一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解含答案

1、競(jìng)賽輔導(dǎo)一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題一直是個(gè)熱點(diǎn)，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識(shí)相結(jié)合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強(qiáng)，備受關(guān)注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問(wèn)題的基本策略有：從求根入手，求出根的有理表達(dá)式，利用整除求解；從判別式手，運(yùn)用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設(shè)=k2),通過(guò)窮舉，逼近求解；從韋達(dá)定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解；從變更主元入人，當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時(shí)，可考慮以參數(shù)為主元求解.注：一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題，既涉及方程的解法、判別式、韋

2、達(dá)定理等與方程相關(guān)的知識(shí)，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識(shí)密切相關(guān).【例題求解】【例1】若關(guān)于x的方程(6k)(9k)x2(11715k)x540的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)是的值有個(gè).思路點(diǎn)撥用因式分解法可得到根的簡(jiǎn)單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準(zhǔn)確.注：系數(shù)含參數(shù)的方程問(wèn)題，在沒(méi)有指明是二次方程時(shí)，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問(wèn)題的題設(shè)條件，看是否要分類討論.【例2】已知a、b為質(zhì)數(shù)且是方程x213xc0的根，那么-亙的值是(ab思路點(diǎn)撥127125B.2222由韋達(dá)定理a、C.12322121D.22b的關(guān)系式，結(jié)

3、合整數(shù)性質(zhì)求出c的值.2)xr10有根且只有整數(shù)根.r0時(shí)，由根與系數(shù)關(guān)系得【例3】試確定一切有理數(shù)r,使得關(guān)于x的方程rx2(r思路點(diǎn)撥由于方程的類型未確定，所以應(yīng)分類討論.當(dāng)?shù)疥P(guān)于r的兩個(gè)等式，消去r,利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根.【例4】當(dāng)m為整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程(2m1)x2(2m1)x10是否有有理根就口果有，求出m的值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.思路點(diǎn)撥整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù).設(shè)=(2m1)24(2m1)4m24m5(2m1)24n2(n為整數(shù))解不定方程，討論m的存在性.注：一元二次方程ax2bxc0(aw0)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而4=b24ac為

4、完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件.【例5】若關(guān)于x的方程ax22(a3)x(a13)0至少有一個(gè)整數(shù)根，求非負(fù)整數(shù)a的值.思路點(diǎn)撥因根的表示式復(fù)雜，從韋達(dá)定理得出的a的兩個(gè)關(guān)系式中消去a也較困難，又因a的次數(shù)低于x的次數(shù)，故可將原方程變形為關(guān)于a的一次方程.學(xué)歷訓(xùn)練1.已知關(guān)于x的方程(a1)x22xa10的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a有.22 .已知方程x1999xm0有兩個(gè)質(zhì)數(shù)解，則m=.3 .給出四個(gè)命題：整系數(shù)方程ax2bxc0(aw0)中，若為一個(gè)完全平方數(shù)，則方程必有有理根；整系數(shù)方程ax2bxc0(aw0)中，若方程有有理數(shù)根，則為完全平方數(shù)；無(wú)理數(shù)系數(shù)方程ax2bxc

5、0(aw0)的根只能是無(wú)理數(shù)；若a、b、c均為奇數(shù)，則方程ax2bxc0沒(méi)有有理數(shù)根，其中真命題是.4 .已知關(guān)于x的一元二次方程x2(2a1)xa20(a為整數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、x2,貝u歷jxT=.225.設(shè)rn為整數(shù)，且4<m<40,方程x2(2m3)x4m14m80有兩個(gè)整數(shù)根，求m的值及方程的根6 .已知方程ax2(3a28a)x2a213a150(aW0)至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值.7 .求使關(guān)于x的方程kx2(k1)xk10的根都是整數(shù)的k值.8 .當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的方程2x28nx10xn235n760的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程.9 .設(shè)關(guān)于x的二次方程(

6、k26k8)x2(2k26k4)xk24的兩根都是整數(shù)，試求滿足條件的所有實(shí)數(shù)k的值.10 .試求所有這樣的正整數(shù)a,使得方程ax22(2a1)x4(a3)0至少有一個(gè)整數(shù)解.11 .已知p為質(zhì)數(shù)，使二次方程x22pxp25p10的兩根都是整數(shù)，求出p的所有可能值.12 .已知方程x2bxc0及x2cxb0分別各有兩個(gè)整數(shù)根x1、x2及x1、x2,且x1x2>0,x1x2>0.求證：x1<0,x2<0,x1<0,x2<0；(2)求證：b1cb1；(3)求b、c所有可能的值.13 .如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程mx22xm10的根(m為整數(shù)),

