2.1-- 抽樣Z變換--頻域抽樣理論ppt課件

1、3-7 抽樣抽樣Z變換變換-頻域抽樣理論頻域抽樣理論3-8 利用利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近對連續(xù)時間信號的逼近3-6 DFT的性質(zhì)的性質(zhì)3-5 DFT-有限長序列的離散頻域表示有限長序列的離散頻域表示3-3 周期序列的周期序列的DFS3-4 DFS的性質(zhì)的性質(zhì)3-2 傅氏變換的幾種可能形式傅氏變換的幾種可能形式3-1 引言引言一.DFT是重要的變換 1.分析有限長序列的有用工具。 2.在信號處理的理論上有重要意義。 3.在運算方法上起核心作用，譜分析、 卷積、相關都可以通DFT在計算機上 實現(xiàn)。 3-1引言引言二.DFT是現(xiàn)代信號處理橋梁 DFT要解決兩個問題：一是離散與量化，二是快速運算

2、。信號處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化 3-2 傅氏變換的幾種可能形式一.連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換0t0dtetxjXtj)()(:正dejXtxtj)(21)(:反)( jX)(tx時域信號頻域信號連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對稱性: 時域連續(xù)，那么頻域非周期。 反之亦然。二.連續(xù)時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數(shù)2/2/00)(1)(:ppTTtjkpdtetxTjkX正0tpT)(tx-ktjkejkXtx0)()(:0反0)(0jkXpT20時域信號頻域信號連續(xù)的周期的非周期的離散的*時域周期為Tp, 頻域譜線間隔為2/Tp三.離散時間、連續(xù)頻率的傅氏變換 -序列的傅

3、氏變換nTjnTjenTxeX)()(:正x(nT)T-T0T2Tt0Ts2)(TjjeXeX或-2/2/)(1)(:ssdeeXnTxTjnTjs反時域信號頻域信號離散的非周期的周期的連續(xù)的TTs2,*頻域的周期為時域抽樣間隔為四.離散時間、離散頻率的傅氏變換-DFTx(nT)=x(n)FTp1t0T 2T1 2 N NTTpn0002 0 1 2 3)1()1(0NNNN0k)()(0kxexTjk TfTss120NsFTp220NT 由上述分析可知，要想在時域和頻域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時域信號頻域信號離散的周期的周期的離散的.2,;2*0TTTTspp頻域的周期為時域的離

4、散間隔為為函數(shù)，頻域的離散間隔時域是周期為002/2/:10,2:10:)(1)()()(ddNkFkkNndeeXnTxenTxeXssTjnTjsnTjnTj從DFT的簡單推演： 在一個周期內(nèi)，可進行如下變換：102210220010010)(1)()()(222)()()()(0000NknkNjkNjNnnkNjkNjspNkTjnkTjksNnTjnkTjkeeXNnTxenTxeXNTTTeeXnTxenTxeX因此又 )()(2kNjeXnTx視作n的函數(shù)，視作k的函數(shù)，)()()()(2kXeXnxnTxkNj這樣,102102)(1)()()(NknkNjNnnkNjekXN

5、nxenxkX正反 3-3 周期序列的周期序列的DFS一一.周期序列周期序列DFS的引入的引入ktjkekXtx0)()(0對上式進行抽樣，得： 導出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的復數(shù)傅氏級數(shù)開始的： knkNjknTjkekXekXnTx200)()()(0NT20)(nTx)(0kX因 是離散的，所以 應是周期的。)(0kX，代入而且，其周期為 ，因而 應是N點的周期序列。0/2 NT 又由于 所以求和可以在一個周期內(nèi)進行，即 這就是說，當在k=0,1,., N-1求和與在k=N,.,2N-1求和所得的結果是一致的。knNjrnjnkNjnrNkNjeeee222)(2102

6、0)()()()()()(NknkNjekXnxkXkXnxnTx則有，；，考慮到：1020NknkNjekXnTx二. 的k次諧波系數(shù) 的求法 1.預備知識)(nx)(kXrmmNrNeNnrnNj，其他為任意整數(shù)0,102)(11122)1(2222102時mNrNeeeeeerNjNrNjNrNjrNjrNjNnrnNj 同樣，當 時，p也為任意整數(shù)，那么)()0(10)(2pNrkNNNeNnnrkNj)()()()(10rXpNrXpNrkkXNk)()()(110)(2pNrkpNrkpNrkeNNnnrkNjpNrk所以亦即t 的表達式t 將式 的兩端乘 t t ，然后從 n=0

