一元二次方程的整數整數解含答案

1、競賽輔導一元二次方程的整數整數解在數學課外活動中，在各類數學競賽中，一元二次方程的整數解問題一直是個熱點，它將古老的整數理論與傳統的一元二次方程知識相結合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強，備受關注，解含參數的一元二次方程的整數解問題的基本策略有：從求根入手，求出根的有理表達式，利用整除求解；從判別式手，運用判別式求出參數或解的取值范圍，或引入參數(設=k2),通過窮舉，逼近求解；從韋達定理入手，從根與系數的關系式中消去參數，得到關于兩根的不定方程，借助因數分解、因式分解求解；從變更主元入人，當方程中參數次數較低時，可考慮以參數為主元求解.注：一元二次方程的整數根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋

2、達定理等與方程相關的知識，又與整除、奇數、偶數、質數、合數等整數知識密切相關.【例題求解】【例1】若關于x的方程(6k)(9k)x2(11715k)x540的解都是整數，則符合條件的整數是的值有個.思路點撥用因式分解法可得到根的簡單表達式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準確.注：系數含參數的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方程，根據問題的題設條件，看是否要分類討論.【例2】已知a、b為質數且是方程x213xc0的根，那么-亙的值是(ab思路點撥127125B.2222由韋達定理a、C.12322121D.22b的關系式，結

3、合整數性質求出c的值.2)xr10有根且只有整數根.r0時，由根與系數關系得【例3】試確定一切有理數r,使得關于x的方程rx2(r思路點撥由于方程的類型未確定，所以應分類討論.當到關于r的兩個等式，消去r,利用因式(數)分解先求出方程兩整數根.【例4】當m為整數時，關于x的方程(2m1)x2(2m1)x10是否有有理根就口果有，求出m的值；如果沒有，請說明理由.思路點撥整系數方程有有理根的條件是為完全平方數.設=(2m1)24(2m1)4m24m5(2m1)24n2(n為整數)解不定方程，討論m的存在性.注：一元二次方程ax2bxc0(aw0)而言，方程的根為整數必為有理數，而4=b24ac為

4、完全平方數是方程的根為有理數的充要條件.【例5】若關于x的方程ax22(a3)x(a13)0至少有一個整數根，求非負整數a的值.思路點撥因根的表示式復雜，從韋達定理得出的a的兩個關系式中消去a也較困難，又因a的次數低于x的次數，故可將原方程變形為關于a的一次方程.學歷訓練1.已知關于x的方程(a1)x22xa10的根都是整數，那么符合條件的整數a有.22 .已知方程x1999xm0有兩個質數解，則m=.3 .給出四個命題：整系數方程ax2bxc0(aw0)中，若為一個完全平方數，則方程必有有理根；整系數方程ax2bxc0(aw0)中，若方程有有理數根，則為完全平方數；無理數系數方程ax2bxc

5、0(aw0)的根只能是無理數；若a、b、c均為奇數，則方程ax2bxc0沒有有理數根，其中真命題是.4 .已知關于x的一元二次方程x2(2a1)xa20(a為整數)的兩個實數根是x1、x2,貝u歷jxT=.225.設rn為整數，且4<m<40,方程x2(2m3)x4m14m80有兩個整數根，求m的值及方程的根6 .已知方程ax2(3a28a)x2a213a150(aW0)至少有一個整數根，求a的值.7 .求使關于x的方程kx2(k1)xk10的根都是整數的k值.8 .當n為正整數時，關于x的方程2x28nx10xn235n760的兩根均為質數，試解此方程.9 .設關于x的二次方程(

6、k26k8)x2(2k26k4)xk24的兩根都是整數，試求滿足條件的所有實數k的值.10 .試求所有這樣的正整數a,使得方程ax22(2a1)x4(a3)0至少有一個整數解.11 .已知p為質數，使二次方程x22pxp25p10的兩根都是整數，求出p的所有可能值.12 .已知方程x2bxc0及x2cxb0分別各有兩個整數根x1、x2及x1、x2,且x1x2>0,x1x2>0.求證：x1<0,x2<0,x1<0,x2<0；(2)求證：b1cb1；(3)求b、c所有可能的值.13 .如果直角三角形的兩條直角邊都是整數，且是方程mx22xm10的根(m為整數),

