高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精品教學(xué)案專題06平面向量

1、專題六平面向量【20i3考綱解讀】1. 理解平面向量的概念與幾何表示、兩個向量相等的含義；掌握向量加減與數(shù)乘運(yùn)算及其意義；理解兩個向量共線的含義，了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義2. 了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件3. 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；了解平面向量數(shù)量積與向量投影的關(guān)系掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系【知識絡(luò)構(gòu)建】形【重點(diǎn)知識整合】1. 平面向量的基本概念2. 共線向量定

2、理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)人使b=.如果向量a=(xi,yi),b=(x2,y2)，則a/b的充要條件是xiy2=x2yi或者xiy2X2yi=0,即用坐標(biāo)表示的兩個向量平行的充要條件是它們坐標(biāo)的交叉之積相等.當(dāng)其中一個向量的坐標(biāo)都不是零時，這個充要條件也可以寫為x2=北，即對應(yīng)坐標(biāo)的比值相等.xiyi3. 平面向量基本定理入，使a對于任意a，若以不共線的向量ei,e2作為基底，則存在唯一的一組實(shí)數(shù)對4. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算a=(xi,yi),b=(X2,y2)，貝卩a+b=(xi+X2,yi+y2),ab=(xiX2,yiy2),入a(入x入y.5數(shù)量積(1) 已知a,

3、b的夾角為a,b=0,n)則它們的數(shù)量積為ab=|a|b|cos0,其中|b|cos0叫做向量b在a方向上的投影，向量的數(shù)量積滿足交換律、數(shù)乘結(jié)合律和分配律，但不滿足結(jié)合律，即a(bc)左(b)c;(2) 若a=(xi,yi),b=(X2,y2),貝Vab=xiX2+yiy2；(3) 兩非零向量a,b的夾角公式為(4) |a|2=aa.abxix2+yiy2。航丨a|b|寸x2+y2(x2+y2，(5) 兩個向量垂直的充要條件就是它們的數(shù)量積等于零.【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念和運(yùn)算(i)零向量模的大小為0，方向是任意的，它與任意向量都共線，記為0.(2)長度等于i個單位長度的向量叫單

4、位向量，與a同向的單位向量為arar.方向相同或相反的向量叫共線向量(平行向量).例i、已知關(guān)于x的方程：x2+2x+=0(xR),其中點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，0是直線AB外一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A. 點(diǎn)C在線段AB上B. 點(diǎn)C在線段AB的延長線上且點(diǎn)B為線段AC的中點(diǎn)C. 點(diǎn)C在線段AB的反向延長線上且點(diǎn)A為線段BC的中點(diǎn)D. 以上情況均有可能解析*據(jù)題意由于小C三點(diǎn)菇裁抜由可帯一班一2x=h解?5工=L53+2)化簡整理可得；uarf0A二BC=ab7故點(diǎn)(7在線段汕的延扶線上且點(diǎn)3為線段AC的中就答累：C【方法技巧】解決向量的有關(guān)概念及運(yùn)算問題要注意以下幾點(diǎn)(1) 正確理解向量的基本

5、概念；(2) 正確理解平面向量的基本運(yùn)算律，a+b=b+a,ab=ba,入a=b?(ab)與a(bc)左(b)c;相等向量、相反向量、單位向量、零向量，在概念考查中一定要重視，如有遺漏，則會出現(xiàn)錯誤考點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1. 兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩個向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，先求出夾角的余弦值,其符號由夾角的余弦值確定.2. 求非零向量a,b的夾角一般利用公式cosa,b然后求夾角；向量a在向量b方向上的投影為ablb?.例H設(shè)向童m勺滿En=b=L加=則EpCa/5D十解析：依題意得)=3?則口&答案：B【方法技巧】ab(1) 準(zhǔn)確利用兩向量的夾角公式co

6、sa,b=pajj及向量模的公式21=,aa.(2) 在涉及數(shù)量積時，向量運(yùn)算應(yīng)注意： ab=0,未必有a=0，或b=0; Iab|wallb|; a(bc)與(ab)c不一定相等.考點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用通過對向量的運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值、最值或研究三角函數(shù)的性質(zhì)等問題，是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的題型.例3.已知向量a=(cosa,sina),b=(cos3,sin,c=(1,0).(1)求向量b+c的長度的最大值；設(shè)a=；,且a丄(b+c),求cos的值.解(1)法一：由已知得b+c=(cos31,sin),貝U|b+c|2=(cos31)2+sin23=2(1cos3).1wc