7、到N-1求和，那么：)(kXnrNje2102)(NnnrNjenx102)()(NknkNjekXnx1010)(2)(NnNknrkNjekX)()()()()()()(101010)(21010)(2102rXNpNrXNpnrkNkXekXekXenxNkNkNnnrkNjNnNknrkNjNnnrNj102)(1)(,NnnrNjenxNrX因此102102102)()()(1)(,)(1)(NkknNjNnknNjNnknNjekXnxenxNkXenxNkXkr對于周期序列所以則有換成將)(nx的DFS 通常將定標因子1/N移到 表示式中。即：)(nx102102)(1)()()

8、(NkknNjNnknNjekXNnxenxkX3.離散傅氏級數(shù)的習慣表示法 通常用符號 代入，那么：NjNeW210102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnx正變換：反變換：4. 的周期性與用Z變換的求法)(kX)()()()()(102102210)(2kXenxeenxenxmNkXNnknNjNnmnjknNjNnnmNkNj周期性：個不同值。只有這就是說，NkX)( 的一個周期內(nèi)序列記作 ,而且)(nx =)(nx, 0n N-10 , 其他n10)()()(NnnnnZn

9、xZnxZX對 作Z變換， nx)(nx)(nx用Z變換的求 ：)(kX 可見， 是Z變換 在單位圓上抽樣，抽樣點在單位圓上的N個等分點上，且第一個抽樣點為k=0。kNjeZ2)()()(1022kXenxeXNnknNjkNj)(kX)(ZX假如 ，則有 ZjIm ZRe1234567(N-1)N2k=0其中，a,b為任意常數(shù)。)()()()(2211nxDFSkXnxDFSkX)()()()(2121kXbkXanxbnxaDFS 3-4DFS的性質(zhì)的性質(zhì)一.線性假如則有二.序列的移位 )()(kXnxDFS)()()(2kXekXWmnxDFSmkNjmkN則有：假如證明：10)()(N

10、nnkNWmnxmnxDFS令i=m+n,那么 n=i-m。n=0 時，i=m; n=N-1時，i=N-1+m所以 mkNmNmiikNWWixmnxDFS1)()()()(10kxWWixWmkNNiikNmkN* 和 都是以N為周期的周期函數(shù)。)(ixikNW三.調(diào)制特性 假如 則有 )()(kXnxDFS)()(mkXnxWDFSmnN證明： )()()()(10)(10mkXWnxWnxWnxWDFSNnnmkNknNNnmnNmnNmnNjnmNjmnNjmnNeeeW)(222時域乘以虛指數(shù)( )的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。nNje2四.周期卷積和 1.假如 那么：)()()(

11、21kXkXkY10101221)()()()()()(NmNmmnxmxmnxmxkYIDFSny證明從略。 2.兩個周期序列的周期卷積過程 （1畫出 和 的圖形； （2將 翻摺,得到 可計算出：)(1mx)(2mx)(2mx)0()(22mxmx1102011010101)0()()0(5021mmxmxy)(2mxm計算區(qū))(2mx mm)(1mx 0 1 2 3 )(2mx )1 (2mx1101001010111)1 ()() 1 (5021mmxmxy（3將 右移一位、得到可計算出：)1 (2mxm計算區(qū))(2mx mm)(1mx 0 1 2 3 )1 (2mxm（4將 再右移一位

12、、得到 ，可計算出：)(2mx )2(2mx3100001011121)2()()2(5021mmxmxy（5以此類推， 4000001112111)3()()3(5021mmxmxy, 4)4(y同樣，可計算出：3)5(y)(nyn134 4計算區(qū)313.頻域卷積定理 假如 ，那么)()()(21nxnxny1012102110)()(1)()(1)()()(NlNlNnnkNlkXlXNlkXlXNWnynyDFSkY證明從略。 3-5 DFT-有限長序列的離散頻域表示有限長序列的離散頻域表示一一.預備知識預備知識 1.余數(shù)運算表達式余數(shù)運算表達式 假如假如 ， m為整數(shù)；則有：為整數(shù)；則