7、這樣的直角三角形是否存在？若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長；若不存在，請說明理由.參考答案回一元二次方程的整數解【例題求解】例IS當*=6時,得工=不當4=9時，得r*-3,當*H6且*9時,解博w占，當6上-±1.±3,土§時閉過整敬,這時*-7.5.3/5,一3|39一4±1,工£+土3,±6時.力是整數，這時*10J1.7.12J5,工蜂上所述J=，5,7,9,15時原方程的解為整數.例工選B&t立二13,則58為£.】，？口&=22.例3當=0時.得工/不是整出（2）當，上0時,慢方程的鬲根為

8、為+工*（Jj4/L則/+工*n,港11rr=于是*2g后-工|十七）二直三+43*?，有（2為一】）（2加一D上,為整數，且事心,舞裨京|=一'，則r-4-，1-4LL。鼻或r=L故所求一就有理數r為一!或1.例4若=/1!為整奴）.則（2m-1尸+4=1/（«+2mDin2m-r1）-An+（2ni-lEru+（2mI）。一2W+Cjm-1）與斜一（2mD奇偶性相同.故只可能有成:+艇御Ze-1=0修一（2*n1）=2In（2n»-1）=2此與用為整數矛盾，故3不可能為完全平方數,方程不可能行有理根.fflSl廣；竹盧抵？】（D.|li-2<r<6且

9、1=-1*工-2,0,1,露3河.5.6廣十2上+1（jf+IJ分別代A,得n=L13.S的分數值已含去）【學力訓練】14 5當日=1時，t=1.當口*1時*再-1,美一-1-高2.39943.4,士5.A=412網+"為完全平方ft.義州為*Viw<鈍的整數，則當煙=12時心=16.2=26,當m"時"廣狷y=52.也顯然&*。山=2-；，qn_j,從而可羽.,3或5.7,3/時，1>1號M】時,注兩個整數根為zmzhMW1JTl4和=fI一-<1一得11*1-丁K:*（Ji-l）（rj-i）=S-lX3-（-l）X（-3）tIH的事工

10、*二6成工十二=2.即-：=6或解得或2=1曲黃是要求的£值為Q,-：，L機設同質致根為了2屏工+打f-5為奇數5f如布-胤不昉諛ip.代人原方震稗/T9E8E屏得也=16f，當216時事=574=3時,q=5.9,r=_1_r壬=一】一二可，清去5得工14丁3工上2=0,即Xi（rI+3）=-2»，產=-2ix（=l/產2|=-2,仔尸】，IXiZ.io7士田Lxi.“內,從而斜=6酒片及十3Hl色+3二2I塾十3二一11工=_2*為=一1*=一4,104二江訴1斛得一*w42,討論得u=L3,6J£IL一4，一5力一l)=4(5p+D為完全平方數卜從而5+1為

11、完全平方敷,令Sp+1-一注京到44k*4.且為整敷*于是5片(.Jt+Din-).n+kn-l中至少有一個是5的常數,即為帶數115升1=253工±期+1+=A(53+2h由P為康數，號士2>1知*=l,p=3或0mp=3時，時方程變?yōu)閂6工一7=0,騫工廠一,也.%當b=7時.原方程變?yōu)?-14工+13=0*樽.=1q=3*所以少=3或7.1'(】)霞設茹>0,由與力>，后/>0屈+&=-6=了1工；還與已旬i|ZtX)rxyt>0矛K，故拓<0.工:<，同理j<0tr；<0t(力£一(1)=哥7+為$鼻+1=5+H(©+D次，故,對于方于+±+5=0羞行同樣時能，醇&/一,垛上有&-lw9十1.C當£=計1時由廣一耳一見+1,從而5+1)出，1)匚2=(1)乂(-2)=1)(2,(zi+l=-lfxi+l-'2故I.,0或，由此算出8=5,6符合囂意.14+1=-1®當一一有mJfM-+.)，從而5+1>5+1)7因此門廣覆二一2.放心九野合匐±dm'-1工討當£二6】酎亦=r+L時方程#+仃十&0作類部D討論有)6,廣工5,舞上所述得三綱值.(瓦方