學(xué)案11函數(shù)與方程

1、學(xué)案11函數(shù)與方程自主梳理1函數(shù)零點(diǎn)的定義(1)對(duì)于函數(shù)yf(x) (xD)，把使_成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x) (xD)的零點(diǎn)(2)方程f(x)0有實(shí)根函數(shù)yf(x)的圖象與_有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有_2函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有_，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間_內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得_，這個(gè)_也就是f(x)0的根我們不妨把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存在性定理3二次函數(shù)yax2bxc (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系>00<0二次函數(shù)yax2bxc(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)_，_無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)_4.用二分法求函數(shù)f(x

2、)零點(diǎn)近似值的步驟第一步，確定區(qū)間a，b，驗(yàn)證_，給定精確度；第二步，求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；第三步，計(jì)算_：若_，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；若_，則令bc此時(shí)零點(diǎn)x0(a，c)；若_，則令ac此時(shí)零點(diǎn)x0(c，b)；第四步，判斷是否達(dá)到精確度：即若|ab|<，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)第二、三、四步自我檢測(cè)1(2010·福建)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A0B1C2D32若函數(shù)yf(x)在R上遞增，則函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)()A至少有一個(gè)B至多有一個(gè)C有且只有一個(gè)D可能有無(wú)數(shù)個(gè)3如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是()ABCD4設(shè)f(x)3

3、x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,2)內(nèi)近似解的過(guò)程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根所在的區(qū)間是()A(1,1.25)B(1.25,1.5)C(1.5,2)D不能確定5(2011·福州模擬)若函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與g(x)4x2x2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò)0.25，則f(x)可以是()Af(x)4x1Bf(x)(x1)2Cf(x)ex1Df(x)ln(x0.5)探究點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)的判斷例1判斷函數(shù)yln x2x6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)變式遷移1(2011·煙臺(tái)模擬)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,

4、1時(shí)，f(x)x，則函數(shù)yf(x)log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A多于4個(gè)B4個(gè)C3個(gè)D2個(gè)探究點(diǎn)二用二分法求方程的近似解例2求方程2x33x30的一個(gè)近似解(精確度0.1)變式遷移2(2011·淮北模擬)用二分法研究函數(shù)f(x)x3ln的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)<0，>0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0_，第二次應(yīng)計(jì)算_以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為()A.B(0,1)fC.D.探究點(diǎn)三利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)例3已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3a，如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，求a的取值范圍變式遷移3若函數(shù)f(x)4xa·2xa1在(，)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)

5、a的取值范圍1全面認(rèn)識(shí)深刻理解函數(shù)零點(diǎn)：(1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)0的實(shí)數(shù)x；(2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相切，則零點(diǎn)x0通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；(4)若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相交，則零點(diǎn)x0通常稱為變號(hào)零點(diǎn)2求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)的方法：(1)(代數(shù)法)求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)；(3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法的條件f(a)

6、83;f(b)<0表明：用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)3有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的重要結(jié)論：(1)若連續(xù)不間斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)；(2)連續(xù)不間斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；(3)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值符號(hào)可能不變(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2010·天津)函數(shù)f(x)2x3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是 ()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)2(2011·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)log2xx，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)0的解，且0<x1<x0，則f

7、(x1)的值 ()A恒為負(fù)B等于零C恒為正D不小于零3下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是 ()4函數(shù)f(x)(x2)(x5)1有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，且x1<x2，則 ()Ax1<2,2<x2<5Bx1>2，x2>5Cx1<2，x2>5D2<x1<5，x2>55(2011·廈門月考)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)log2x，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ()A4B3C2D1題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2 006

8、xlog2 006x，則在R上，函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_7(2011·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是_8(2009·山東)若函數(shù)f(x)axxa(a>0，且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_三、解答題(共38分)9(12分)已知函數(shù)f(x)x3x2.證明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.10(12分)已知二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍11(14分)(2011·杭州調(diào)

9、研)設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc，且f(1)，3a>2c>2b，求證：(1)a>0且3<<；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；(3)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則|x1x2|<.答案自主梳理1(1)f(x)0(2)x軸零點(diǎn)2.f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)兩個(gè)一個(gè)無(wú)4.f(a)·f(b)<0f(c)f(c)0f(a)·f(c)<0f(c)·f(b)<0自我檢測(cè)1C當(dāng)x0時(shí)，令x22x30，解得x3；當(dāng)x>0時(shí)，

10、令2ln x0，解得xe2，所以已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)2B3.B4.B5.A課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最常用的方法是令f(x)0，轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，解出方程有幾個(gè)根，函數(shù)yf(x)就有幾個(gè)零點(diǎn)，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一是基本方法，是利用零點(diǎn)的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點(diǎn)的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧解方法一設(shè)f(x)ln x2x6，yln x和y2x6均為增函數(shù)，f(x)也是增函數(shù)又f(1)0264<0，f(3)ln 3>0，f(x)在(1,3)上存在零點(diǎn)又f(x)為增函數(shù)，函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點(diǎn)方法二在同一坐標(biāo)系畫出y

