第三部分 線性方程組解集結構

1、第三部分第三部分 線性方程組的解集的結構線性方程組的解集的結構數(shù)數(shù)項項直直接接決決定定。以以由由方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)和和常常線線性性方方程程組組的的唯唯一一解解可可未未知知數(shù)數(shù)個個數(shù)數(shù)的的中中我我們們了了解解了了方方程程個個數(shù)數(shù)在在第第二二部部分分“行行列列式式” ，其其解解集集的的結結構構。斷斷，以以及及有有無無窮窮多多解解時時從從它它的的系系數(shù)數(shù)和和常常數(shù)數(shù)項項判判程程組組其其解解可可否否直直接接未未知知數(shù)數(shù)個個數(shù)數(shù)時時的的線線性性方方或或者者當當方方程程個個數(shù)數(shù)行行列列式式的的情情形形。但但是是對對于于系系數(shù)數(shù)即即解解決決了了系系數(shù)數(shù)行行列列式式 00進進一一步步探探討討。這這些些問

2、問題題將將在在這這部部分分中中。和和有有序序數(shù)數(shù)組組的的加加法法運運算算即即數(shù)數(shù)量量乘乘法法運運算算數(shù)數(shù)組組際際上上就就產(chǎn)產(chǎn)生生了了數(shù)數(shù)乘乘有有序序矩矩陣陣的的初初等等行行變變換換中中實實，稱稱為為向向量量一一行行看看成成是是有有序序數(shù)數(shù)組組思思考考之之一一：將將矩矩陣陣的的每每)()(維維向向量量空空間間。這這樣樣的的集集合合稱稱為為條條運運算算法法則則一一起起，律律、結結合合律律、分分配配律律等等運運算算，并并滿滿足足加加法法交交換換量量乘乘法法，連連同同其其加加法法運運算算和和數(shù)數(shù)元元有有序序數(shù)數(shù)組組構構成成的的集集合合將將所所有有nn8原原點點的的一一條條直直線線。的的解解集集是是平平

3、面面上上過過程程思思考考之之二二：二二元元齊齊次次方方02 yx為為某某個個實實數(shù)數(shù)。其其中中表表示示成成都都可可以以，則則直直線線上上的的每每個個向向量量向向量量在在此此直直線線上上取取一一個個非非零零kk , 表表示示出出來來。過過一一個個解解的的無無窮窮多多個個解解都都可可以以通通這這表表明明方方程程 02 yx解解時時解解的的結結構構。研研究究線線性性方方程程組組無無窮窮多多因因此此，受受此此啟啟發(fā)發(fā)，為為了了間的關系。間的關系。量的形式，考察向量之量的形式，考察向量之我們把每一組解寫出向我們把每一組解寫出向n維向量的定義： n個有次序的數(shù)a1,a2,an所組成的數(shù)組。實向量與復向量。

4、n維列向量： naaaa21n維行向量： nTaaaa,21 向量組及其線性組合（參見第章）向量組及其線性組合（參見第章）稱為系數(shù)。稱為系數(shù)。的線性組合，其中的線性組合，其中為向量組為向量組稱向量稱向量任給一組數(shù)任給一組數(shù)量組量組維向量空間中，給定向維向量空間中，給定向在在sssssskkkkkkkkkn,212122112121 線性表示。線性表示?？捎上蛄拷M可由向量組則稱則稱使得使得若存在一組數(shù)若存在一組數(shù)以及向量以及向量量組量組維向量空間中，給定向維向量空間中，給定向在在ssssskkkkkkn ,2122112121 ）（組組運運算算，可可以以把把線線性性方方程程利利用用向向量量的的加

5、加法法和和數(shù)數(shù)乘乘122112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa mmnnnnmmbbbaaaxaaaxaaax2121222122121111寫寫成成 nnxxx2211即即量。量。是由常數(shù)項組成的列向是由常數(shù)項組成的列向量組；量組；的系數(shù)矩陣對應的列向的系數(shù)矩陣對應的列向是線性方程組是線性方程組其中其中 )1(,21n nnnnnkkkkkkxxx2211212211,使使得得存存在在有有一一組組數(shù)數(shù)有有解解線線性性方方程程組組于于是是線線性性表表示示?？煽捎捎蒼 ,21列向量組來線性表示。列向量組來線性表示。不能由系數(shù)矩陣對應的

6、不能由系數(shù)矩陣對應的常數(shù)項構成的列向量能常數(shù)項構成的列向量能否有解的問題歸結為：否有解的問題歸結為：這樣就把線性方程組是這樣就把線性方程組是向作用。向作用。注意：這個結論具有雙注意：這個結論具有雙線性表示？線性表示？能否由能否由向量向量設設例例 ,1563,5211 一？一？若能，表達方式是否唯若能，表達方式是否唯線性表示？線性表示？能否由能否由問：向量問：向量設設例例321321,1301,0411,3121,22112 且表達方式唯一。且表達方式唯一。線性表示，線性表示，維向量都能由維向量都能由證明：任一證明：任一維向量空間中，令維向量空間中，令在在例例nnnn ,100,010,0013