13、有： 此運算符表示此運算符表示n被被N除，商為除，商為m，余數(shù)，余數(shù)為為 。 是是 的解的解,或稱作取余數(shù)或稱作取余數(shù),或說作或說作n對對N取取 模值模值, 或簡稱為取模值或簡稱為取模值,n模模N。mNnn1101Nn1nnN1n)(1n Nn例如： (1) (2)7252792259,2591nNnNn5455949,49NnNn 先取模值，后進行函數(shù)運作;而 視作將周期延拓。 含義1nxnxN Nnxnx1 1nx2.二.有限長序列x(n)和周期序列 的關系)(nxmmNnxnx)()( =)(nx, 0nN-10 , 其他n )(nx周期序列 是有限長序列x(n)的周期延拓。)(nx有限

14、長序列x(n)是周期序列 的主值序列。)(nx Nnx)()()(nRnxnxN或如：N-1nx(n)0.n)(nx0N-1定義從n=0 到N-1的第一個周期為主值序列或區(qū)間。三.周期序列 與有限長序列X(k)的關系)(kX )()()()(kRkXkXkXkXNN 同樣， 周期序列 是有限長序列X(k)的周期延拓。 而有限長序列X(k)是周期序列 的主值序列。)(kX)(kX四.從DFS到DFT10)()()(NnnkNWnxnxDFSkX10)(1)()(NknkNWkXNkXIDFSnx 從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間 進展。 因

15、此可得到新的定義，即有限序的離散傅氏變換(DFT)的定義。1010)(1)()()()()(NknkNNnnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX, 0kN-1, 0nN-1或者：)()()()()()(nRnxnxkRkXkXNN 3-6 DFT的性質(zhì)一.線性1.兩序列都是N點時 假如 則有：)()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT2. 和 的長度N1和N2不等時， 選擇 為變換長度,短者進行補零達到N點。)(1nx)(2nx21,maxNNN 二.序列的圓周移位1.定義一個有限長序列 的圓周移位定義為這里包括三層意

16、思：先將 進行周期延拓再進行移位最后取主值序列： nRmnxnxNNm)( Nnxnx)(Nmnxmnx)( nRmnxnxNNm)()(nx)(nxn)(nx0N-1nNnxnx)()(0周期延拓nNnxnx2)2(0左移2n)()2(nRnxNN0取主值N-12.圓周位移的含義 由于我們?nèi)≈髦敌蛄校粗挥^察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進來。如果把 排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當于 在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列 : 。)(nx)(nx)(nx12345n=0N=6順時左移 三、共軛

17、對稱性 1.周期序列共軛對稱分量與共軛反對稱分量 周期為N的周期序列的共軛對稱分量與共軛反對 稱分量分別定義為 )()(21)()(21)()()(21)()(21)(*NNoNNenNxnxnxnxnxnNxnxnxnxnx同樣，有)()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxooeeoe2.有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量 有限長序列的圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱 分量分別定義為)()()(21)()()()()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep由于)()()()()()()()()()(

18、nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN所以)()()(nxnxnxopep 這表明長為N的有限長序列可分解為兩個長度相同的兩個分量。3.共軛對稱特性之一)()()()()()()(*kRkNXkRkXnxDFTnxDFTkXNNNN，則如果證明：)()()()()()()()()()()(*10*)(10*10*10*kRkNXkRWnxkRWWnxkRWnxkRWnxnxDFTNNNnNnkNNNnNnkNNnNNnNnkNNnNnkN4.共軛對稱特性之二)()()()()(*kXnRnxDFTnxDFTkXNN則，如果證明：)()()()()()()()(*10*)1(0

19、*1010*kXWnxWnxWnxWnRnxnRnxDFTNnnkNNnnkNNnnkNNnnkNNNNN可知：)()()(*kRkXnxNN)()()(*kXnRnxNN5.共軛對稱特性之三)()()()(21)(Re)()(*kXkRkNXkXnxDFTnxDFTkXepNNN，則如果證明：)()()()(21)()()(21)()(21)(Re)()(21)(Re*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxDFTnxnxnxepNNNNN圓周共軛對稱分量。的該序列復數(shù)序列實部的DFTDFT *6.共軛對稱特性之四)()()()(21)(Im)()(*kXkRkNXkXnxj

20、DFTnxDFTkXopNNN，則如果證明：)()()()(21)()()(21)()(21)(Im)()(21)(Im*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxjDFTnxnxnxjopNNNNN圓周共軛反對稱分量。的該序列的復數(shù)序列虛部乘以DFTDFTj*7.共軛對稱特性之五、六)()(Im)()(RenxDFTkXjnxDFTkXopep，同樣，可證明：8.X(k)圓周共軛對稱分量與圓周共軛反對稱分量的對稱性)()()()1 (kXkXkXopep、)()()()()()()3()()()()()()()2(*kRkNXkRkXkXkXkRkNXkRkXkXkXNNopN