11、ln x與y62x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)yln x2x6只有一個(gè)零點(diǎn)變式遷移1B由題意知f(x)是偶函數(shù)并且周期為2.由f(x)log3|x|0，得f(x)log3|x|，令yf(x)，ylog3|x|，這兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù)y軸右邊的圖象如圖，兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)在x0，xR的范圍內(nèi)共4個(gè)例2解題導(dǎo)引用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，最好是利用表格，將計(jì)算過(guò)程所得的各個(gè)區(qū)間、中點(diǎn)坐標(biāo)、區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的過(guò)程，有時(shí)也可利用數(shù)軸來(lái)表示這一過(guò)程；在確定方程近似解所在的區(qū)間時(shí)，轉(zhuǎn)化為求方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，找出的區(qū)間

12、a，b長(zhǎng)度盡可能小，且滿足f(a)·f(b)<0；求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結(jié)果也不同，精確度，是指在計(jì)算過(guò)程中得到某個(gè)區(qū)間(a，b)后，直到|ab|<時(shí)，可停止計(jì)算，其結(jié)果可以是滿足精確度的最后小區(qū)間的端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)的任一實(shí)數(shù)，結(jié)果不唯一解設(shè)f(x)2x33x3.經(jīng)計(jì)算，f(0)3<0，f(1)2>0，所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程2x33x30在(0,1)內(nèi)有解取(0,1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x33x30在(0.5,1)內(nèi)有解，如此繼續(xù)下去，得到方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間，如下表.

13、(a，b)(a，b)的中點(diǎn)f(0,1)0.5f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.625)<0(0.625,0.75)0.687 5f(0.687 5)<0(0.687 5,0.75)|0.687 50.75|0.062 5<0.1至此，可以看出方程的根落在區(qū)間長(zhǎng)度小于0.1的區(qū)間(0.687 5,0.75)內(nèi)，可以將區(qū)間端點(diǎn)0.687 5作為函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值因此0.687 5是方程2x33x30精確度0.1的一個(gè)近似解變式遷移2D由于f(0)<0，f>0，而f(x)x3ln中的x3及l(fā)n

14、在上是增函數(shù)，故f(x)在上也是增函數(shù)，故f(x)在上存在零點(diǎn)，所以x0，第二次計(jì)算應(yīng)計(jì)算0和在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)x1.例3解若a0，f(x)2x3，顯然在1，1上沒(méi)有零點(diǎn)，所以a0.令48a(3a)8a224a40，解得a.當(dāng)a時(shí)，f(x)0的重根x1,1，當(dāng)a時(shí)，f(x)0的重根x1,1，yf(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在1,1上；當(dāng)f(1)·f(1)(a1)(a5)<0，即1<a<5時(shí)，yf(x)在1,1上也恰有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)yf(x)在1,1上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則，或，解得a5或a<.綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>1或a.變式遷移3解方法一(換元)設(shè)2xt，則函數(shù)f

15、(x)4xa·2xa1化為g(t)t2ata1 (t(0，)函數(shù)f(x)4xa·2xa1在(，)上存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程t2ata10，有正實(shí)數(shù)根(1)當(dāng)方程有兩個(gè)正實(shí)根時(shí)，a應(yīng)滿足，解得：1<a22；(2)當(dāng)方程有一正根一負(fù)根時(shí)，只需t1·t2a1<0，即a<1；(3)當(dāng)方程有一根為0時(shí)，a1，此時(shí)方程的另一根為1.綜上可知a22.方法二令g(t)t2ata1 (t(0，)(1)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，)上存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足，解得1<a22；(2)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，)上存在一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)在(，0)時(shí)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足g(0)a

16、1<0，解得a<1；(3)當(dāng)函數(shù)g(t)的一個(gè)零點(diǎn)是0時(shí)，g(0)a10，a1，此時(shí)可以求得函數(shù)g(t)的另一個(gè)零點(diǎn)是1.綜上(1)(2)(3)知a22.課后練習(xí)區(qū)1B因?yàn)閒(1)3<0，f(0)1>0，所以f(x)在區(qū)間(1,0)上存在零點(diǎn)2A3C能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在給定區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，并且有f(a)·f(b)<0.A、B中不存在f(x)<0，D中函數(shù)不連續(xù)4C5B當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)4x4與g(x)log2x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)f(x)x24x3與g(x)log2x的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，可

17、得函數(shù)h(x)有1個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)h(x)共有3個(gè)零點(diǎn)63解析函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2 006xlog2 006x在區(qū)間(0，)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)根據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)在(，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.7x1<x2<x3解析令x2x0，即2xx，設(shè)y2x，yx；令xln x0，即ln xx，設(shè)yln x，yx.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y2x，yln x，yx，如圖：x1<0<x2<1，令x10，則()210，即x3>1，所以x1<x2<x3

18、.8a>1解析設(shè)函數(shù)yax(a>0，且a1)和函數(shù)yxa，則函數(shù)f(x)axxa(a>0，且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)yax(a>0，且a1)與函數(shù)yxa有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)0<a<1時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)yax(a>1)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，而直線yxa所過(guò)的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>1.9證明令g(x)f(x)x.(2分)g(0)，g()f()，g(0)·g()<0.(8分)又函數(shù)g(x)在(0，)上連續(xù)，(10分)所以存在x0(0，)，使g(x0)0.即f(x0)x0.(12分)10解二次函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)>0的否定是：對(duì)于區(qū)間1,1內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(x)0.(4分)此時(shí)，即，解得：p或p3.(10分)二次函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)>0的實(shí)數(shù)p的取值范圍是3<p<.(12分)11證明(1)f(1)abc，3a2b2c0.又3a>2c>2b，3a>0,2b<0，a>0，b<0.又2c3a2b，由3a>2c&g