十字相乘法進行因式分解詳案精選

1、十字相乘法進行因式分解【基礎知識精講】(1)理解二次三項式的意義；(2)理解十字相乘法的根據(jù)；(3)能用十字相乘法分解二次三項式；(4)重點是掌握十字相乘法，難點是首項系數(shù)不為1的二次三項式的十字相乘法.【重點難點解析】1 .二次三項式多項式ax2bxc,稱為字母x的二次三項式，其中ax2稱為二次項，bx為一次項，c為常數(shù)項.例如，x22x3和x25x6都是關(guān)于x的二次三項式.在多項式x26xy8y2中，如果把y看作常數(shù)，就是關(guān)于x的二次三項式；如果把x看作常數(shù)，就是關(guān)于y的二次三項式.在多項式2a2b27ab3中，把ab看作一個整體，即2(ab)27(ab)3,就是關(guān)于ab的二次三項式.同樣

2、，多項式(xy)27(xy)12,把x+y看作一個整體，就是關(guān)于x+y的二次三項式.十字相乘法是適用于二次三項式的因式分解的方法.2 .十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容利用十字相乘法分解因式，實質(zhì)上是逆用(ax+b)(cx+d)豎式乘法法則.它的一般規(guī)律是：(1)對于二次項系數(shù)為1的二次三項式x2pxq,如果能把常數(shù)項q分解成兩個因數(shù)a,b的積，并且a+b為一次項系數(shù)p,那么它就可以運用公式2x(ab)xab(xa)(xb)分解因式.這種方法的特征是“拆常數(shù)項，湊一次項”.公式中的x可以表示單項式，也可以表示多項式，當常數(shù)項為正數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項系數(shù)的符號相同；當常

3、數(shù)項為負數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同.(2)對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式ax2bxc(a,b,c都是整數(shù)且aw0)來說，如果存在四個整數(shù)ai,a2,C1,c2,使a1a2a，C1C2c，且aiC2a2c1b，那么ax2bxca1a2x2(a1c2a2c1)xc1c2(a1xc1)(a2xc2)它的特征是“拆兩頭，湊中間”，這里要確定四個常數(shù)，分析和嘗試都要比首項系數(shù)是1的情況復雜，因此，一般要借助“畫十字交叉線”的辦法來確定.學習時要注意符號的規(guī)律.為了減少嘗試次數(shù)，使符號問題簡單化，當二次項系數(shù)為負數(shù)時，先提出負號，使二次項系數(shù)為正數(shù)

4、，然后再看常數(shù)項；常數(shù)項為正數(shù)時，應分解為兩同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同；常數(shù)項為負數(shù)時，應將它分解為兩異號因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對值較大的一組與一次項系數(shù)的符號相同.用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母.如：_2_2,_、，_、5x6xy8y(x2)(5x4)3 .因式分解一般要遵循的步驟多項式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法.對于一個還能繼續(xù)分解的多項式因式仍然用這一步驟反復進行.以上步驟可用口訣概括如下：“

5、首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復試，結(jié)果應是乘積式”.【典型熱點考題】例1把下列各式分解因式：(1) x22x15；(2)x25xy6y2.點悟：(1)常數(shù)項15可分為3X(-5),且3+(5)=2恰為一次項系數(shù)；(2)將y看作常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項式，常數(shù)項6y2可分為(2y)(3y),而(2y)+(3y)=(5y)恰為一次項系數(shù).解：(1)x22x15(x3)(x5)；(2) x25xy6y2(x2y)(x3y).例2把下列各式分解因式：(1) 2x25x3；(2)3x2點悟：我們要把多項式ax2bxc分解成形如(ax1c1)(ax2c2)

6、的形式，這里a1a2a,jc2c而a1c2a2clb.解：(1)2x25x3(2x1)(x3)；(2) 3x28x3(3x1)(x3).點撥：二次項系數(shù)不等于1的二次三項式應用十字相乘法分解時，二次項系數(shù)的分解和常數(shù)項的分解隨機性較大，往往要試驗多次，這是用十字相乘法分解的難點，要適當增加練習，積累經(jīng)驗，才能提高速度和準確性.例3把下列各式分解因式：(1) x410x29；(2) 7(xy)35(xy)22(xy);(3) (a28a)222(a28a)120.22點悟：(1)把x看作一整體，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項式；(2)提取公因式(x+y)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于(x+y)的二次三項式；2

