旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積43756學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(min j)43756第一頁，共52頁。ybxa)(2xfy )(1xfy O1. 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)情形情形設(shè)曲線(qxin)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd第1頁/共51頁第二頁，共52頁。22,xyxy在第一(dy)象限所圍圖形(txng)的面積 . 解解: 由xy 22xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x31

2、10AxyOxy 22xy xxxd) 1 , 1 (1第2頁/共51頁第三頁，共52頁。Oxy224 xyxyxy22與直線(zhxin)的面積(min j) . 解解: 由xy224 xy得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有42Ayyyd第3頁/共51頁第四頁，共52頁。ab12222byax解解: 利用利用(lyng)對稱性對稱性 , xyAdd所圍圖形(txng)的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得02

3、4Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式xxxdxyO第4頁/共51頁第五頁，共52頁。yxabOabOyx)()(tytx給出時(shí),按順時(shí)針方向規(guī)定(gudng)起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形(txng)面積21d)()(tttttA)(1axt對應(yīng))(1bxt對應(yīng)第5頁/共51頁第六頁，共52頁。xya2O)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面(pngmin)圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042

4、uuadsin162042216a4321223 a20Attad)cos1 (2022第6頁/共51頁第七頁，共52頁。,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線(qxin)(r及,射線圍成的曲邊扇形(shn xn)的面積 .)(r d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A xO第7頁/共51頁第八頁，共52頁。對應(yīng)(duyng) 從 0 變解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所圍圖形(txng)面積 . a2xO第8頁/共51頁第九頁，共52頁。心形線 xa2Ottadcos82042所圍

5、圖形(txng)的面積(min j) . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對稱性)2t令28a43212223a心形線第9頁/共51頁第十頁，共52頁。xyaO2222yxaxayx即)cos1 ( ar點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始(kish)或暫停 尖點(diǎn):)0,0( 面積(min j):223 a 弧長:a8參數(shù)的幾何意義第10頁/共51頁第十一頁，共52頁。2coscos21)2cos1 (21aa2 xyO與圓所圍圖形(txng)的面積 . 解解: 利用利用(lyng)對稱性對稱性 ,)0()cos1 (aar所求面積ar d)cos

6、1 (2122a2221aA22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2第11頁/共51頁第十二頁，共52頁。a2sin2a所圍圖形(txng)面積 . 解解: 利用利用(lyng)對稱性對稱性 ,2cos22ar d2cos212a404A402a)2(d2cos0則所求面積(min j)為42a思考思考: 用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2cos21462a4答案答案:4yxO第12頁/共51頁第十三頁，共52頁。定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnM當(dāng)折線(zhxin)段的最

7、大邊長 0 時(shí),折線的長度趨向于一個(gè)(y )確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 ,即并稱(bn chn)此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)ni 10lims則稱OAByx第13頁/共51頁第十四頁，共52頁。sdabyxO)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(yun s)(弧微分) :xxxdxyd12因此(ync)所求弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs第14頁/共51頁第十五頁，共52頁。)()()(ttytx弧長元素(yun s)(弧微分) :因此(ync)所求弧長tttsd)()(22tttd)()(

8、2222)(d)(ddyxs第15頁/共51頁第十六頁，共52頁。)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此(ync)所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(yun s)(弧微分) :(自己驗(yàn)證)第16頁/共51頁第十七頁，共52頁。)ch(cxccxccsh1)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22eechxxx )(chx2eeshxxx )(shxxshxchcxbbOy下垂(xi chu)懸鏈線方程(fngchng)為第17

9、頁/共51頁第十八頁，共52頁。ttyxdcos2解解:,0cosx此題22xxysd1222的弧長.xxd)cos(12202xxd2cos2220022sin222x4第18頁/共51頁第十九頁，共52頁。)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2第19頁/共51頁第二十頁，共52頁。d222aa相應(yīng)(xingyng)于 02一段的弧長 . 解解:)0( aard)()(d22r

10、rsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 第20頁/共51頁第二十一頁，共52頁。設(shè)所給立體(lt)垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)(duyng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù),第21頁/共51頁第二十二頁，共52頁。Oxy)(yx2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍(zhuwi)成的立體體積時(shí),有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮(kol)連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有2)(yyddcVycdxyabxya

11、bO)(xfy x第22頁/共51頁第二十三頁，共52頁。ayxb12222byax所圍圖形(txng)繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積(tj). 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x第23頁/共51頁第二十四頁，共52頁。tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別(tbi)當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積.343aayxbOx第24頁/共51頁第二十五頁，共52頁。a2xyO)cos1 (

12、)sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體(lt)體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)(xunzhun)而成的體積為而成的體積為xyVaxd202利用對稱性利用對稱性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202第25頁/共51頁第二十六頁，共52頁。xyOa2a)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad

13、)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意(zh y)上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注)(1yxx 注 第26頁/共51頁第二十七頁，共52頁。分部(fn b)積分對稱關(guān)于2202dsin)sin(tttt20322d )sinsin2sin(tttttt)(tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用(lyng)“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226第27頁/共51頁第二十八頁，共52頁。柱殼體積(tj)xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱面面積(min j)xyx

