1-6章數(shù)學(xué)分析第6章微分中值定理及其應(yīng)用6-2ppt課件

1、2 柯西中值定理和 不定式極限一、柯西中值定理 柯西中值定理是比拉格朗日定理更一定式極限的問題.般的中值定理，本節(jié)用它來解決求不二、不定式極限 定理定理6.5(柯西中值定理柯西中值定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) , 在區(qū)間在區(qū)間 )(xf)(xg,ba上滿足上滿足:(i) f(x) , g(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù);(iii);0)()(22 xgxf(iv). )()(bgag 則在開區(qū)間則在開區(qū)間 內(nèi)必定內(nèi)必定 (至少至少) 存在一點存在一點 , 使得使得),(ba 一、柯西中值定理(ii) f(x) , g(x) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b) 上可導(dǎo)上可導(dǎo);( )( )(

2、).( )( )( )ff bf agg bg a 幾何意義首先將首先將 f , g 這兩個函數(shù)視為以這兩個函數(shù)視為以 x 為參數(shù)的方程為參數(shù)的方程, )(xgu . )(xfv 它在它在 O- uv 平面上表示一段曲線平面上表示一段曲線. 由拉格朗日定理由拉格朗日定理恰好等于曲線端點弦恰好等于曲線端點弦 AB 的斜率的斜率(見下圖見下圖):ddxvu 的幾何意義的幾何意義, 存在一點存在一點 ( 對應(yīng)于參數(shù)對應(yīng)于參數(shù) ) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) .)()()()(agbgafbfkAB )(, )( fgP)(, )(bfbgB( ( ) ,( )A g af aOuv 證證 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).

3、()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF 顯然顯然, 滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件, 所以存在點所以存在點)(xF),(ba 使得使得 , 即即0)( F. 0)()()()()()( gagbgafbff( )0( )(iii),gf因因為為否否則則也也為為零零, ,與與條條件件矛矛盾盾.)()()()()()(agbgafbfgf 從而從而例例1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間在區(qū)間 a, b(a 0) 上連續(xù)上連續(xù), 在在(a, b).ln)()()(abfafbf 證證 設(shè)設(shè) , 顯然顯然 f (x), g(x) 在在 a, b 上滿足上滿足xxgln)

4、( 柯西中值定理的條件柯西中值定理的條件,于是存在于是存在, 使得使得),(ba ,1)(lnln)()( fabafbf 變形后即得所需的等式變形后即得所需的等式.),(ba 上可導(dǎo)上可導(dǎo), 則存在則存在, 使得使得在極限的四則運算中在極限的四則運算中, 往往遇到分子往往遇到分子, 分母均為無分母均為無01.0型型不不定定式式極極限限二、不定式極限究這類極限究這類極限, 這種方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則這種方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則.稱為不定式極限稱為不定式極限. 現(xiàn)在我們將用柯西中值定理來研現(xiàn)在我們將用柯西中值定理來研比較復(fù)雜，各種結(jié)果均會發(fā)生比較復(fù)雜，各種結(jié)果均會發(fā)生. 我們將這類極限統(tǒng)我們將這類極限

5、統(tǒng)窮小量窮小量 (無窮大量無窮大量) 的表達(dá)式的表達(dá)式. 這種表達(dá)式的極限這種表達(dá)式的極限定理定理6.6滿足：滿足：和和若函數(shù)若函數(shù)gf000(i) lim( )lim( );xxxxf xg x 00(ii)()xUx在在點點的的某某空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)兩兩者者均均可可導(dǎo)導(dǎo)，0( );g x 且且 0( )(iii) lim,.( )xxfxAAg x 可可以以為為實實數(shù)數(shù)，那那么么00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 證證000()(),f xg xf g 我我們們補補充充定定義義所所以以,),(.000 xxxUxx則在區(qū)間則在區(qū)間任取任取連續(xù)連續(xù)在

