向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分

1、第九章第九章 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與積分 9.1 向量值函數(shù)及其極限與連續(xù)向量值函數(shù)及其極限與連續(xù) 9.2 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 9.3 向量值函數(shù)的不定積分與定積分向量值函數(shù)的不定積分與定積分9.2.1 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)內(nèi)容小結(jié)與作業(yè)9.2.2 空間曲線的切線及法平面方程空間曲線的切線及法平面方程 高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件1向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念義，如果極限( ) trr定義定義9.2.1 設(shè)向量值函數(shù)在 t 的某鄰域內(nèi)有定00()( )limli

2、mttttttt rrr存在， 則稱向量值函數(shù) r(t) 在 t 處可導(dǎo)， 并稱極限值為向量值函數(shù) r(t) 在 t 處的導(dǎo)數(shù)， ( ) t rd.dtr記為或者明顯地， ( ) t r也是一個(gè)向量值函數(shù)如果向量值函數(shù) r(t) 在 t 處可導(dǎo)，則r(t) 在 t 處連續(xù). 9.2.1 向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件( ) t r( )( ( )ttrr與一元數(shù)量函數(shù)類似，可以進(jìn)一步定義向量值函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，如 r(t)的二階導(dǎo)數(shù)定義為的導(dǎo)數(shù), 即:向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何解釋向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何解釋（a）二維向量值函數(shù)的情

3、形）二維向量值函數(shù)的情形（b）三維向量值函數(shù)的情形）三維向量值函數(shù)的情形高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件()( )PQttt rr 如果點(diǎn) P 和 Q 的位置向量為 r(t) 與 r(t+t), 那么這個(gè)向量可以看作是割線向量 ( ) tr0,0t 當(dāng)時(shí), 割線向量( ) t r如果存在，且趨于曲線在點(diǎn) P 處的切線向量線這樣, 曲線r(t) 在點(diǎn) P處的切向量為( )( ).ttTr則稱為曲線r(t) 在點(diǎn) P 處的切向量, 過 P( ) t r點(diǎn)且以為方向向量的直線為曲線 r(t) 在點(diǎn)P處的切( ) t r高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件向

4、量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的物理意義:r(t)表示在平面上與空間中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在 t 時(shí)刻的位置,對應(yīng)的幾何曲線為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡, ()( )ttt rrr是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段 t, t + t 上的位移,tr是質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，( ) t r是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t 的瞬時(shí)速度 v(t)，即( )( ),ttvr 速度的方向或質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向是運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向,( )( )ttvr是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t 的瞬時(shí)加速度 a (t).高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件( )( )( )( ) ,tf tg th trijk( )( )( )( ) .tftg th tri

5、jk( )( )( )( ) .tftg th trijk向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可通過計(jì)算其分量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到.其中各分量函數(shù)在點(diǎn) t 處可導(dǎo), 則 r(t) 在點(diǎn) t 處可導(dǎo), 且定理定理9.2.2 設(shè)三維向量值函數(shù) 同樣，對于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)有類似的結(jié)論.的二階導(dǎo)數(shù)為三維向量值函數(shù)( )( )( )( )tf tg th trijk高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件(1)( ) cos , sin ;tat btr(2)( ) cos , sin ,.tat bt ctr(1)( )sin , cos ,tat bt r( )(cos ,sin ).tatbt r(2)

6、( )sin , cos , ,tat bt c r( )(cos ,sin ,0).tatbt r例例1 計(jì)算下列向量值函數(shù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)：解解這里, (1)中的二維向量值函數(shù)對應(yīng)的圖形是二維平面上的橢圓曲線; (2)中的三維向量值函數(shù)對應(yīng)的圖形是三維空間上的螺旋曲線高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件( ) tr0,且在區(qū)間 I 內(nèi)光滑的( ) trI( ) t r 如果一個(gè)向量值函數(shù)在區(qū)間上滿足連續(xù)， 例如，例1中的橢圓曲線與螺旋曲線都是光滑的I我們就稱在區(qū)間上是( ) tr 一條曲線如果由多個(gè)光滑的片段組成，那么就稱這條曲線為分段光滑曲線高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分

