理論力學(xué)小論文-滾動(dòng)摩阻.

1、滾動(dòng)摩阻及其實(shí)例分析制33劉贊2003010565馮燦2003010559石磊2003010558滾動(dòng)摩阻及其實(shí)例分析制33劉資馮燦石磊辛明鵬辛明鵬20030105542004年12月第頁(yè)/共15頁(yè)滾動(dòng)摩阻及其實(shí)例分析制33劉資馮燦石磊辛明鵬關(guān)鍵詞：滾動(dòng),摩擦,滾動(dòng)摩阻，約束反力，摩擦自鎖摘要：滾動(dòng)摩阻是力學(xué)中一個(gè)非常重要，也非常復(fù)雜的問(wèn)題。本文通過(guò)建立不同的模型，解釋了滾動(dòng)摩阻的產(chǎn)生原理，并且討論了滾動(dòng)摩擦中的摩擦自鎖問(wèn)題。最后，本文通過(guò)網(wǎng)球和車(chē)輪滾動(dòng)兩個(gè)實(shí)例,展示了滾動(dòng)摩阻在生活中的應(yīng)用。理論力學(xué)中一個(gè)非常重要的模型就是輪子滾動(dòng)的問(wèn)題，在很多機(jī)械構(gòu)件的分析上，還有生產(chǎn)實(shí)踐中都會(huì)經(jīng)常遇到。在

2、做理論分析時(shí)，很多時(shí)候都認(rèn)為在滾動(dòng)過(guò)程中，輪子和地面都是不會(huì)有形變的，也就是利用了剛體這個(gè)理想模型。在這種假設(shè)條件下，輪子和地面是點(diǎn)基礎(chǔ)。如果輪子是純滾動(dòng)，那么輪子除了受到地面的支持力外，還可能受到一個(gè)靜摩擦力（受力與否與輪子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)），作用點(diǎn)在輪子和地面的接觸點(diǎn)，方向與輪子運(yùn)動(dòng)方向相反。根據(jù)對(duì)靜摩擦力的分析，靜摩擦力所做的功W=f.S由于純滾動(dòng)，輪子和地面接觸點(diǎn)的速度為零，則$=0,故靜摩擦力所做的功W=o?？芍o摩擦力不做功，那當(dāng)輪子開(kāi)始純滾動(dòng)，且不受外力的情況下，輪子將保持初始速度一直滾下去。但在實(shí)際生活中，輪子或者是球在滾動(dòng)一段時(shí)間后是會(huì)停下來(lái)的，與理論預(yù)計(jì)不符，說(shuō)明理論模型中有

3、不合理的地方。物體滑動(dòng)時(shí)，實(shí)際情況會(huì)受到滑動(dòng)摩擦力。但是對(duì)于純滾動(dòng)的物體，只會(huì)受到靜摩擦力，故不是一般的摩擦力阻礙物體的滾動(dòng)，還有其它的作用使?jié)L動(dòng)物體停下來(lái)。事實(shí)也是這樣的。在一開(kāi)始建的模型中，輪子和地面都是不會(huì)產(chǎn)生形變的，但是在實(shí)際情況中，輪子和地面都會(huì)產(chǎn)生形變，而且在輪子滾動(dòng)時(shí)，這個(gè)形變并不時(shí)均勻的，輪子受到的支持分布力也不均勻，將分布力簡(jiǎn)化可以得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，且這個(gè)力偶是阻礙著輪子的滾動(dòng)。實(shí)際情況中也就是這個(gè)力偶的作用，使?jié)L動(dòng)停止。我們稱(chēng)這個(gè)力偶為滾動(dòng)摩阻。下面我們將就滾動(dòng)摩阻的概念、原理以及滾動(dòng)中的一些問(wèn)題作一些簡(jiǎn)單的討論。滾動(dòng)摩阻的原理我們以滾動(dòng)中的圓柱體為模型來(lái)闡述滾動(dòng)摩阻的

