電磁場(chǎng)及電磁波第一章

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 1 1南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理2南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第

2、1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院1. 1. 標(biāo)量和矢量標(biāo)量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：標(biāo)量標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。一個(gè)只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示 注意注意：?jiǎn)挝皇噶?/p>

3、不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 3第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO4南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) （1）矢量的加減法）矢量的加減法)()()(zzzyyy

4、xxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線, ,如圖所示。如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律()()ABCABCABBA交換律交換律5南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) （2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘

5、矢量（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角AB A B A B0BA/ A BAB6南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyx

6、BBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為BAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則7第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) （5 5）矢量的混合運(yùn)算）矢量的混合運(yùn)算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 標(biāo)量三重積標(biāo)量三重積 矢量三重積矢量三重積8南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科

7、技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系：三種常用的正交曲線坐標(biāo)系：坐標(biāo)變量：坐標(biāo)變量：描述坐標(biāo)軸的量描述坐標(biāo)軸的量正交曲線坐標(biāo)系正交曲線坐標(biāo)系：三條正交曲線組成的確定三維空間任：三條正交曲線組成的確定三維空間任 意點(diǎn)位置的體系意點(diǎn)位置的體系坐標(biāo)軸：坐標(biāo)軸：三條正交曲線三條正交曲線直角直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系9第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 1. 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量zyx,坐標(biāo)單

8、位矢量坐標(biāo)單位矢量zyxeee, 點(diǎn)點(diǎn)P(x0,y0,z0)（平面）（平面）oxy（平面）（平面）（平面（平面）P 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 xezeye0z z0 x x0yyz10南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd x yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積

9、元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd11南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 2. 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系z(mì),坐標(biāo)變量：坐標(biāo)變量：zeee,坐標(biāo)單位矢量：坐標(biāo)單位矢量：圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系0 02z 變化范圍：變化范圍：變換關(guān)系：變換關(guān)系：22xyarctan()y xzzcosxsinyzz12南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系與與直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)之間

10、單位矢量的變換關(guān)系之間單位矢量的變換關(guān)系 cossin0sincos0001xyzzeeeeee oxy單位圓單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系xeyeeeeeee cossin0sincos0001xyzzeeeeee13南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSzeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量zeerz位置矢量位置矢量圓柱坐標(biāo)系中的線

11、元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元14南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 3. 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系, r坐標(biāo)變量：坐標(biāo)變量：eeer,坐標(biāo)單位矢量坐標(biāo)單位矢量0r 002變化范圍：變化范圍：球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系0（半半平平面面）0（圓圓錐錐面面）0rr （球球面面）),(000rP球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系0（半半平平面面）0（圓圓錐錐面面）0rr （球球面面）),(000rP變換關(guān)系：變換關(guān)系：sincosxrsinsinyrcoszrarctan()y x222rxyz222arccos

12、()zxyz15南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系與與圓柱坐標(biāo)圓柱坐標(biāo) 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系與與直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)oz單位圓單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系z(mì)eereesin0coscos0sin010rzeeeeeesincossinsincoscoscoscos sinsinsincos0rxyzeeeeee ,sinrreeee,cosreeee 0,sincosreeee 16南京理工

13、大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSrdsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元rerr位置矢量位置矢量17南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和

14、矢量場(chǎng)、),(zyxuq 標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)：物理量是為標(biāo)量物理量是為標(biāo)量),(zyxFq 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)：物理量是矢量：物理量是矢量、),(tzyxu),(tzyxFq 時(shí)變場(chǎng)：時(shí)變場(chǎng)： q 場(chǎng)的概念：場(chǎng)的概念：物理量在空間區(qū)域上的一個(gè)確定分布物理量在空間區(qū)域上的一個(gè)確定分布q 靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)：( , , )u x y z 、( , , )F x y z 例如例如：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等 例如例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。18第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 標(biāo)量場(chǎng)的等值面標(biāo)量場(chǎng)的等值

15、面等值面等值面: : 標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空標(biāo)量場(chǎng)取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲面。間形成的曲面。Czyxu),(等值面方程等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)等值面的特點(diǎn)：意義意義: : 形象直觀地描述了物理量在空間形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。的分布狀態(tài)。標(biāo)量場(chǎng)的等值線標(biāo)量場(chǎng)的等值線( (面面) )19南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金

16、學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 2. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)意義意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。00limcoscoscos|Mluuuuullxyz 概念概念： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向減??；方向減??； l0ul u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 M0lMl方向?qū)?shù)的概念方向?qū)?shù)的概念 l特點(diǎn)特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。問題問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？：在什么方向上

17、變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、20南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：zueueueuz1圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 ureurerueursin11球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)ueyuexueuzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 3. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標(biāo)量描述標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及場(chǎng)在某點(diǎn)的最大變化率及 其變化最大的方向其變化最大的方向概念概念：max|luuel l

18、uel 其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向M0梯度的概念梯度的概念 u21第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的梯度是矢量場(chǎng)，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場(chǎng)變化最大（增加）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)變化最大（增加）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場(chǎng)的空間變化率。的空間變化率。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的標(biāo)量場(chǎng)的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）等值面（或切平面）lueul標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投標(biāo)量場(chǎng)在某

19、個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影，即影，即22第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院梯度運(yùn)算的基本公式梯度運(yùn)算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(023第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 解解 (1)PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.3.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù)設(shè)一標(biāo)量函數(shù) ( x, y, z ) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：場(chǎng)。試求： (1

20、) 該函數(shù)該函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該梯度方向處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。的單位矢量。 (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn) P(1,1,1) 處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。ooo60cos45cos60coszyxleeee222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy 24南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波