7、c3W1二0wb+c|2w4即0wb+c|w2.當(dāng)cos3=1時，有|b+c|max=2,所以向量b+c的長度的最大值為2.法二：/|b|=1,|c|=1,|b+c|二戸伽+枝E=xEZ,于是5犖=0或CD5=1法二！若應(yīng)=；,剛口=1*$42又由j=i?DS可叩)C=(laQ)i得01汁口=1丁曲丄（自+亡）二處3+=山即“犁-Psin尸1.|.sin=1coj平方后化簡得：d窮g矣一1尸0j解得3滬Q或Z=L經(jīng)檢驗(yàn)，co=0或匸口妙=1目卩沏所求.【難點(diǎn)探究】難點(diǎn)一平面向量的概念及線性運(yùn)算例1、（1）a,b是不共線的向量，若AB=血+b,AC=a+處（入,尼R）,貝UA,B,C三點(diǎn)共線的充

8、要條件為（)A.乃=?2=1B.乃=?2=1C.入1沁1=0D.力？21=0（2）設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若A1A3=肚心（入R）,A1A411=PAA2（讓R）,且；+_=2，則稱A3,A調(diào)和分割A(yù)1,A2,已知點(diǎn)C（c,0）,D（d,0）（c,dR）人3調(diào)和分割點(diǎn)A（0,0）,B（1,0）,則下面說法正確的是（）A. C可能是線段AB的中點(diǎn)B. D可能是線段AB的中點(diǎn)C. C、D可能同時在線段AB上D. C、D不可能同時在線段AB的延長線上【答案】D（2）0【解析】只專疋曲共綁P可，根據(jù)向童共集的黑件即存在實(shí)數(shù)：便箒4二茂不十號=-心卄功由于仏勺不共線.根

9、據(jù)平擊向量基本定理得1=內(nèi)且肉=Z消掉2得0）,A.2B.4D.9設(shè)向量a,b滿足|a|=2&,b=（2,1）,且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為【答案】(1)C(2)(4,-2).AB+AC1.11.1【解析】(1)M0=AOAM=2mAB=2mAB+2AC_11_.1_11_.1_11_.1_同理NO=2nAC+2AB，M,O,N三點(diǎn)共線，故2mAB+?AC=入2一nAC+2忑，1 1入t2 m2AB+1入入t22+nAC=，由于.克憶不共線，恨據(jù)平面向重基且】一三+-=山消掉；.即得叭EZ2F!十;T=2,破+半=殳卄祇十滬給十牛I警目(3十4尸辛正確選項(xiàng)肉C.JI1可上W1n1,zV坤一

10、-L丄:囲為住與勺的方向相反！根據(jù)其線向童定義有：尸遇丄0),所以j=(2Zjz).由|0|=2心，得晅目工=_2或上=】舍去I故a=(-4,-2),難點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積例2如圖所示，PAOB所在平面內(nèi)一點(diǎn)，向量OA=a,OB=b,且P在線段AB的垂直平分線上，向量OP=c.若|a|=3,|b|=2，貝Uc(ab)的值為()A.5B.3【答案】C【解析】設(shè)ab中點(diǎn)為D,c=OP=OD+DP,所以c(ab)=(OD+dP)Ba=ObBA+dPBa=DBa=2(a+b)(ab)=；(|a|2|b|2)=；.【點(diǎn)評】平面向量問題的難點(diǎn)就是把平面向量的幾何運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)合，這里要充分利用平面向

11、量的幾何運(yùn)算法則、平面向量的共線向量定理、兩向量垂直的條件以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，探究解題的思想.【變式探究】(1)已知a與b均為單位向量，其夾角為0,有下列四個命題：2npi:|a+b|1?00,3；2nP2：|a+b|1?0石,n；np3：|a-b|1?00,3；nP4：|a-b|1?03,n.其中的真命題是()A.P1,P4B.P1,P3C.P2,P3D.P2,P4(2)在厶OAB中，設(shè)OA=a,OB=b,貝VOA邊上的高等于【答豹AU解析】因背泊-十防応十par!pcos.?=v所段氏芮真命題，必為假侖題*又因?qū)澅P一訓(xùn)匸1臺|/一衍7+b亠1臺7汩梟口ii心1幽g&=8亦=今肚t

12、irrI所以0為真命題，食為假命題-等于亦邊f(xié)込二竺A將則心尸齊華0Q難點(diǎn)三平面向量的共線與垂直的綜合運(yùn)用x橢圓的離心率為e=2.(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求PF1降的取值范圍；(3) 已知直線I:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N(均不是長軸的端點(diǎn))，AH丄MN,y例3已知橢圓y+b2=1(abo)的左、右焦點(diǎn)分別為Fl、F2,左頂點(diǎn)為A,若|FiF2|=2,垂足為h且aH2=M(HhN,求證：直線i恒過定點(diǎn).【解答】(1)由已知得c=1,a=2,b=j3,所求橢圓方程為:+y3=1.(2)設(shè)P(xo,yo)，又A(-2,0),Fi(-1,0),PF1P