21、NopopopNNepNNepepep、9.實、虛序列的對稱特性 當x(n)為實序列時，根據(jù)特性之三，那么 X(k)=Xep(k)又據(jù)Xep(k)的對稱性：)()()(*kRkNXkXNNepep 當x(n)為純虛序列時，根據(jù)特性之四，那么 X(k)=Xop(k)又據(jù)Xop(k)的對稱性：)()()(*kRkXkXNNopop)()()(*kRkNXkXNN)()()(*kRkXkXNN四.圓周卷積和1.時域卷積定理 設 和 均為長度為N的有限長序列，且 ，)(1nx)(2nx)()(11kXnxDFT)()(22kXnxDFT)()()(21kXkXkY假如 ，那么 )()()()(1102

22、1nxnRmnxmxkYIDFTnyNNmNN)(2nx)()()(21012nxnRmnxmxNNmNN)(1nx證明： 相當于將 作周期卷積和后，再取主值序列。)(),(21nxnx將 周期延拓：)(ky)()(21kXkXkY）（則有：10211021)()()()()(NmNNNmmnxmxmnxmxkYIDFSny在主值區(qū)間 ，所以：)()(, 1011mxmxNmN )()()()()(11021nxnRmnxmxnRnynyNNmNNN)(2nx同樣可證：)()()()(21012nxnRmnxmxnyNNmNN)(2nx2.時域圓周卷積過程N-10n)(1nxN-10)(2nx

23、)(0)(22mRmxmxNN0m)(12mRmxNN0m)(22mRmxNN0m)(32mRmxNN0m1) 6 (0) 5 (1) 4 (220001010111101)()3()() 3 (300000010111111)()2()() 2 (310000000111111)()1()() 1 (210100000011111)()0()() 0 (607721607721607721607721yyymRmxmxymRmxmxymRmxmxymRmxmxymmmm0233211N-1nN)(2nx)()(1nxny最后結果：五.有限長序列的線性卷積與圓周卷積1.線性卷積 的長度為 的長

24、度為 它們線性卷積為)(1nx) 10(11NnN)(2nx) 10(22NnNmNmlmnxmxmnxmxny1021211)()()()()( 的非零區(qū)間為 的非零區(qū)間為 兩不等式相加得 也就是 不為零的區(qū)間. 例如:)(1mx101Nm)(2mx102Nmn2021NNn)(nyl)(1nx1012n)(2nx1012n3m)(2mx -1-2-3111)0(lym)1 (2mx21111) 1 (lym)2(2mx3111111)2(ly)(1mx1012mm)3(2mx3111111)3(lyn)(nyl2101)5(, 2)4(llyy同樣314523321)(1mx1012m2.

25、用圓周卷積計算線性卷積 圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列. 的長度為 , 的長度為 ,先構造長度均為L長的序列, 即將 補零點;然后再對它們進行周期延拓 ，即 所以得到周期卷積：)(1nx1N)(2nx2N)(),(21nxnxLLnxnx)(,)(211021)()(LmLLmnxmxnyrlrLmrLmLmLrlnymrLnxmxmrLnxmxmnxmxny)()()()()()()(102121011021 因此故由于, 1011mxmxLmL 可見,周期卷積為線性卷積的周期延拓,其周期為L.由于 有 個非零值,所以周期L必須滿足: 又由于圓周卷積是周期卷積的主值序列,所以圓周

26、卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列,即ly121 NN121NNLLnxnRrlnynRnynyLrlL)()()()()()(1)()()(212nxnxnx1,21NNL 3-7 抽樣Z變換-頻域抽樣理論一.如何從頻域抽樣恢復原序列1.兩種抽樣 時域抽樣: 對一個頻帶有限的信號,根據(jù)抽樣定理對其進行抽樣,所得抽樣信號的頻譜是原帶限信號頻譜的周期延拓,因而,完全可以由抽樣信號恢復原信號。 頻域抽樣: 對一有限序列(時間有限序列)進行DFT所得x(k)就是序列傅氏變換的采樣.所以DFT就是頻域抽樣。2.由頻域抽樣恢復序列 一個絕對可和的非周期序列x(n)的Z變換為 由于x(n)絕對可和,故