4、原理。若滾動(dòng)中圓柱體和其對(duì)應(yīng)的支持面間的相互接觸作用無(wú)須考慮其面分布情況，則相互擠壓的接觸總作用便可認(rèn)為是集中作用于接觸面的某一點(diǎn)上，接觸總作用可以用一個(gè)宏觀的力一一接觸合力來(lái)等效，它總可以分解為沿接觸面上力作用點(diǎn)處切向的彈力和法向的摩擦力。只要有形變存在，圓柱體前進(jìn)時(shí)前方的擠壓必然增強(qiáng)，形變加劇。所以接觸合力T的作用點(diǎn)D就由其質(zhì)心軸0的正下方向前偏移了一段水平距離5,因此圓柱體所受彈力"并非豎直向上，所受靜摩擦力/也并非沿水平方向向后。為分析N和/的具體情況，可先從下述兩種理想情況入手。第一種理想情況是，圓柱體絕對(duì)堅(jiān)硬而僅支持面產(chǎn)生了形變。先看N的方向。圓柱體滾動(dòng)時(shí)D點(diǎn)己向前偏移，

5、所以N沿D處法向指向0但并非豎直向上。/的方向我們可這樣考慮：設(shè)圓柱體和支持面間絕對(duì)無(wú)摩擦，圓柱體在前進(jìn)中的某時(shí)刻恰好只滾不滑。顯而易見(jiàn)，由于2的作用此時(shí)圓柱體的平移速度V立即減小而轉(zhuǎn)動(dòng)角速度0仍保持不變，所以圓柱體由只滾不滑的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)立即變?yōu)閬V滑乂滾的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，圓柱體表面上與支持面接觸的那一部分曲面（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為觸地面）相對(duì)于對(duì)應(yīng)的支持面將沿自己轉(zhuǎn)動(dòng)的正方向滑動(dòng)。由此可見(jiàn)，若兩接觸面間有摩擦的話(huà)，那么在V=Rcd時(shí)刻，觸地面必將有一個(gè)沿自己轉(zhuǎn)動(dòng)正方向相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)，則此時(shí)圓柱體的D處必將受到與這個(gè)相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反的靜摩擦力/的作用，如圖1-1所示。第二種理想情況是，支持面絕對(duì)堅(jiān)硬而僅圓柱體

6、產(chǎn)生了形變。根據(jù)有關(guān)結(jié)論和上一理想情況的分析方法不難確定，此情況下圓柱體所受彈力N豎直向上，摩擦力/水平向后，如圖1-2所示。（此時(shí)W可以等效為作用在重力G作用線(xiàn)上的N以及一力偶M=N6即滾動(dòng)摩阻）然而，實(shí)際情況總是圓柱體和支持面兩者都產(chǎn)生了形變，所以N和/的情況介于上述兩理想情況之間。具體說(shuō)來(lái)，設(shè)圓柱體及支持面由前述第一種理想情況開(kāi)始，保持其它條件不變，僅圓柱體的堅(jiān)硬程度逐漸減小而支持面的堅(jiān)硬程度逐漸增大，直到前述第二種理想情況為止，則觸地面偏前部分的形變逐漸加劇其形狀逐漸趨于平緩，各處的曲率中心漸離了質(zhì)心軸O,D處法向由指向0逐漸偏離并往豎直向上的方向偏轉(zhuǎn)靠近。在前述第一種理想情況中，N沿

7、D處法向指向質(zhì)心軸0,/沿D處切向向前偏上，見(jiàn)圖1-1。隨后在圓柱體的形變逐漸增大而支持面的形變逐漸減小的一個(gè)有限范圍內(nèi)，N逐漸增大而其方向偏離了指向0的方向并逐漸向上偏轉(zhuǎn)，/逐漸減小而方向向下偏轉(zhuǎn)且始終與N垂直。圖1-3為這個(gè)有限范圍內(nèi)N和/的示意圖。當(dāng)圓柱體和支持面形變相對(duì)達(dá)到某一程度時(shí)，N增加到最大而/減小為零，此時(shí)N恰好等于接觸合力T,如圖1-4。此后隨著圓柱體形變的繼續(xù)增大而支持面形變的繼續(xù)減小，N則逐漸減小第7頁(yè)/共15頁(yè)但方向繼續(xù)向上并往豎直方向偏轉(zhuǎn)靠近，/則由零增大但方向改變?yōu)橄蚝笃虏⒅饾u往水平向后的方向偏轉(zhuǎn)靠近。圖1-5為這一有限范圍內(nèi)N和/的示意圖。當(dāng)形變達(dá)到前述第二種理

