到t時間段內(nèi)出現(xiàn)的事件數(shù)目。時間段內(nèi)出現(xiàn)的事件數(shù)目。 10設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程t t0是獨(dú)立增量過程，如果滿足是獨(dú)立增量過程，如果滿足(a) 0=0;(b) t t0是獨(dú)立

6、增量過程（是獨(dú)立增量過程（t=t s）；）；(c) 對任一長度為對任一長度為t的區(qū)間中事件的個數(shù)服從均值的區(qū)間中事件的個數(shù)服從均值為為(ts)的的Poission分布，即對一切分布，即對一切s t0 ，有，有 則稱則稱t t0為參數(shù)為為參數(shù)為(ts)的的Poission過程。過程。直接計算可知，直接計算可知，Et =Vt =t，即，所以，即，所以表表示單位時間內(nèi)事件出現(xiàn)的平均次數(shù)，因而示單位時間內(nèi)事件出現(xiàn)的平均次數(shù)，因而也常被也常被稱為發(fā)生率或強(qiáng)度。稱為發(fā)生率或強(qiáng)度。定義定義9 泊松過程泊松過程0,2 , 1 , 0,!)()()(kkestkPstkkst11隨機(jī)過程隨機(jī)過程tt0稱為白噪聲

7、過程，若稱為白噪聲過程，若Et=0，且且顯然，白噪聲過程一個平穩(wěn)的純粹隨機(jī)過程，在金顯然，白噪聲過程一個平穩(wěn)的純粹隨機(jī)過程，在金融研究中主要用于模型無法解釋的波動。融研究中主要用于模型無法解釋的波動。 白噪聲過程 0, 00,)(2jjEjtt12按時間次序排列的隨機(jī)過程按時間次序排列的隨機(jī)過程t( t=1，2，)稱為時間稱為時間序列。序列。若時間序列是相互獨(dú)立的，則說明事件后一刻的行為與前一若時間序列是相互獨(dú)立的，則說明事件后一刻的行為與前一刻毫無關(guān)系，即系統(tǒng)無記憶性?？毯翢o關(guān)系，即系統(tǒng)無記憶性。若情況相反，則前后時刻事件之間就有一定的依存性。其中若情況相反，則前后時刻事件之間就有一定的依存

8、性。其中最簡單的關(guān)系就是事件后一刻的行為只與前一刻的行為有關(guān)，最簡單的關(guān)系就是事件后一刻的行為只與前一刻的行為有關(guān)，而與其前一刻以前的行為無直接聯(lián)系，即而與其前一刻以前的行為無直接聯(lián)系，即t主要與主要與t -1相相關(guān)。從記憶的角度理解，是最短的記憶，即一期記憶，描述關(guān)。從記憶的角度理解，是最短的記憶，即一期記憶，描述這種關(guān)系的模型稱為一階自回歸過程，記為這種關(guān)系的模型稱為一階自回歸過程，記為AR1），即），即 t=at-1+ t，t=1,2, ，其中，其中，a為常數(shù)，為常數(shù)，t為白噪聲過程，稱為擾動項(xiàng)。當(dāng)為白噪聲過程，稱為擾動項(xiàng)。當(dāng)|a|1為非平穩(wěn)過程。為非平穩(wěn)過程。自回歸過程自回歸過程 13

9、更一般地，更一般地，m階自回歸過程階自回歸過程 t ( t=1，2，), 記為記為ARm）, 滿足：滿足： t =a1 t -1+ a2 t -2+am t -m+ tt=1，2，m階自回歸過程具有階自回歸過程具有m期記憶或者說期記憶或者說m階動態(tài)性。階動態(tài)性。若滯后算子多項(xiàng)式若滯后算子多項(xiàng)式1 a1z -amzm=0的根在單的根在單位圓之外時，為平穩(wěn)過程。否則，就是非平穩(wěn)的。位圓之外時，為平穩(wěn)過程。否則，就是非平穩(wěn)的。14自回歸過程表示在自回歸過程表示在t時刻的事件時刻的事件t 只與其以前的只與其以前的響應(yīng)響應(yīng)t -1，t -2，t -m 有關(guān)，而與以有關(guān)，而與以前時刻的擾動無關(guān)。若時間序列

10、前時刻的擾動無關(guān)。若時間序列t 與其以前與其以前的沖擊或擾動的沖擊或擾動t -1，t -2，t -n有關(guān)，有關(guān)，而與以前時刻的響應(yīng)無關(guān)，那就是而與以前時刻的響應(yīng)無關(guān)，那就是n階移動平均過階移動平均過程，記為程，記為MA(n),即即 t = b0+t +b1t -1+ b2t -2+ bnt nt=1，2，當(dāng)當(dāng)|bj|1表示沖表示沖擊將放大，其中擊將放大，其中i=1，2，,n。移動平均過程移動平均過程 15若時間序列若時間序列t 在在t時刻，不僅與其以前的自身時刻，不僅與其以前的自身值有關(guān)，而且與以前時刻的沖擊或擾動存在著一定值有關(guān)，而且與以前時刻的沖擊或擾動存在著一定的依存關(guān)系，則稱為混合自回