14、d2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02Oa2xy第28頁/共51頁第二十九頁，共52頁。偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函數(shù)336a第29頁/共51頁第三十頁，共52頁。軸所圍圖及表示xtxxfytV)0(, )()()(xfy 在 x0 時(shí)為連續(xù)(linx)的非負(fù)函數(shù), 且 ,0)0(f形繞直線(zhxin) xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明(z

15、hngmng):. )(2)(tftV 證證:xtxxd利用柱殼法xxfxtVd)()(2d則xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故)(xfxOy第30頁/共51頁第三十一頁，共52頁。并與底面交成 角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程(fngchng)為垂直于x 軸 的截面(jimin)是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積

16、.ORxyx第31頁/共51頁第三十二頁，共52頁。ORx),(yxyR此時(shí)截面(jimin)面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示(biosh)體積 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22第32頁/共51頁第三十三頁，共52頁。解解: 垂直垂直 x 軸的截面軸的截面(jimin)是橢圓是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby1222222czbyax所圍立體(lt)(橢球體)它的面積為)1 ()(22axcbxA因此橢球體體積為xbcaxd)1 (22cb20acba34特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積 .)(axaaV02x23

17、3axx 的體積.Oazxycb第33頁/共51頁第三十四頁，共52頁。132xy與 x 軸圍成的封閉(fngb)圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)(xunzhun)得的旋轉(zhuǎn)(xunzhun)體體積.(1994 考研)解解: 利用對稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122x12yBCAO3第34頁/共51頁第三十五頁，共52頁。設(shè)平面(pngmin)光滑曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分(jfn)

18、后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xxyO)(xfy ab第35頁/共51頁第三十六頁，共52頁。xyO)(xfy absySd2d側(cè)面積(min j)元素xyd2sdxd若光滑曲線(qxin)由參數(shù)方程)()()(ttytx給出,則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周(y zhu)所得旋轉(zhuǎn)體的)(2ttttd)()(22S側(cè)面積為xyd2原因是的線性主部 .不是薄片側(cè)面積S 第36頁/共51頁第三十七頁，共52頁。xxfxfSbad)(1)(22RxyO上繞在,21222RRxxxRyxx

19、軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(qi ti)的側(cè)面積 S .解解: 對曲線對曲線(qxin)弧弧,2122xxxxRy應(yīng)用公式得212xxS22xR 21 22xRxxd21d2xxxR)(212xxR當(dāng)球臺高 h 2 R 時(shí), 得球的表面積公式24RS 1x2xOzyx第37頁/共51頁第三十八頁，共52頁。一周(y zhu)所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積 S .解解: 利用利用(lyng)對稱性對稱性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉(zhuǎn)(xunzhun) taytax33sin,cosO

20、yx星形線 星形線)()()(ttytx)(2ttttd)()(22S第38頁/共51頁第三十九頁，共52頁。taytax33sin,cos星形線是內(nèi)擺線(bi xin)的一種.點(diǎn)擊圖片任意點(diǎn)擊圖片任意(rny)處處播放開始或暫停播放開始或暫停大圓(d yun)半徑 Ra小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡為內(nèi)擺線)aOyxt第39頁/共51頁第四十頁，共52頁。1. 平面(pngmin)圖形的面積邊界(binji)方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程

21、上下限按順時(shí)針方向確定直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長時(shí)積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212A第40頁/共51頁第四十一頁，共52頁。baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積(tj)2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(min j)sySd2d側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式)yxxA2)(繞 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 第41頁/共51頁第四十二頁，共52頁。1.用定積分表示圖中陰影部分的面積(min j) A 及邊界長 s .提示提示(tsh): 交點(diǎn)為交點(diǎn)為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yx

22、yxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 為積分變量 , 則要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 第42頁/共51頁第四十三頁，共52頁。)()(222bRRbyx繞 x 軸RbR上上半圓(bnyun)為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbxd求體積(tj) :提示提示:方法方法1 利用對稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及表面積 S .OxyRV02bR222第43頁/共51頁第四十四頁，共52頁。OxyRbRVdy2x2ydRbRbV4ybyRyd)(22ybR222說明說明

23、(shumng): 上式可變形為上式可變形為2RV b2d2bR 20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映(fnyng)了環(huán)體元素的另一種取法(如圖所示). dd2bRV第44頁/共51頁第四十五頁，共52頁。OxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用(lyng)對稱性RS2b2S上式也可寫成d2bR20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映(fnyng)了環(huán)面元素的另一種取法: d2dbRS第45頁/共51頁第四十六頁，共52頁。P284 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2)

24、, (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 面積面積(min j)及弧長部分：及弧長部分： 體積體積(tj)及表面積部分：及表面積部分：P286 13; 14 ; 15 (1), (4) ; 17; 18補(bǔ)充題補(bǔ)充題: 設(shè)有曲線 ,1xy過原點(diǎn)作其切線 , 求由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.第三節(jié) 第46頁/共51頁第四十七頁，共52頁。解：解：1. 求曲線求曲線(qxin)所圍圖形(txng)的面積.1lnlnyx顯然1ln,1lnyxOyxe1e1e11eee,ee11yxxln,lnx,lnxe1 x1e1xyln,ln y,ln ye1 y1e1y1e1x1e1y,e1xy中曲線為面積為同理其他.e1yxxyeexy exyS1e1dx)e1(e