8、想情況時(shí)，N減小到等于重力其方向達(dá)到豎直向上，/增大到其方向水平向后，見(jiàn)圖1-2。在以上討論分析的基礎(chǔ)上，若把N進(jìn)行力系等效處理，可將其平移至G作用線(xiàn)上，并附加一力偶M,即為滾動(dòng)摩阻。圖滾動(dòng)摩阻的另一個(gè)模型我們?cè)賮?lái)分析受主動(dòng)力偶T作用的圓盤(pán)所受的約束反力，從另一個(gè)角度來(lái)解釋滾動(dòng)摩阻現(xiàn)象。1對(duì)靜止圓盤(pán)的分析圓盤(pán)受重力G時(shí)，平面對(duì)圓盤(pán)的約束反力呈對(duì)稱(chēng)分布（見(jiàn)圖2-1）,當(dāng)乂有主動(dòng)力偶了作用時(shí)（T不太大），由于相對(duì)于過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小，所以圓盤(pán)有繞質(zhì)心O的轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，因而在各法向反力的作用點(diǎn)處，必然產(chǎn)生切向靜滑動(dòng)摩擦力（見(jiàn)圖2-2）,且分布的切向靜滑動(dòng)摩擦力對(duì)°點(diǎn)的力矩等于卩。將圖2-2

9、的約束反力系向4點(diǎn)簡(jiǎn)化，法向分布力向4點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果為一垂直向上的力N，切向分布力向4點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果為水平向右的切向力F和一個(gè)力偶M（見(jiàn)圖2-3）。圖2-3此外，當(dāng)T不太大時(shí)，由于切向的靜滑動(dòng)摩擦力的約束，圓盤(pán)在有繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的同時(shí)，還必然產(chǎn)生繞4點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)，因此圓盤(pán)上（除A點(diǎn)外）的弧線(xiàn)人人上各點(diǎn)均有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，因此在人人上各點(diǎn)就必然產(chǎn)生與運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)相反的約束全反力（見(jiàn)圖2-4）o以人點(diǎn)作為分析對(duì)象，A4上其它各點(diǎn)類(lèi)推，人點(diǎn)所受約束全反力如圖2-4所示，且RAi丄M，尺毎向水平方向和豎直方向分解得水平向左的分力尺“和豎直向上的分力人人，然后將圓盤(pán)所受的約束反力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化：水平向左的力尸=工只仁,

10、此力與圖2-3中的F相抵消，豎直向上的力"=Ra,以及逆時(shí)針的滾動(dòng)摩阻力偶M（見(jiàn)圖2-5）o綜上，受主動(dòng)力偶T作用的靜止圓盤(pán)所受的總約束反力為法向反力N（等于由G引起的分布力的合力加上SRAiy）和滾動(dòng)摩阻力偶（等于圖2-3,圖2-5中的滾動(dòng)摩阻力偶的疊加），并與主動(dòng)力偶丁相平衡，無(wú)水平方向的摩擦力（見(jiàn)圖2-6)o圖2-6圖2-72對(duì)滾動(dòng)圓盤(pán)的分析當(dāng)主動(dòng)力偶矩T逐漸增大（丁>一最大滾動(dòng)摩阻力偶）時(shí)，圓盤(pán)即開(kāi)始滾動(dòng)，此時(shí)除4點(diǎn)外，人4上各點(diǎn)均有速度，因此圖2-4中的約束全反力沿圓盤(pán)切向的分量己達(dá)到最大靜摩擦力，已不能抵消繼續(xù)增大的如圖2-3中A點(diǎn)的靜摩擦力（因T增大，A點(diǎn)向左滑動(dòng)