7、這樣的直角三角形是否存在？若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案回一元二次方程的整數(shù)解【例題求解】例IS當(dāng)*=6時(shí),得工=不當(dāng)4=9時(shí)，得r*-3,當(dāng)*H6且*9時(shí),解博w占，當(dāng)6上-±1.±3,土§時(shí)閉過(guò)整敬,這時(shí)*-7.5.3/5,一3|39一4±1,工£+土3,±6時(shí).力是整數(shù)，這時(shí)*10J1.7.12J5,工蜂上所述J=，5,7,9,15時(shí)原方程的解為整數(shù).例工選B&t立二13,則58為£.】，？口&=22.例3當(dāng)=0時(shí).得工/不是整出（2）當(dāng)，上0時(shí),慢方程的鬲根為

8、為+工*（Jj4/L則/+工*n,港11rr=于是*2g后-工|十七）二直三+43*?，有（2為一】）（2加一D上,為整數(shù)，且事心,舞裨京|=一'，則r-4-，1-4LL。鼻或r=L故所求一就有理數(shù)r為一!或1.例4若=/1!為整奴）.則（2m-1尸+4=1/（«+2mDin2m-r1）-An+（2ni-lEru+（2mI）。一2W+Cjm-1）與斜一（2mD奇偶性相同.故只可能有成:+艇御Ze-1=0修一（2*n1）=2In（2n»-1）=2此與用為整數(shù)矛盾，故3不可能為完全平方數(shù),方程不可能行有理根.fflSl廣；竹盧抵？】（D.|li-2<r<6且

9、1=-1*工-2,0,1,露3河.5.6廣十2上+1（jf+IJ分別代A,得n=L13.S的分?jǐn)?shù)值已含去）【學(xué)力訓(xùn)練】14 5當(dāng)日=1時(shí)，t=1.當(dāng)口*1時(shí)*再-1,美一-1-高2.39943.4,士5.A=412網(wǎng)+"為完全平方ft.義州為*Viw<鈍的整數(shù)，則當(dāng)煙=12時(shí)心=16.2=26,當(dāng)m"時(shí)"廣狷y=52.也顯然&*。山=2-；，qn_j,從而可羽.,3或5.7,3/時(shí)，1>1號(hào)M】時(shí),注兩個(gè)整數(shù)根為zmzhMW1JTl4和=fI一-<1一得11*1-丁K:*（Ji-l）（rj-i）=S-lX3-（-l）X（-3）tIH的事工

10、*二6成工十二=2.即-：=6或解得或2=1曲黃是要求的£值為Q,-：，L機(jī)設(shè)同質(zhì)致根為了2屏工+打f-5為奇數(shù)5f如布-胤不昉諛ip.代人原方震稗/T9E8E屏得也=16f，當(dāng)216時(shí)事=574=3時(shí),q=5.9,r=_1_r壬=一】一二可，清去5得工14丁3工上2=0,即Xi（rI+3）=-2»，產(chǎn)=-2ix（=l/產(chǎn)2|=-2,仔尸】，IXiZ.io7士田L(fēng)xi.“內(nèi),從而斜=6酒片及十3Hl色+3二2I塾十3二一11工=_2*為=一1*=一4,104二江訴1斛得一*w42,討論得u=L3,6J£IL一4，一5力一l)=4(5p+D為完全平方數(shù)卜從而5+1為

11、完全平方敷,令Sp+1-一注京到44k*4.且為整敷*于是5片(.Jt+Din-).n+kn-l中至少有一個(gè)是5的常數(shù),即為帶數(shù)115升1=253工±期+1+=A(53+2h由P為康數(shù)，號(hào)士2>1知*=l,p=3或0mp=3時(shí)，時(shí)方程變?yōu)閂6工一7=0,騫工廠一,也.%當(dāng)b=7時(shí).原方程變?yōu)?-14工+13=0*樽.=1q=3*所以少=3或7.1'(】)霞設(shè)茹>0,由與力>，后/>0屈+&=-6=了1工；還與已旬i|ZtX)rxyt>0矛K，故拓<0.工:<，同理j<0tr；<0t(力£一(1)=哥7+為$鼻+1=5+H(©+D次，故,對(duì)于方于+±+5=0羞行同樣時(shí)能，醇&/一,垛上有&-lw9十1.C當(dāng)£=計(jì)1時(shí)由廣一耳一見(jiàn)+1,從而5+1)出，1)匚2=(1)乂(-2)=1)(2,(zi+l=-lfxi+l-'2故I.,0或，由此算出8=5,6符合囂意.14+1=-1®當(dāng)一一有mJfM-+.)，從而5+1>5+1)7因此門廣覆二一2.放心九野合匐±dm'-1工討當(dāng)£二6】酎亦=r+L時(shí)方程#+仃十&0作類部D討論有)6,廣工5,舞上所述得三綱值.(瓦方