7、級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件2( )(3 ,2 ),tttr(0)(0,0),r解解 因?yàn)?光滑的曲線在點(diǎn)(1, 0) (對應(yīng)t = 0)突然改變了方向，在曲線上出現(xiàn)了尖點(diǎn)的特征所以，該曲線不是32( )1, tt tr是否為光滑曲線？ 例例2 判斷曲線xyo 尖點(diǎn)1高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件( )(1,2 , 2sin2 ),tttr22( )144sin 2 ,tttr( )(0,2, 4cos2 ).ttr解解 質(zhì)點(diǎn)的速度為 質(zhì)點(diǎn)的速率為質(zhì)點(diǎn)的加速度為 2( )( ,cos2 ),tt ttr例例3 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置向量為 求質(zhì)點(diǎn)的速度、加速度與速率高等數(shù)學(xué)

8、分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件d( )d .t trr可導(dǎo)的向量值函數(shù) r = r (t) 的微分定義為dd ( )d ( )( )d( )d.f tg tfttg ttrijijdd ( )d ( )d ( )( )d( )d( )d.f tg th tf ttg tth ttrijkijk( )( )( ) ,tf tg trij對于可導(dǎo)的二維向量值函數(shù)( )( )( )( ) ,tf tg th trijk對于可導(dǎo)的三維向量值函數(shù)對于二維向量值函數(shù)與三維向量值函數(shù)，dr 是一個(gè)與( ) t r與切向量同向；( )( )ttTr平行的向量，曲線的切向量當(dāng) dt 0 時(shí),

9、dr與反向.當(dāng)dt 0 時(shí), dr與切向量( ) t r高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件數(shù)值函數(shù)，設(shè)u(t), v(t)為可導(dǎo)的向量值函數(shù)，常數(shù)，則有定理定理9.2.1 C 為常向量 (即 C的各分量都為常數(shù)), k 為f (t)為可導(dǎo)2向量值函數(shù)的求導(dǎo)法則向量值函數(shù)的求導(dǎo)法則d(1)dtC0;d(2)( )( )( )( )dtttttuvuv;d(3)( )( )dktkttuu;高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件 ( 7 ) 鏈?zhǔn)椒▌t：設(shè) u (s)為可導(dǎo)的向量值函數(shù)，s = f (t)為可導(dǎo)的數(shù)值函數(shù)，則d(4)( )( )( )( )(

10、)( )dfttfttftttuuu;d(5)( )( )( )( )( )( )dtttttttuvuvuv;d(6)( )( )( )( )( )( )dtttttttuvuvuv;ddd( )( )( )( ).dddssftftfttstuuuu高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件例例4 ( ) tr0,設(shè) r(t) 是可導(dǎo)的向量值函數(shù)，且如果| ( )|,tCr( ) tr( ) t r(C為常數(shù))，證明：與垂直22( )( ) | ( )|,tttCrrrd0 ( )( )( )( )( )( )2 ( )( ).dtttttttttrrrrrrrr證證 因?yàn)閯t

11、由求導(dǎo)法則 (5) 知( )( )0,ttrr 因此，幾何意義幾何意義: 如果一條曲線位于一個(gè)以原點(diǎn)為球心的也就是說( ) tr( ) t r與垂直垂直于位置向量球面上, 那么它的切向量( ) t r( ).tr高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件( )( )( ),tmttLrv( )( )( ),tmttMra 例例5 如果質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)的位置向量為r(t), 角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為 證明：( )( ),( )( ),ttttvrav( )( ( )( )( )( )( )( )( ),tmttttmtttLvvraraM( ),tL0證證 由求導(dǎo)法則（6），知注意到 則

12、特別，當(dāng) M(t) = 0 時(shí),從而L(t)為常向量.這就是物理學(xué)中的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律( )( ).ttLM( )( ( )( )( )( ),tmttttLrvrv高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件0000( )( ),( ),( ),tf tg th tT000000()()(),()()()xftyg tzh tftgtht:( ),( ),( )xf tyg tzh t空間曲線在點(diǎn) t0 處的切線向量為000(),(), ()P f tg th t空間曲線 在點(diǎn)的切線方程為000000( )( )( )( )( )( )0.f txf tg tyg th tzh t稱過點(diǎn) P 且與向量 T (t) 垂直的平面為空間曲線 的法平面，其方程為9.2.2 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)高等數(shù)學(xué)分級教學(xué)A2班教學(xué)課件班教學(xué)課件切線方程與法平面方程且點(diǎn)(1,1,1) 與 t = 1對應(yīng),( )(1,2,3),t T所以，在點(diǎn)(1, 1, 1)處曲線的切線向量為因此，所求切線方程為23:,xt ytzt例例6 求空間曲線在點(diǎn)(1, 1, 1)處的21,2 ,3 ,xyt zt解解 因?yàn)?11,123xyz(1)2(1)3(