7、2(3)以(a28a)為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于(a28a)的二次三項式.解：(1)x410x29(x21)(x29)=(x+1)(x-1)(x+3)(x-3).(2) 7(xy)35(xy)22(xy)(xy)7(xy)25(xy)2=(x+y)(x+y)-17(x+y)+2=(x+y)(x+y-1)(7x+7y+2).(3) (a28a)222(a28a)1202_2_(a8a12)(a8a10)(a2)(a6)(a28a10)點撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時、準確地發(fā)現(xiàn)多項式中究竟把哪一個看成整體，才能構(gòu)成二次三項式，以順利地進行分解.同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續(xù)分解，如能

8、分解，要分解到不能再分解為止.例4分解因式：(x22x3)(x22x24)90.點悟：把x22x看作一個變量，利用換元法解之.解：設x22xy,則原式=(y-3)(y-24)+902_y27y162=(y-18)(y-9)2_2_(x2x18)(x2x9).點撥：本題中將x22x視為一個整體大大簡化了解題過程，體現(xiàn)了換元法化簡求解的良好效果.此外，2y27y162(y18)(y9)一步，我們用了“十字相乘法”進行分解.例5分解因式6x45x338x25x6.點悟：可考慮換元法及變形降次來解之.1 1斛：原式x6(x)5(x)38xx2 121x6(x-)5(x-)50,xx人1-令x-y,則x

9、原式x2(6y25y50)2_-x(2y5)(3y10)x2(2x25)(3x310)xx22(2x25x2)(3x210x3)(x2)(2x1)(x3)(3x1).點撥：本題連續(xù)應用了“十字相乘法”分解因式的同時，還應用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂.但是,品味之余應想到對換元后得出的結(jié)論一定要“還原”，這是一個重要環(huán)節(jié).例6分解因式x22xyy25x5y6.點悟：方法1:依次按三項，兩項，一項分為三組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于(xy)的二次三項式.方法2：把字母y看作是常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項式.解法1：x22xyy25x5y6,2_2、，_、_(x2xyy)(5x5y)6(xy)25(xy)6(

10、xy1)(xy6).解法2：x22xyy25x5y62_、2_x(2y5)xy5y6x2(2y5)x(y6)(y1)x(y6)x(y1)=(xy6)(xy+1).例7分解因式：ca(ca)+bc(bc)+ab(ab).點悟：先將前面的兩個括號展開，再將展開的部分重新分組.解：ca(ca)+bc(bc)+ab(ab)ac2a2cb2cbc2ab(ab)222c(ab)c(ab)ab(ab)2c(ab)c(ab)(ab)ab(ab)(ab)c2c(ab)ab=(ab)(ca)(cb).點撥：因式分解，有時需要把多項式去括號、展開、整理、重新分組，有時僅需要把某幾項展開再分組.此題展開四項后，根據(jù)字

11、母c的次數(shù)分組，出現(xiàn)了含ab的因式，從而能提公因式.隨后又出現(xiàn)了關(guān)于c的二次三項式能再次分解.例8已知x46x2x12有一個因式是x2ax4,求a值和這個多項式的其他因式.點悟：因為x46x2x12是四次多項式，有一個因式是x2ax4,根據(jù)多項式的乘法原則可知道另一個因式是x2bx3(a、b是待定常數(shù))，故有x46x2x12(x2ax4)(x2bx3).根據(jù)此恒等關(guān)系式，可求出a,b的值.解：設另一個多項式為x2bx3,則x46x2x1222一(xax4)(xbx3)432-x(ab)x(34ab)x(3a4b)x12,424.32x6xx12與x(ab)x(34ab)x(3a4b)x12是同

12、一個多項式，所以其對應項系數(shù)分別相等.即有%+5=0,，3十4十厘3=6,%+4b=L由、解得，a=-1,b=1,代入，等式成立.a=-1,另一個因式為x2x3.點撥：這種方法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法.待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數(shù)學知識的學習中也經(jīng)常運用.希望讀者不可輕視.【易錯例題分析】例9分解因式：5a2b223aby10y2.錯解：-10=5X(-2),5=1X5,原式=(5ab+5y)(-2ab+5y).5=1X5,10=5X(-2),5X5+1X(2)=23.警示：錯在沒有掌握十字相乘法的含義和步驟.正解:原式=(ab+5y)(5ab-2y).【