6、點在點 有有上應(yīng)用柯西中值定理，上應(yīng)用柯西中值定理，),(0 xx000( )()( )( )(.( )( )()( )f xf xf xfxxg xg xg xg 介介于于 與與之之間間) )000( )( )( )limlimlim.( )( )( )xxxxxxf xffxAg xgg x 注注，改改為為中中的的將將定定理理 0001xxxxxx00,令令故故xxx 根據(jù)歸結(jié)原理根據(jù)歸結(jié)原理只只要要修修正正相相應(yīng)應(yīng)的的鄰鄰域域，的的情情形形, xx結(jié)論同樣成立結(jié)論同樣成立.例例41tanlim.sin4求求xxx 解解00.容容易易驗驗證證：這這是是一一個個型型不不定定式式2441tan

7、sec21limlim.sin44cos442xxxxxx 000( )lim,( )xxfxg x如如果果仍仍是是型型不不定定式式極極限限 只只要要滿滿足足洛洛 例例2.)1ln()21(elim2210 xxxx 求求解解2201ln() ,xxx 因因為為當(dāng)當(dāng)時時，所所以以11222200e(12 )e(12 )limlimln(1)xxxxxxxx132200e(12 )e(12 )limlim1.22xxxxxxx0( )lim( )xxfxg x考考察察必必達(dá)達(dá)法法則則的的條條件件, ,可可再再用用該該法法則則. .存在性存在性. .這里在用洛必達(dá)法則前，使用了等價無窮小量的這里在

8、用洛必達(dá)法則前，使用了等價無窮小量的代換，其目的就是使得計算更簡潔些代換，其目的就是使得計算更簡潔些.例例301lim.e求求 xxx解解可可直直接接利利用用洛洛必必達(dá)達(dá)型型不不定定式式極極限限這這顯顯然然是是,00法則法則. 但若作適當(dāng)變換但若作適當(dāng)變換, 在計算上會顯得更簡潔些在計算上會顯得更簡潔些. 于于是是時時有有當(dāng)當(dāng)令令,00, txxt0001111limlimlim.eeettxxttxt 例例410(1)elim.xxxx求求解解 1100(1)(1)elimlim1xxxxxxx120ln(1)1lim(1)xxxxxxx20(1)ln(1)elimxxxxx01ln(1)1

9、eelim.22xxx 2.型型不不定定式式極極限限定理定理6.7滿足：滿足：和和若函數(shù)若函數(shù)gf00(i) lim( )lim( )xxxxf xg x ；00(ii)()xUx 在在點點的的某某右右鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二者者均均可可導(dǎo)導(dǎo)，0( );gx 且且 0( )(iii) lim,.( )xxfxAAg x 可可以以為為實實數(shù)數(shù)那那么么00( )( )limlim.( )( )xxxxf xfxAg xg x 證證100.(),AxUx 設(shè)設(shè)為為實實數(shù)數(shù) 對對于于任任意意的的，01,xxxx滿滿足足不不等等式式的的每每一一個個( ),( )fxAg x 使使由由柯柯西西中中值值定定理理，存

10、存在在,1xx 11()( )( ).()( )( )f xf xfg xg xg 從而有從而有11()( )( ),(1)()( )( )f xf xfAAg xg xg 另一方面，另一方面， 111111111()( )()( )()( )( ).()( )()( )()( )( )g xf xf xf xf xf xg xf xg xg xg xg xg xf x 上式的右邊的第一個因子有界上式的右邊的第一個因子有界; 第二個因子對固定第二個因子對固定100,xxx 的是當(dāng)時的無窮小量 所以的是當(dāng)時的無窮小量 所以, 0,)1(100時時當(dāng)當(dāng)存存在在正正數(shù)數(shù)式式由由xxxx , 01 有

11、有時時當(dāng)當(dāng),100 xxx00112( )( ),xxx 綜綜合合和和對對一一切切滿滿足足不不等等式式( ),( )f xAg x 這就證明了這就證明了0( )lim.( )xxf xAg x , 或或，若若請請大大家家想想一一想想A應(yīng)應(yīng)該該如如何何證證明明？的的 x x 有有1122( )()( ),( )( )()( )f xf xf xg xg xg x 注注000 xxxxxx 這這里里的的可可以以用用，件要作相應(yīng)的改變件要作相應(yīng)的改變.例例5.lnlimxxx求求解解.型型不不定定式式這這是是一一個個 1lnlimlim0.1xxxxx.xx ，來來替替換換 當(dāng)當(dāng)然然定定理理的的條條