27、其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對X(Z)在單位圓上N等份抽樣,就得到nnZnxZX)()()(kXnnkNWzWnxZXkXkN)()()(對 進行反變換,并令其為 ,那么)(kX)(nxN mmNkknmNNknkNmmkNNknkNNmxmxWNWWmxNWkXNkXIDFSnx)()(1)(1)(1)()(10)(1010 可見,由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。 也就是說,頻域抽樣造成時域周期延拓。10)()1(NkknmNWN1 , m=n+rN , 0 , 其他mrNrNnxnxrmrm)()(所以；)(nxN)(kX3.頻域抽樣不失真

28、的條件 當x(n)不是有限長時，無法周期延拓； 當x(n)為長度M,只有NM時,才能不失真的恢復信號,即MNnxnRrNnxnRnxnxrNNNN, )()()()()()(1.由X(k)恢復X(Z) 序列x(n),（0nN-1的Z變換為由于 ，所以下頁！）)(jeX10)()(NnnZnxZX10)(1)(NknkNWkXNnx二.由X(k)表達 X(Z)與 的問題內(nèi)插公式 1010110110110) 1() 1(22110101010)()(11)(1)(1)(111)(11)(1)(1)(NkkNkkNNNkkNNNkkNNkNNkNkNNkNkNNkNnnnkNNnnNknkNZkX

29、ZWNZkXZWkXNZkXZWZWNkXZWZWZWNkXZWNZWkXNZX) 1(22kjNkNjNkNeeW上式就是由X(k)恢復X(Z)的內(nèi)插公式,其中稱作內(nèi)插函數(shù)。)(1111)(11kNNNkNNkWzzzNZWNZZ2.內(nèi)插函數(shù)的特性 將內(nèi)插函數(shù)寫成如下式: ZRe1ZkNje2 ZjIm。)(11)(1kNNNkWzzzNZ 令分子為零,得 ； 所以有N個零點。令分母為零,得 為 一階極點, Z=0為(N-1)階極點。但是極點 與一零點相消。這樣只有(N-1)個零點,抽樣點 稱作本抽樣點。因此說,內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點處不 為零,其他(N-1)個抽樣點均為零。1, 1 , 0,

30、2NkreZrNjkNjkNeWZ2kNjeZ2kNje2)(11)(1kNNNkWzzzNZ3.頻率響應 單位圓上的Z變換即為頻響, 代入jeZ 10)()()(NkjkjekXeX4.內(nèi)插函數(shù)的頻率特性 2)2(222)2(22221111kNjkNjkNjNjNjNjNkjjNjkeeeeeeNeeNe111)(ZWNZZezkNNkj代入：將 可見, 既是 的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為 當k=0時,則有jkeNkejk2 2102sin2sin1NjeNNNkNjekNNN212/ )2(sin2sin1 時, 時, ，所以 0 ; 121212cos2cos100NNN) 1, 2

31、 , 1(2NiNi0sin2siniN . 00。在其他抽樣點為，在本抽樣點為這說明012Nkejk 當N=5時, 的幅度特性 和相位 特性 如下圖： 0 021N 02sin25sin512sin2sin1NN221N其中， N=520N22; 12022, 1)0(0NkNkNk時，在可推斷出由。時，亦即在122NkNk時，即而當kiNi,2122NkiNk 由于i與k均為整數(shù),所以i k 時 這就是說,內(nèi)插函數(shù)在本抽樣點 上 , 而在其他抽樣點上 02NkkN2, 12Nk. 02,2NkkiNi上5. 與X(k)的關系 由于 的特性可知,在每個抽 樣點上其值為1, 故 就精確等于X(

32、k)。即jeX102)(NkjkNkXeXNk2jeX1, 1 , 0),(2NkkXeXNkj 而在抽樣點之間, 等于加權的內(nèi)插函數(shù)值 疊加而得。jeX kNkX2) 1, 1 , 0(Nk 3-8 利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近一.用DFT計算連續(xù)時間信號的傅氏變換可能造成的誤差 1.混疊現(xiàn)象 為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足 其中, 為抽樣頻率; 為信號的最高頻率分量； 或者 其中,T為抽樣間隔。 hsff2sfhfhsffT211例 有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點數(shù)必須是2的整數(shù)冪。 假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已知條件為1頻 率分辨率為 ，（2） 信號的最高頻率 ，試確定 以下參量：（1最小記錄長度 ;(2) 抽樣點間的最大時間 間隔T; (3) 在一個記錄中的最小點數(shù)N。ZH10ZkH4