高中數(shù)列求和公式_第1頁
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文檔簡介

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式:n(a1an)Sn廠na!n(n1)d22、等比數(shù)列求和公式:&內(nèi)(1qn)1q(q1)芒(q1)3、Snkh(n21)自然數(shù)列4、Snk2k11n(n1)(2n1)自然數(shù)平方組成的數(shù)列例1已知log3x的前n項(xiàng)和.解:由log3xlog23log3xlog32由等比數(shù)列求和公式得Sn(利用常用公式)1丄_x(1xn)_2(12n)1x_112例2設(shè)S=1+2+3+n,nN,求f(n)Sn的最大值.(n32)Sn1式)解:由等差數(shù)列求和公式得S2n(n11),5齊1)(n2)(利用常用公

2、Snf(n)=(n32)Sn1nn234n641_64n34n(n8)n1丄25050當(dāng)亦2,即n=8時(shí),f(n)max丄V850二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和,其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).例3求和:Sn13x5x27x3(2n1)xn1解:由題可知,(2n1)xn1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn1的通項(xiàng)之積設(shè)xSn1x3x25x37x4(2n1)xn.(

3、設(shè)制錯(cuò)位)一得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn(錯(cuò)位相減)1n1再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1x)Sn12x-X(2n1)xn1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1x)2例4求數(shù)列彳#,|3,罟,前n項(xiàng)的和.解:由題可知,甲的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列丄的通2n2n項(xiàng)之積設(shè)Sn2£葺222232n知右令貴1(設(shè)制錯(cuò)位)得(1£)Sn££££呂窖(錯(cuò)位相減)2222222k1k1二Sn42n練習(xí):*提示:不要覺得重復(fù)和無聊,乘公比錯(cuò)位相減的關(guān)鍵就是熟練!通項(xiàng)為anbn.1、an是自然數(shù)列,bn

4、是首項(xiàng)為1,q為2的等比數(shù)列2、an是正偶數(shù)數(shù)列,3、an是正奇數(shù)數(shù)列,4、an是正偶數(shù)數(shù)列,5、an是正奇數(shù)數(shù)列,bn是首項(xiàng)為1,bn是首項(xiàng)為1,bn是首項(xiàng)為3,bn是首項(xiàng)為3,q為2的等比數(shù)列q為2的等比數(shù)列q為3的等比數(shù)列q為3的等比數(shù)列6、an是自然數(shù)列,bn是首項(xiàng)為3,q為3的等比數(shù)列三、分組法求和有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆幵,可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可例5求數(shù)列的前n項(xiàng)和:11,丄4,丄7,-4r3n2,aaa解:設(shè)Sn(11)(丄4)(丄7)(二3n2)aaa將其每一項(xiàng)拆幵再重新組合得11Sn(12aa1n1

5、)(147a3n2)(分組)當(dāng)a=1時(shí),Sn(3n1)nn=21丄1an(3n1)n(3n1)n2(分組求和)當(dāng)a1時(shí),Sn1aan(3n1)n112=a12a例6求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解:設(shè)akk(k1)(2k1)2k33k2nn32Snk(k1)(2k1)=(2k3kk)將其每一項(xiàng)拆幵再重新組合得nnnS=2k33k2k(分組)k1k1k1=2(1323n3)3(1222n2)(12n)22n(n1)2如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),裂項(xiàng)相消法:那么常選用裂項(xiàng)相消法求和常用裂項(xiàng)形式有:n(n丄k211)n1k2111n丄(2n(n1)(n2

6、)2(.n1-n)1;n(nk)1),-k1k1112n(n1)2(n1n1(1k'n1k11;亠;nk);1(k1)kn1)(n2)(n1)!n2n12(K111;(k1)kk1k;11n!(n1)!例7求數(shù)列In、n1的前n項(xiàng)和.解:設(shè)an-n1.n(裂項(xiàng))n(n1)(2n°n(n1)(分組求和)22n(n1)2(n2)2四、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))女口:(1)an1丄=升級(jí)分母是n(n+2)呢?-重點(diǎn)掌握這個(gè)n(n1)nn1型則Sn1匚11(裂項(xiàng)求和)1<2丁2V35"n1=G.2,1)c、3.2)(.n1.、n)=.n111)例8在數(shù)

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