11、的趨勢(shì)增大），因此當(dāng)7>耐叱，0工0,開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的圓盤(pán)受力分析如圖2-7所示。此時(shí)乂出現(xiàn)了水平向右的靜摩擦力F,其大小由下列平面運(yùn)動(dòng)微分方程確定：gN-W=OT-Mmax上述方程對(duì)純滾動(dòng)圓盤(pán)：a°=R£,F未知；對(duì)乂滾乂滑的圓盤(pán)：aoRs,F=pN。綜上所述，受主動(dòng)力偶T作用的圓盤(pán)，當(dāng)OVTVMg,圓盤(pán)上除受因重力G引起的垂直向上的反力N外，只出現(xiàn)滾動(dòng)摩阻力偶與T平衡，而無(wú)切向摩擦力尸時(shí)（見(jiàn)圖2-6）,圓盤(pán)處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)T>M喚時(shí)，圓盤(pán)上除受豎直向上的力N夕卜，還出現(xiàn)最大滾動(dòng)摩阻力偶M昨，并出現(xiàn)切向摩擦力尸（見(jiàn)圖2-7）o物體滾動(dòng)時(shí)滑動(dòng)摩擦力上面我們介紹了滾動(dòng)摩

12、阻的原理，但是物體滾動(dòng)時(shí)，同樣也存在著滑動(dòng)摩擦力，而且滑動(dòng)摩擦力情況較平動(dòng)而言比較復(fù)雜，所以下面也分析一下。這些分析將在后面的實(shí)例分析中用到。在平動(dòng)問(wèn)題中，摩擦力總是阻礙接觸面之間的相對(duì)滑動(dòng)，這樣可以判斷摩擦力的方向。在轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中，接觸面間的摩擦力也是由“阻礙相對(duì)滑動(dòng)”的原則來(lái)確定的。但是由于既有移動(dòng)乂有轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，判斷相對(duì)滑動(dòng)就比較麻煩一些。純滾動(dòng)，即當(dāng)滑動(dòng)摩擦力為零。若輪子與平面接觸點(diǎn)間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，則有靜摩接力，且方向與-相反。由前面分析，可以知道靜摩擦力不做功。則在純滾動(dòng)時(shí)，摩擦力不做功，沒(méi)有機(jī)械能向內(nèi)能的轉(zhuǎn)換。既滾又滑時(shí)會(huì)有滑動(dòng)摩擦力的存在。下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)v>c

13、oR,即平動(dòng)速度大于滾動(dòng)速度，則輪子是向前滑動(dòng)的。輪子所受的滑動(dòng)摩擦力/將與I，方向相反，故由動(dòng)量定理，/使I，減小。/對(duì)質(zhì)心0的力矩M=fR方向與e相同，力矩M做正功。/使輪子平動(dòng)減速，/做負(fù)功；乂/使輪子滾動(dòng)加速，做正功?；谝陨戏治?，可以得出卜時(shí)間內(nèi)滑動(dòng)摩擦力做的總共為-/+宓泌總功為負(fù)功。（2）當(dāng)v<coR,即平動(dòng)速度小于滾動(dòng)速度，則輪子滾動(dòng)更快。輪子所受的滑動(dòng)摩擦力/將與"方向相同，故由動(dòng)量定理，/使”增大。/對(duì)質(zhì)心0的力矩M=fR方向與血相反，力矩M做負(fù)功。/使輪子平動(dòng)加速，/做正功；乂/使輪子滾動(dòng)減速，做負(fù)功?？梢缘贸?amp;時(shí)間內(nèi)滑動(dòng)摩擦力做的總共為fvN_f