7、2121 向向量量來來線線性性表表示示？這這部部分分量量組組中中任任一一向向量量都都能能由由一一部部分分向向量量，使使得得該該向向一一定定存存在在組組，在在該該向向量量組組中中是是否否思思考考：在在給給定定一一個個向向量量由由此此推推廣廣向量組的線性相關與線性無關向量組的線性相關與線性無關（參見第章（參見第章）22112121,2 kk 唯唯一一地地線線性性表表示示：都都可可以以由由任任何何一一個個向向量量，個個不不共共線線的的向向量量維維平平面面空空間間中中，給給定定兩兩在在比較清楚了。比較清楚了。這樣平面空間的結構就這樣平面空間的結構就。以及最大無關組的概念以及最大無關組的概念無關無關量組

8、的線性相關、線性量組的線性相關、線性因此，我們需要引入向因此，我們需要引入向線線性性相相關關。則則稱稱向向量量組組使使得得的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不全全為為給給定定向向量量組組定定義義AkkkkkkAmmmm, 0,0,:122112121 0,0212211全全為為只只能能推推出出mmmkkkkkk 即即如如果果那那么么稱稱為為線線性性無無關關。如如果果不不是是線線性性相相關關的的，給給定定向向量量組組定定義義,:221mA 線線性性無無關關。）向向量量組組（ 100,010,001321n 。向量的向量組線性相關向量的向量組線性相關）包含）包含（從定義可以看出從定義可以看出01。線性相關

9、線性相關）單個向量）單個向量（02 本本質(zhì)質(zhì)區(qū)區(qū)別別：與與線線性性無無關關的的向向量量組組的的的的向向量量組組同同的的角角度度考考察察線線性性相相關關我我們們可可以以從從以以下下幾幾個個不不）從從線線性性組組合合看看：（1向向量量；的的線線性性組組合合它它們們有有系系數(shù)數(shù)不不全全為為線線性性相相關關向向量量組組00,21 m 向向量量的的線線性性組組合合它它們們只只有有系系數(shù)數(shù)全全為為線線性性無無關關向向量量組組00,21 m ）從從線線性性表表示示看看：（2剩剩余余的的向向量量線線性性表表示示。至至少少存存在在一一個個向向量量能能由由）線線性性相相關關（向向量量組組 2,21mm 剩剩余余的

10、的向向量量線線性性表表示示。任任何何一一個個向向量量都都不不能能由由）線線性性無無關關（向向量量組組 2,21mm ：）從從齊齊次次線線性性方方程程組組看看（3有有非非零零解解。齊齊次次線線性性方方程程組組線線性性相相關關向向量量組組0,221121 mmmxxx 只只有有零零解解。齊齊次次線線性性方方程程組組線線性性無無關關向向量量組組0,221121 mmmxxx ）從從行行列列式式看看：（40,2121 的的矩矩陣陣的的行行列列式式為為列列（行行）向向量量組組構構成成以以線線性性相相關關維維列列（行行）向向量量組組個個nnnn 0,2121 的的矩矩陣陣的的行行列列式式為為列列（行行）向

11、向量量組組構構成成以以線線性性無無關關維維列列（行行）向向量量組組個個nnnn 組組或或縮縮短短組組的的關關系系看看：）從從向向量量組組與與它它的的延延伸伸（6組組也也線線性性無無關關；得得到到的的延延伸伸的的向向量量個個向向量量都都一一樣樣所所添添分分量量的的位位置置對對于于每每個個分分量量那那么么把把每每個個向向量量都都添添上上如如果果向向量量組組線線性性無無關關，)(m組組也也線線性性相相關關。得得到到的的縮縮短短的的向向量量個個向向量量都都一一樣樣去去掉掉分分量量的的位位置置對對于于每每個個分分量量那那么么把把每每個個向向量量都都去去掉掉如如果果向向量量組組線線性性相相關關，)(m向向

12、量量組組的的關關系系看看：）從從向向量量組組與與它它的的部部分分（5也也線線性性相相關關；向向量量組組量量組組線線性性相相關關，則則整整個個如如果果向向量量組組的的一一部部分分向向也也線線性性無無關關。則則任任何何一一部部分分向向量量組組如如果果向向量量組組線線性性相相關關， 1052,3124,1203)1(1321 相相關關還還是是線線性性無無關關。判判斷斷下下列列向向量量組組是是線線性性例例 1023,2426,3214,0231)2(4321 線線性性表表示示。不不能能由由線線性性表表示示；能能由由證證明明：線線性性無無關關，線線性性相相關關，向向量量組組設設向向量量組組例例32143

13、21432321,)2(,)1(,2 。線線性性無無關關的的充充要要條條件件是是證證明明：線線性性無無關關，并并且且設設向向量量組組例例0,.,3212222111211212211222212121212111121 sssssssssssssssssskkkkkkkkkkkkkkkkkk 0,221121 sxsxxxxxx 使使得得證證明明：設設有有一一組組數(shù)數(shù)；即即0)()()(22112222121212121111 sssssssssskkkxkkkxkkkx ；也也就就是是，0)()()(22112222211211221111 ssssssssssxkxkxkxkxkxkxkxkxk ）（故故只只有有線線性性無無關關，因因100022112222112122111121 ssssssssssxkxkxkxkxkxkxkxkxk 0,2121 ssxxx只只能能線線性性無無關關綜綜上上， ）只只有有零零解解上上述述齊齊次次方方程程組組（1。0212222111211 sssssskkkkkkkkk.34 ,5,2,1133221321線線性性無無關關向向量量組組線線性性無無關關，那那么么設設向向量量組組練練習習 是是否否線線性性無無關關？判判斷斷向向量量組組，線線性性無無關關，令令設設向向量量組組練練習習4321432144321343212