12、,x 例例6.elim3xxx求求解解.6elim6elim3elimelim23 xxxxxxxxxxx例例7.sin2sin2limxxxxx求求極極限限解解,.如如果果用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型不不定定式式這這是是一一個個 22322sincoslimlim.( )sincosxxxxxxxx 22coslim,cosxxx 而極限不存在 但是原極限而極限不存在 但是原極限. 1sin2sin2limsin2sin2limxxxxxxxxxx(3) 式不成立式不成立. 這就說明這就說明: limlim.xxfxf xgxg x不不存存在在時時, ,不不能能推推出出不不存存在在我們再舉一

13、例我們再舉一例:例例8.2arctanarctanlimxxAx 求極限求極限解解lim arctan, lim arctan2,22xxxx因為因為所以所以 A = 1. 若錯誤使用洛必達(dá)法則：若錯誤使用洛必達(dá)法則：22arctan114limlim2,arctan212xxxxxx這就產(chǎn)生了錯誤的結(jié)果這就產(chǎn)生了錯誤的結(jié)果. 這說明這說明: 在使用洛必達(dá)法在使用洛必達(dá)法則前，必須首先要判別它究竟是否是則前，必須首先要判別它究竟是否是0.0或或型型3. 其他類型的不定式極限其他類型的不定式極限00010,不不定定式式極極限限還還有有， ， ，等等類類型型 它它0.0們們一一般般均均可可化化為為

14、型型或或者者型型.下面我們舉例加以說明下面我們舉例加以說明解解1lnln,xxxx 注意到則注意到則00002111lnlimlnlimlimlim()0.xxxxxxxxxxx但若采用不同的轉(zhuǎn)化方式但若采用不同的轉(zhuǎn)化方式:2000021limlnlimlimlimln11lnlnxxxxxxxxxxxx 很明顯很明顯, 這樣下去將越來越復(fù)雜這樣下去將越來越復(fù)雜, 難以求出結(jié)果難以求出結(jié)果.例例90limln .xxx 求求0() 型型,解解221lncos20lncos0(cos )e,lim.0 xxxxxxx而而是是型型由于由于,21cos2sinlimcoslnlim020 xxxxx

15、xx因而因而 21120lim(cos )e.xxx例例10210lim(cos ).xxx求求(1)型型解解lnarctan2limkxxx 121limarctan12xkxkxx 111limarctan2xkkxx 例例11102limarctan() .kxxxk 求求00()型型 xxkkxarctan2lim11 , 0lim111lim122 kxkxxkkxxkk所以，原式所以，原式 = e0 = 1.= e0 = 1.例例12201lim2cot.1cosxxx 求求() 型型解解 xxx20cot2cos11lim xxxxxx23220sincos1cos2cos2si

16、nlim 43220cos2cos2sinlim2xxxxx 3204cossin6cossin6lim2xxxxxx xxxx220sincos2cos11lim例例13( ),0( ).0 ,0g xxxf xx設(shè)設(shè)(0)(0)0,(0)3,(0).gggf已已知知求求解解000( )( )(0)lim( )limlim0 xxxg xg xgf xxx因因為為(0)0,g( )0.f xx 所所以以在在處處連連續(xù)續(xù).23cos1lim320 xxx220coscoslim3xxxx 00( )1( )(0)limlim220 xxg xg xgxx2000( )(0)( )( )(0)limlimlim0 xxxf xff xg xfxxx例例14( ) ,)f xa 設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)可可微微，lim( )( ) ).lim( ).xxf xfxAf xA 求求證證證證 先設(shè)先設(shè) A 0. 因為因為13(0).22g根據(jù)洛必達(dá)法則，有根據(jù)洛必達(dá)法則，有e( )lim( )limlim ( )( ).exxxxxf x