14、R通?？偣θ詾樨?fù)功。由分析可以看出，/產(chǎn)生的效果一方面使輪子動(dòng)能減小，動(dòng)能轉(zhuǎn)換為熱能，另一方面，/也使?jié)L動(dòng)動(dòng)能和平動(dòng)動(dòng)能之間相互轉(zhuǎn)換。無(wú)論何種情況，/總是在調(diào)整滾動(dòng)速度和平動(dòng)速度，使它們向v=coR轉(zhuǎn)變。滾動(dòng)摩阻及其實(shí)例分析制33劉貴馮燦石磊辛明鵬第9頁(yè)/共15頁(yè)關(guān)于滑動(dòng)摩擦力方向和功的分析會(huì)在后面對(duì)實(shí)例的分析中得以運(yùn)用。物體滾動(dòng)時(shí)的摩擦自鎖現(xiàn)象同滑動(dòng)摩擦一樣，滾動(dòng)摩擦也存在摩擦自鎖現(xiàn)象。下面以圓柱體為模型，來(lái)分析討論一下滾動(dòng)摩擦自鎖的條件。圓柱體在斜面上做純滾動(dòng)時(shí)，受到靜摩擦力/和滾動(dòng)摩阻力矩M的共同作用。如圖所示。/與質(zhì)心速度相反，使得圓柱體質(zhì)心的速度減小。但是/對(duì)質(zhì)心的力矩確與轉(zhuǎn)動(dòng)的角速

15、度血方向相同,它應(yīng)該增大圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。/產(chǎn)生的力矩=由前面原理知，分布再圓柱體與斜面接觸初的約束反力N不通過(guò)質(zhì)心，而是向運(yùn)動(dòng)前方偏移。于是N對(duì)質(zhì)心產(chǎn)生的力矩M與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度Q的方向相反,會(huì)減小圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。這個(gè)力矩就是滾動(dòng)摩阻力矩。其大小由M=kN表示。£為滾動(dòng)摩阻系數(shù)。則，圓柱體在斜面上做純滾動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程mgsin0-f=maeN-mgcos0=0fR-kN=-mR2s若在一定條件下，圓柱體在斜面上，既不向下滑動(dòng)，也不向下滾動(dòng)，此時(shí)a,=0,<y=0,£=0。這就是滾動(dòng)摩擦中的摩擦自鎖現(xiàn)象，下面來(lái)討論摩擦自鎖的條件。自鎖時(shí)，/為靜摩擦力，乂仁比N。仏為靜

16、摩擦系數(shù)。發(fā)生摩擦自鎖時(shí)mgsinfR<kN結(jié)合前式可得=tail0<LiNsfck=tail<NR由于-即滾動(dòng)摩阻系數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于滑動(dòng)摩擦系數(shù)，故圓柱體會(huì)先發(fā)生R滾動(dòng)，這也是我們平常推輪子而滾動(dòng)的原因。滾動(dòng)摩阻及其實(shí)例分析制33劉資馮燦石磊辛明鵬這樣，上面兩式可化為一式，即八ktail<R這就是滾動(dòng)摩擦自鎖發(fā)生的條件。與滑動(dòng)摩擦自鎖仏類(lèi)似的是，滾動(dòng)摩擦自鎖與否與滾動(dòng)體質(zhì)量以及約束力大小無(wú)關(guān)，而只與°、R、R有關(guān)。retail滾動(dòng)摩擦的最大摩擦角。由于專(zhuān)往往比較小，所以滾動(dòng)摩擦角也很小。與滑動(dòng)摩擦相比，發(fā)生滾動(dòng)摩擦自鎖現(xiàn)象的最大摩擦角小于發(fā)生滑動(dòng)摩擦自鎖時(shí)的最大摩

17、擦角。特別是在滾動(dòng)體及斜面剛性較強(qiáng)時(shí)，其摩擦角就更小，自鎖現(xiàn)象也就不明顯。但在現(xiàn)實(shí)生活中，我們根據(jù)滾動(dòng)摩擦的自鎖條件，通過(guò)減小斜面傾角或圓拄體的剛性，在滾動(dòng)體下側(cè)加墊物體等措施，增大滾動(dòng)摩阻系數(shù)鳥(niǎo)，增大滾動(dòng)摩擦自鎖的最大摩擦角，實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)摩擦自鎖，達(dá)到使?jié)L動(dòng)體在斜面上靜止的目的。滾動(dòng)摩擦自鎖在現(xiàn)實(shí)生活中也有較多的應(yīng)用。在斜面上停車(chē)，還有雜技中獅子滾繡球中都有用到。特別是在午輪前方墊物塊防止午滑下在現(xiàn)實(shí)生活中更是常用。下面我們將以網(wǎng)球受力和車(chē)輪滾動(dòng)兩個(gè)模型為例，應(yīng)用滾動(dòng)摩阻的基本理論，分析一下滾動(dòng)摩阻在我們?nèi)粘Ｉ钪械膽?yīng)用。滾動(dòng)摩阻實(shí)例分析一慮滾動(dòng)摩阻的網(wǎng)球受力分析圖5-1取球拍為參考系打網(wǎng)球時(shí)，