13、A=(1xo)(2xo)+y2=：x0+3xo+5.由于P(xo,yo)在橢圓上，2xo0得4k2+3m2.KJX+助=一壬于=一疋+_壬:一三+，=一王二+一莊一壬-+一三丄三-+一三：亍=丄/.:+：；.|b|0,a與b的夾角(0,)，且ab和ba都在集合413A.-B.1C.22【答案】C【解析】n|nZ中，則ab=D.因?yàn)?a?bab|a|coscosb?b|b|2b?abaa?a巴cosCOS1,|a|1 IbJi2 |a|2cos-n-IbI且ab和ba都在集合|nZ中，所以bacos2|a|-|a|23所以abcos2cos2，因?yàn)?0,)，所以1ab2，故有ab故|b|42選c

14、.uuu9. 【2012高考真題安徽理8】在平面直角坐標(biāo)系中，0(0,0),P(6,8)，將向量OP按逆3時針旋轉(zhuǎn)后，得向量4uuuOQ，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(A)(7.2,.2)(B)(72,(C)(46,2)(D)(4.6,2)A【解析】【方法】OP=fl0cos5,l&sinFi二co5二右sin6-W-則00-(10cm(目+4子)=(7忑:-芒)【右法二】將向垂。？珂?zhèn)?按逆時針旋轉(zhuǎn)竿后得頁7=(8=Y)I則5g=-X(5?+osT)=(-?返-Q,10. 【2012高考真題天津理7】已知ABC為等邊三角形，AB=2,設(shè)點(diǎn)P,Q滿足APAB,AQ(1)AC,3R，若BQ?CP2，則=(A)

15、(B)(C)(D)【答案】A-昇Q-2)；卜(一；4力)=(z-)cl+(x-z2+l)ft*c=-,即4(z-1)-4A+2(A-z:+1)=-+W4z;-42+1=OP(2z-1):=0,解得幾=選A一rrrrr11.【2012高考真題新課標(biāo)理13】已知向量a,b夾角為45，且a1,2ab；則b【管秦】3忑【解析】因?yàn)?a-b=VI5,所以ia-ly-10.即4?=10,所兇4+同-4(&|co45d=10j整理得忻-也軒-6=0,解得貝二弘血或同=J(舍去)，12.2012高考真題浙江理uuuuurABAC=.15】在厶ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3,BC=10,則【答案】-16【解

16、析】法一此題最適合的方法是特例法.假設(shè)ABC是以AB=AC的等腰三角形，如圖,AM=3,BC=10,AB=AC=.34.cos/BAC=34341002348UUULUT.ABAC=17UUTABLULTACcosBAC1611122122AB?AC(-BCAM)?(丄BCAM)-BCAM-1023216.224413. 2012高考真題上海理12】在平行四邊形ABCD中，A一，邊AB、AD的3長分別為2、1,若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足,則amAN|BC|CD|的取值范圍是【答累】2.5b【解析】設(shè)(広;iwi).則西疋上五:頁二五,則In?_X亠DX)=-JD)AD+(1-=A

17、BAD(1AjID(1-AS.又-b712adi,3Ti?*7v-x:-2Z-F5=-(z+1F-，-2-4AJr-AV5,即.U/值范圍是一14. 【2012高考真題山東理16】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動。當(dāng)圓滾動到圓心uuu位于(2,1)時，OP的坐標(biāo)為y【答案】(2sin2,1cos2)【解析】因?yàn)閳A心移動的距離為2,所以劣弧PA2，即圓心角PCA2,貝UPCA2,所以2PBsin(2-)cos2,CBcos(2-)sin2，所以Xp2CB2sin2,22yp1PB1cos2，所以O(shè)P(2s

18、in2,1cos2)。15. 【2012高考真題北京理13】已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則DECB的值為,DEDC的最大值為【答案】1-1【解析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式DECB=DEDADEiDAcosd,由圖可知，因此DCBDA=1.DE-DCDEDCcost?=而|旋心2就是向在氐迫上的射覚，要想讓DEDC最大，目PU射影最尢1K時E點(diǎn)點(diǎn)重令射彫為DC,所以長度為I-16.【2012高考真題安徽理14】若平面向量a,b滿足：2ab3，則ag的最小值是9【答案】98r2a【解析】r2r24ar2rrb94agor24ab4ab4agD94ag）4ag）agD-17.