21、電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院 (2)(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx而該點(diǎn)的梯度值為而該點(diǎn)的梯度值為 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 顯然，梯度顯然，梯度 描述了描述了P P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù)點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。恒成立。PPPl 25第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院1.4 矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的通量與散度 1. 矢量線矢量線 意義意義：形象

22、直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間 分分 布狀態(tài)。布狀態(tài)。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量線方程矢量線方程：概念概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng) 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fdrrrdr26第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院2. 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 問題問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 ndddSSFSF eS通量

23、的概念通量的概念nddSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSnddF e S穿過面積元穿過面積元 的通量。的通量。如果如果 S 是閉合曲面，則是閉合曲面，則),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量SSSeFSFddnne外法向單位矢量外法向單位矢量27第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院0通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進(jìn)入量線進(jìn)入0進(jìn)入與穿出閉合曲進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等三種可能結(jié)果三種可能結(jié)果通量

24、的物理意義通量的物理意義28第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 3. 矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度散度的概念散度的概念：FVSzyxFzyxFSVd),(lim),(0散度的意義散度的意義：通量源密度通量源密度 散度表征矢量場(chǎng)的通量源的分布特性 ( (正源正源) )0F ( (負(fù)負(fù)源源) )0F ( (無源）無源）0F29南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐標(biāo)系

25、球坐標(biāo)系z(mì)FyFxFFzyx直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(030南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxx

26、F xyzF xyzy zx y zx 穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為包圍包圍P點(diǎn)的微體積點(diǎn)的微體積 V 為一直平行六面體，如圖所示。則為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzxyPF31第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為表達(dá)式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為zF

27、yFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd32第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院4. 散度定理散度定理VSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en1S 矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。泛的應(yīng)用。33第第

28、1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院1.5 矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度 矢量場(chǎng)的環(huán)流矢量場(chǎng)的環(huán)流磁感應(yīng)線要磁感應(yīng)線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線磁感應(yīng)線流速場(chǎng)。流速場(chǎng)。34第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院( , ) dCF x y zl（1）環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場(chǎng)沿閉合曲線矢量場(chǎng)沿閉合曲線C 的環(huán)流定義的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線為該矢量對(duì)閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即（2）

29、環(huán)流面密度環(huán)流面密度SCMFnCSlFSFd1limrot0n稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M 處沿方向處沿方向 的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。n特點(diǎn)特點(diǎn)：其值與點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向處的方向 有關(guān)。有關(guān)。n矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)的環(huán)流的環(huán)流35第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院而而 推導(dǎo)推導(dǎo) 的示意圖如圖所示的示意圖如圖所示。rotxFoyz yCMzx1234計(jì)算計(jì)算 的示意圖的示意圖 rotxF 直角坐標(biāo)系中直角坐標(biāo)系中 、 、 的表達(dá)式的表達(dá)式rotxFrotyFrotzF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()

30、(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy2)(1zzFMFFMyyy2)(4yyFMFFMzzz36第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院于是于是 同理可得同理可得故得故得概念概念：矢量場(chǎng)在矢量場(chǎng)在 M 點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M 點(diǎn)的環(huán)點(diǎn)的環(huán) 流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積 元的法線方向，即元的法線方向，即物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。性質(zhì)性質(zhì)：（3）矢量場(chǎng)的

31、旋度矢量場(chǎng)的旋度zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0maxnnrotFeFFeFnnrotxFzFFzxyrotyFxFFxyzrot37第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx旋度的計(jì)算公式旋度的計(jì)算公式: :1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系z(mì)yxzyxFFFzyxeee38第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技

32、大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u39第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院SCSFlFdd3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯斯托克斯定理是閉合曲線定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。廣泛的應(yīng)用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大

33、小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即曲線所圍的曲面的通量，即40第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院4. 散度和旋度的區(qū)別散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF41第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 1. 無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)1.6 無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)0dClF性質(zhì)性質(zhì)： ，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。，線積分與路徑無關(guān)，是保守

34、場(chǎng)。僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，0F無旋場(chǎng)無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)例如：靜電場(chǎng)0EE uF()0Fu 42南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) dddddluFlulu e llul uF( )ddQQPPu PFlCulC dd( )( )QQPPFluu Pu Q 43南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 2. 無散場(chǎng)無散場(chǎng) 僅有旋度源而無散度

35、源的矢量場(chǎng)僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即，即性質(zhì)性質(zhì)：0dSSF0 F無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)例如，恒定磁場(chǎng)BA 0BAF0)(AF44南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算與格林定理 1. 拉普拉斯運(yùn)算拉普拉斯運(yùn)算 標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算2u概念概念：2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系計(jì)算公式計(jì)算公式：22222211()uuuuz2

36、2222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系uu2)(45第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 南京理工大學(xué)紫金學(xué)院 矢量拉普拉斯運(yùn)算矢量拉普拉斯運(yùn)算2F概念概念：2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF注意注意：對(duì)于非直角分量，對(duì)于非直角分量，22()iiFF 直角坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：如：如：22()FF(, , )ix y z)()(2FFF46第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 2. 格林定理格林定理 2 ()dd

37、VSVSn 或或以上兩式稱為以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理標(biāo)量第一格林定理。2 ()d() dVSVS ddnVSF VF eSF 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng) 及及 在區(qū)域在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則由中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則由2() nF en利用利用令令SVne47南京理工大學(xué)紫金學(xué)院南京理工大學(xué)紫金學(xué)院第第1 1章章 矢量分析矢量分析電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波電子科技大學(xué)電子科技大學(xué) 基于上式還可獲得下列兩式：基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理標(biāo)量第二格林定理。 格林定理說明了區(qū)域格林定理說明了區(qū)域 V 中的場(chǎng)與邊界中的場(chǎng)與邊界 S 上的場(chǎng)之間的關(guān)系。上的場(chǎng)之間