18、拍擊打球的過(guò)程也涉及到滾動(dòng)摩擦力。如圖5-1,2,3所示為拍擊球的全過(guò)程示意。來(lái)球的速度為卩加，旋轉(zhuǎn)角速度為W,人揮拍的速度為匕。取球拍為參考系，根據(jù)復(fù)合運(yùn)動(dòng)合成關(guān)系，在此參考系中來(lái)球滾動(dòng)摩阻及其實(shí)例分析制33劉資馮燦石磊辛明鵬另外，網(wǎng)球和人揮動(dòng)球拍的速度關(guān)系也有很多種，為了分析簡(jiǎn)潔，我們建立如下的坐標(biāo)系，X軸在球拍平面上，y軸垂直于球拍平面。將球和拍的相對(duì)運(yùn)動(dòng)分為的速度為叫二嶺“，設(shè)回球速度為“2,則%=2+匕。分析一般的來(lái)球和揮拍動(dòng)作，一種是在球落地后高速?gòu)椘饡r(shí)擊球，一種是在球從高處落下時(shí)擊球。G)Vout網(wǎng)球地而參考系球拍兩大類(lèi)。如下圖，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可設(shè)來(lái)球角速度方向均為圖所示情況，但網(wǎng)球

19、相對(duì)于拍的速度方向有兩種。將V分為水平和垂直兩個(gè)分量。如下圖5-4,5-5所示。網(wǎng)球球拍球拍建立模型。網(wǎng)球?yàn)橐豢招那?。若不考慮滾動(dòng)摩阻，則拍對(duì)球垂直方向的碰撞沖量改變匕的方向和速度；二者之間水平方向的滑動(dòng)摩擦力改變匕，從而將球擊出?？紤]滾動(dòng)摩擦。事實(shí)上，雖然網(wǎng)球拍的線(xiàn)被上得很緊，但在與球碰撞時(shí)會(huì)產(chǎn)生形變，由此建立拍面的線(xiàn)的模型。網(wǎng)球與拍面接觸情況如圖5-6。網(wǎng)球拍線(xiàn)發(fā)生形變，這樣，拍對(duì)球的作用力如圖所示。N,為由形變產(chǎn)生的分布力丫軸分力，其到球質(zhì)心距離為0包括線(xiàn)對(duì)球的滑動(dòng)摩擦力/及分布力在X軸向的分力尸。則對(duì)于網(wǎng)球，N、.提供了一個(gè)相當(dāng)于滾動(dòng)摩阻作用的力矩kNy。引入滾動(dòng)摩阻主要是為了討論網(wǎng)球

20、的角速度問(wèn)題。列描述此運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的幾個(gè)方程。2設(shè)網(wǎng)球和球拍質(zhì)量分別為7和網(wǎng)球?yàn)榭招那颍滢D(zhuǎn)動(dòng)慣量J=-mR23由動(dòng)量矩定理第11頁(yè)/共15頁(yè)滾動(dòng)摩阻及其實(shí)例分析制33劉貴馮燦石磊辛明鵬NxR-N>.k=dw設(shè)常量“,使Nx=juNyK=v-V其中-為球絕對(duì)速度，$為拍絕對(duì)速度。由動(dòng)量定理2mdVdvdtdt作定性分析，使用純滾動(dòng)條件下方程，實(shí)際運(yùn)動(dòng)并不一定在純滾動(dòng)狀態(tài)。v-V=Rw,對(duì)此式求導(dǎo)，得dvdV_dwIT礦聯(lián)立以上三式，很顯然可以得到2 mk=知(1+)+1a167加？3 M與R相比，R應(yīng)該是一個(gè)很小的量，所以系數(shù)“很小。在研究他和對(duì)球質(zhì)心力矩的影響時(shí)，我們小組中最初有兩種意見(jiàn)，