11、歸的依存關(guān)系，則稱為混合自回歸移動平均過程，移動平均過程，其一般形式記作其一般形式記作ARMA(m，n)）為）為t =a1t -1+ a2t -2+ amt -m+t +b1t -1+ b2t -2+ bn t n混合自回歸混合自回歸移動平均過程移動平均過程16在金融市場中，許多情況下的金融資產(chǎn)價格的變化，隨著時在金融市場中，許多情況下的金融資產(chǎn)價格的變化，隨著時間的推移常常趨于某個長期平均水平，稱為均值回復(fù)現(xiàn)象，間的推移常常趨于某個長期平均水平，稱為均值回復(fù)現(xiàn)象，例如利率的變化就常常如此。具體的利率期限結(jié)構(gòu)或均值回例如利率的變化就常常如此。具體的利率期限結(jié)構(gòu)或均值回復(fù)模型定義為復(fù)模型定義為其

12、中其中0，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)股票價格服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)股票價格S低于均值低于均值時，時，-S取正值，即取正值，即S具有正的漂移率，具有正的漂移率，dS將會變?yōu)檎怠７粗?，將會變?yōu)檎?。反之，?dāng)股票價格當(dāng)股票價格S高于均值高于均值時，時，-S取負(fù)值，即取負(fù)值，即S具有負(fù)的漂移具有負(fù)的漂移率，率，dS將會變?yōu)樨?fù)值。盡管變化過程中價格可能會偏離均將會變?yōu)樨?fù)值。盡管變化過程中價格可能會偏離均值值 ，但長期來看，但長期來看S都會向均值都會向均值靠近。過程中偏離的程度由靠近。過程中偏離的程度由參數(shù)參數(shù)0決定的。注意：資產(chǎn)價格表現(xiàn)出來的某種長期可預(yù)決定的。注意：資產(chǎn)價格表現(xiàn)出來的某種長期可預(yù)測性，與市場

13、有效性的假定是不符合的。測性，與市場有效性的假定是不符合的。利率期限結(jié)構(gòu)或均值回復(fù)模型利率期限結(jié)構(gòu)或均值回復(fù)模型 dtSdtSudS)(17事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)中的金融資產(chǎn)的收益變化和分布主要呈現(xiàn)出事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)中的金融資產(chǎn)的收益變化和分布主要呈現(xiàn)出以下基本特征：以下基本特征： 金融資產(chǎn)的收益變化和分布表現(xiàn)出明顯的非線性特點(diǎn)；金融資產(chǎn)的收益變化和分布表現(xiàn)出明顯的非線性特點(diǎn)； 與正態(tài)分布相比，金融資產(chǎn)的收益分布的尾部通常較厚，與正態(tài)分布相比，金融資產(chǎn)的收益分布的尾部通常較厚，方差小的變量絕大多數(shù)集中在均值附近，而方差大的變量方差小的變量絕大多數(shù)集中在均值附近，而方差大的變量則多集中于分布的尾部；則多集中于

14、分布的尾部； 收益的波動性有時很大，有時卻很小，而且有關(guān)波動性的收益的波動性有時很大，有時卻很小，而且有關(guān)波動性的沖擊常常要持續(xù)一段時間才會消失，即同時呈現(xiàn)出集聚性沖擊常常要持續(xù)一段時間才會消失，即同時呈現(xiàn)出集聚性和持久性，這表明資產(chǎn)收益序列具有條件異方差的特性；和持久性，這表明資產(chǎn)收益序列具有條件異方差的特性； 金融資產(chǎn)收益呈現(xiàn)出明顯的自相關(guān)性；金融資產(chǎn)收益呈現(xiàn)出明顯的自相關(guān)性； 金融市場尤其是股票市場，價格運(yùn)動與波動性是常為負(fù)相金融市場尤其是股票市場，價格運(yùn)動與波動性是常為負(fù)相關(guān)的，也就是負(fù)的回報要比正的回報導(dǎo)致更大的條件方差，關(guān)的，也就是負(fù)的回報要比正的回報導(dǎo)致更大的條件方差，即具有非對

15、稱的杠桿效應(yīng)。即具有非對稱的杠桿效應(yīng)。 ARCH類模型類模型18傳統(tǒng)的隨機(jī)過程和模型對金融資產(chǎn)收益的模擬和描述主要傳統(tǒng)的隨機(jī)過程和模型對金融資產(chǎn)收益的模擬和描述主要是線性的，不能很好處理上述特征，因而也常常無法準(zhǔn)確是線性的，不能很好處理上述特征，因而也常常無法準(zhǔn)確估計和預(yù)測金融資產(chǎn)的收益及其波動性。估計和預(yù)測金融資產(chǎn)的收益及其波動性。 ARCH類模型一般由條件均值方程和條件方差方程兩個方類模型一般由條件均值方程和條件方差方程兩個方程組成。但由于此類方程主要用于估計波動性和相關(guān)性，程組成。但由于此類方程主要用于估計波動性和相關(guān)性，所以重點(diǎn)在條件方差方程，而條件均值方程常常比較簡單所以重點(diǎn)在條件方差方程，而條件均值方程