19、2012高考江蘇9】（5分）如圖，在矩形ABCD中，AB2，BC2，點(diǎn)E為BCuuruuu廠uuuuuu的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若ABgAF2，貝UAEgBF的值是.答案】2?！窘馕觥坑甥惗痰梦鲀宣惒贰?三75,由矩.形的性斷得.北nJL仁逐RF丘JL二DFwh巴7不一1,記二麗力用的夾第次$彳M=曲PM&m亠0.又丁蟲？點(diǎn)三為3匚的中點(diǎn)，八方21口.龍二麗斗左冃麗|工卅円返冃麗儀呵圧一P尸pZR麗”W5*COS.j5-或tl尸）二逼85閏麗|血護(hù)-囲“回兩*1滬述牝-腫HFH心-邁邁-1卜邁2011年高考試題】uuuuuuuuu1. （2011年高考四川卷理科4）如圖，正六邊形ABCDEF

20、中,BACDEF=（）uuuUULTuuiu(A)0(B)BE(C)AD(D)CF答案：Duiuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuuuu解析：BACDEFDECDEFCDDEEFuuurCF.2. （2011年高考全國卷理科12）設(shè)向量a、bc滿足Ia|=|b|=1,TTTT0ac,bc=60，則(:的最大值等于(A)2(B)73(c)V2(D)1【答案1AuuuTuuLTTuuurT【解析1如圖，構(gòu)造ABa,ADb,ACc,CABAD120o,BCD60，所以A,B,C,D四點(diǎn)共圓,可知當(dāng)線段AC為直徑時，c最大，最大值為2.、填空題：iuururur14）右平面向量,滿足1,的取值

21、范圍是的夾角1，則與21.（2011年高考浙江卷理科urur1,且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為ur51答案1urit【解析】Q0,562.（2011年高考安徽卷理科sinuur1,1,sin13）已知向量a,b滿足（a+2b）a-b）=6，且2,則a與b的夾角為【答需】7【解析】丨口+|9iI=-6!則衛(wèi)+m6!l-+ti-i2x2-=6)-i=L所以co5-(drf5)=iiFi=?所以亍3.（2011年咼考重慶卷理科12）已知單位向量uuucCj的夾角為Iu60，則|2qourjuur2fU2ur2uuuCjJ2ciCjV4cCj4qgCjur2Ci解析4.（2011年高考安徽卷江蘇

22、3414cos60a2e2,bke-ie2,若ab0,則k的值為【答案】54【解析】2urur22ab(q2q)(ke2)ke(12k)6e?2e2k(12k)cos20,解得310）已知0（2是夾角為|的兩個單位向量，k54.【2010年高考試題】ULT（2010全國卷2理數(shù)）（8）VABC中，點(diǎn)D在AB上，CD平方ACB若CBa,uuruuuCAb，a1，b2，則CD12213443（A）ab(B)ab（C）-ab（D）ab33335555【答案】3ADlica?【解析】因?yàn)镃D平分厶Cff,由角平分線定理得巨寸二請二卞所以n為AB的三等分點(diǎn)*且AD=-AB=-（CE-CA）,所以33一一

23、罕一1?-1-CDCA+AD=-CB-一CA=-a+-b?故選戈33336.（2010遼寧理數(shù)）（8）平面上O,A,B三點(diǎn)不共線，設(shè)OA=a,OBb，則OAB的面積等于(A)|a|2|b|2(agD)2(C)2,|a|2|b|2(adb)2(B)|a|2|b|2(agb)2(D)2、|ahb|2(agb)2【答案】C一i【解析】二角形的面積S=|a|b|sin，而21|a|2|b|2(ab)21|a|2|b|2(ab)2cos2a,b1-2|a|b|.12cos1a,b-|a|b|sina,b7.(2010重慶理數(shù))(2)已知向量a,b滿足a?b0,|a1,b2,，則2abA.0B.22C.4

24、D.8解析：2abJ(2ab)2J4a24abb2V82J28.（2010四川理數(shù)）（5）設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外UUU2UJUujjrJU!JUJJUJJBC16,ABACABAC則AM（A）8（B）4（C）2（D）1解析；由JC*16,得BC4A-AC=|5C=4而-4+dC二2I藥7蓉案：crrrrrr9. （2010江西理數(shù)）13已知向量a，b滿足a1，b2，a與b的夾角為60則【答案】-3【解析】考查向量的夾角和向量的模長公式，以及向量三角形法則、余弦定理等知ruuuruuurruuuuuuuurrr識，如圖aOA,bOB,abOAOBBA，由余弦定理得：abJ3rrr10. (2010廣東理數(shù))10.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),滿足條件rrr(ca)(2b)=-2,則x=:解析：va(0,0,1x)，(ca)(2b)2(0,0,1x)(1,2,1)2(1x)2，解得x2.11. (2010江蘇卷)15、(本小題滿分14分)在