13、同步練習】一、選擇題21. 如果xpxq(xa)(xb),那么p等于()A.abB.a+bC.abD.(a+b)，一2,、2_，2 .如果x(ab)x5bxx30,則b為()A.5B.-6C.-5D.63 .多項式x23xa可分解為(x5)(xb),則a,b的值分別為()A.10和一2B.10和2C.10和2D.10和一24 .不能用十字相乘法分解的是()2_2_2_A.xx2B.3x10x3x2八2-2C.4xx2D.5x6xy8y5.分解結(jié)果等于(x+y-4)(2x+2y5)的多項式是()A. 2(xy)213(xy)20B. (2x2y)213(xy)20C. 2(xy)213(xy)2

14、0一24一D. 2(xy)29(xy)206.將下述多項式分解后，有相同因式x1的多項式有()x27x6；3x22x1;2_一x5x6;4x25x9；15x223x8;x411x212A,2個B.3個C.4個D.5個、填空題27. x3x10一28. m5m6(m+a)(m+b).a=,b=.一一2_一一9. 2x5x3(x-3)().2210. x2y(x-y)().2n211. a2a()()2.m12. .當k=時，多項式3x27xk有一個因式為().17322313. 右xy=6,xy一,則代數(shù)式xy2xyxy的值為3614.把下列各式分解因式：(1)x47x26；4_22_4(3)4

15、x65xy16y；三、解答題42(2)x5x36;,、6r3,36(4) a7ab8b；(5) 6a45a34a2；(6)4a637a4b29a2b4.15 .把下列各式分解因式：22222(1) (x3)4x；(2)x(x2)9；(3) (3x2x1)(2x3x3);(4) (x2x)217(x2x)60；(5) (x22x)27(x22x)8；2(6) (2ab)214(2ab)48.16 .把下列各式分解因式：2(1)(ab)x2axab；(2)x2(p2q2)xpq(pq)(pq)；(3) x22xy3y22x10y8；(4) 4x24xy3y24x10y3；/,22、，224(6)(

16、xxyy)(xxy2y)12y.一3_217 .已知2x7x19x60有因式2x5,把它分解因式.,3318 .已知x+y=2,xy=a+4,xy26,求a的值.參考答案【同步練習】1.D2,B3.D4.C5.A6.C7. (x+5)(x2)8.1或一6,6或19.2x+12n-n10. xy,x+2y11.2,a,4m22m12. -2,3x+1或x+213.1714.(1)原式(x21)(x26)(x1)(x1)(x26)(2)原式(x29)(x24)_2(x3)(x3)(x4)(3)原式(4x2y2)(x216y2)(2xy)(2xy)(x4y)(x4y)(4)原式(a38b3)(a3b

17、3)_2_222(a2b)(a2ab4b)(ab)(aabb)(5)原式a2(6a25a4)2_-a(2a1)(3a4)(6)原式a2(4a437a2b29b4)a2(4a2b2)(a29b2)a2(2ab)(2ab)(a3b)(a3b)2215. (1)原式(x32x)(x32x)(x3)(x1)(x3)(x1)(2)原式x(x2)3x(x2)3(x22x3)(x22x3)2(x3)(x1)(x22x3)(3)原式(3x22x12x23x3)(3x22x12x23x3)，一2一、，一、，八(5x5x4)(x2)(x1)(4)原式(x2x12)(x2x5)(x4)(x3)(x2x5)(5)原式(x22x8)(x22x1)_2(x2)(x4)(x1)(6)原式(2ab6)(2ab8)16. (1)原式(ab)xab(x1)(2)原式xp(pq)xq(pq)22(xppq)(xpqq)(3)原式x2(2y2)x(3y210y8)2一一一-x(2y2)x(3y4)(y2)x(3y4)xy2(x3y4)(xy2)(4)原式4x24(y1)x3y210y324x24(y1)x(3y1)(y3)(2x3y1)(2xy3)(5)原式(x1)(x2)(x3)(x4)120(x25x6)(x25x4)120,2_.2_-、(x