高三數(shù)學(xué)線性回歸

1、高三數(shù)學(xué)線性回歸線性回歸重點(diǎn)難點(diǎn)講解：1回歸分析：就是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系形式進(jìn)行測(cè)定，確定一個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便進(jìn)行估計(jì)預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)分析方法。根據(jù)回歸分析方法得出的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱(chēng)為回歸方程，它可能是直線，也可能是曲線。2線性回歸方程設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n組觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)（xi,yi）（i=1,n）大致分布在一條直線的附近，則回歸直線的方程為。其中。3線性相關(guān)性檢驗(yàn)線性相關(guān)性檢驗(yàn)是一種假設(shè)檢驗(yàn)，它給出了一個(gè)具體檢驗(yàn)y與x之間線性相關(guān)與否的辦法。 在課本附表3中查出與顯著性水平0.05與自由度n-2（n為觀測(cè)值組數(shù)）相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05。 由公式，計(jì)

2、算r的值。 檢驗(yàn)所得結(jié)果如果|r|<r0.05，可以認(rèn)為y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè)。如果|r|r0.05，可以認(rèn)為y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系的假設(shè)是不成立的，即y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系。典型例題講解：例1從某班50名學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，測(cè)得其數(shù)學(xué)考試成績(jī)與物理考試成績(jī)資料如表：序號(hào)12345678910數(shù)學(xué)成績(jī)54666876788285879094物理成績(jī)61806286847685828896試建立該10名學(xué)生的物理成績(jī)對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)的線性回歸模型。解：設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閤，物理成績(jī)?yōu)?，則可設(shè)所求線性回歸模型為，計(jì)算，代入公式得二所求線性回歸模型為=0.74x+22.2

3、8。說(shuō)明：將自變量x的值分別代入上述回歸模型中，即可得到相應(yīng)的因變量的估計(jì)值，由回歸模型知：數(shù)學(xué)成績(jī)每增加1分，物理成績(jī)平均增加0.74分。大家可以在老師的幫助下對(duì)自己班的數(shù)學(xué)、化學(xué)成績(jī)進(jìn)行分析。例2.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0若由資料可知y對(duì)x成線性相關(guān)關(guān)系。試求：（1）線性回歸方程；（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？分析：本題為了降低難度，告訴了y與x間成線性相關(guān)關(guān)系，目的是訓(xùn)練公式的使用。解：（1）列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411

4、.422.032.542.049162536于是b=,。二線性回歸方程為：=bx+a=1.23x+0.08。（2）當(dāng)x=10時(shí)，=1.23X10+0.08=12.38（萬(wàn)元）即估計(jì)使用10年時(shí)維修費(fèi)用是12.38萬(wàn)元。說(shuō)明：本題若沒(méi)有告訴我們y與x間是線性相關(guān)的，應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。如果本身兩個(gè)變量不具備線性相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著時(shí)，即使求出回歸方程也是沒(méi)有意義的，而且其估計(jì)與預(yù)測(cè)也是不可信的。例3某省七年的國(guó)民生產(chǎn)總值及社會(huì)商品零售總額如下表所示：已知國(guó)民生產(chǎn)總值與社會(huì)商品的零售總額之間存在線性關(guān)系，請(qǐng)建立回歸模型。年份國(guó)民生產(chǎn)總值（億元）社會(huì)商品零售總額（億元）19853

5、96.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合計(jì)4333.012194.24解：設(shè)國(guó)民生產(chǎn)總值為x，社會(huì)商品零售總額為y,設(shè)線性回歸模型為。依上表計(jì)算有關(guān)數(shù)據(jù)后代入的表達(dá)式得：二所求線性回歸模型為y=0.445957x+37.4148,表明國(guó)民生產(chǎn)總值每增加1億元，社會(huì)商品零售總額將平均增加4459.57萬(wàn)元。例4已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量xkg與每單位面積蔬菜每年平均產(chǎn)量yt之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份198519

6、86198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份19931994199519961997199871999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0(1) 求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否線性相關(guān)；(2) 若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量。分析：(1)使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來(lái)完成；(2)查表得出顯著水平0.05與自由度15-2

7、相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05比較，若rr0.05，則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān)。解：(1)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算：i123456789101112131415xi707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0xiyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885故蔬菜產(chǎn)量與施用氮肥量的相關(guān)系數(shù)：r=由于n=15,故自由度15-2=13。由相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)的臨界值表查出與顯著水平0.05及自由度13相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05=0.514，則rr0.05，從而說(shuō)明蔬菜產(chǎn)量與氮肥量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系。(2)設(shè)所求的回歸直線方程為=bx+a，則二回歸直線方程為=0.0931x+0.7102。當(dāng)x=150時(shí)，y的估值=0.0931X150+0.7102=14.675