21、一種認(rèn)為R很小，所以力矩冊(cè)、的作用與&V,相比會(huì)很小，另一種意見(jiàn)則相反，因?yàn)楹牒艽蟆Ｓ珊?jiǎn)化條件得出的上式說(shuō)明，力矩kN,應(yīng)該比用V大，既滾動(dòng)摩阻的影響不能忽略。由以上準(zhǔn)備，我們簡(jiǎn)要分析引入滾動(dòng)摩阻后的拍擊網(wǎng)球問(wèn)題。1、Vx>Rw如圖5-7,由剛體運(yùn)動(dòng)速度公式，此時(shí)球與拍線(xiàn)接觸點(diǎn)的速度方向指向x軸正向，則由形變產(chǎn)生的F和滑動(dòng)摩擦力方向均指向x軸負(fù)方向。合力矩使e減小。"很小，但由于憶值很大，滑動(dòng)摩擦力/并不小，它使匕很快減小，某時(shí)刻球的速度和角速度會(huì)滿(mǎn)足純滾動(dòng)條件，接下來(lái)，滑動(dòng)摩擦將變向，轉(zhuǎn)而增大人，并且與Nv共同提供正力矩，使角速度反向并增大。這符合實(shí)際的情況，擊球后，

22、回球角速度一般都與初角速度反向。寫(xiě)論文時(shí)，我們還特意作了簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。2Vx<Rw如圖58,此情況下，摩擦力一開(kāi)始就提供使小球加速的正向加速度，冊(cè)、和RF提供使角速度變向的正力矩。關(guān)于尸和/的大小問(wèn)題不拆宀氷但易知，拍線(xiàn)發(fā)生較大的形變時(shí)間很短，碰撞作用后，隨網(wǎng)球y方向速，戈鳥(niǎo)L、至反向，N、.和F的大小將明顯減小，此后給網(wǎng)球提供加速度和產(chǎn)生角加速度的力矩的便主要是滑動(dòng)摩擦力了，回到了一般忽略滾動(dòng)摩阻的分析。3、匕初方向?yàn)樨?fù)此時(shí)的受力情況如圖5-9所示。由速度和角速度方向關(guān)系可知，接觸點(diǎn)速度指向X軸負(fù)方向，所以滑動(dòng)摩擦力/和尸均為正向。N和N,共同為網(wǎng)球提供力矩。以上的分析模型以及情況分

23、類(lèi)十分簡(jiǎn)化，主要是為了弓俠滾動(dòng)摩擦的概念。實(shí)際上，網(wǎng)球），方向上速度變化影響了拍和球的作用時(shí)間，需要根據(jù)碰撞理論進(jìn)行分析。人揮拍不同階段有不同動(dòng)作，也會(huì)影響網(wǎng)球的受力。滾動(dòng)摩阻實(shí)例分析一車(chē)輪的滾動(dòng)摩阻分析單輪模型首先我們建立如右圖所示的模型，一般情況下,輪子在地面上滾動(dòng)，地面的形變相對(duì)較小，而輪子的形變是產(chǎn)生股動(dòng)摩阻的主要原因，滾動(dòng)摩阻只考慮kN的作用。圖中，M'=kN,F是靜摩擦力，P是作用在軸0上的主動(dòng)力。（為了討論方便，下列模型均不討論空氣阻力）輪子只有一個(gè)自由度，取0的水平位移x為廣義坐標(biāo)，由動(dòng)量矩定理，以接觸點(diǎn)（瞬心）為轉(zhuǎn)動(dòng)中心,有XR-M=J<p其中丿'是輪對(duì)

24、瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。根據(jù)動(dòng)量定理，有第12頁(yè)/共15頁(yè)M'N圖6-13X-F=mx（2）滾動(dòng)摩阻及其實(shí)例分析制33劉資馮燦石磊辛明鵬補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)方程第16頁(yè)/共15頁(yè)這種輪子，假如加在馬車(chē)的架構(gòu)上，就是馬車(chē)輪子的力學(xué)模型。然后我們建立另外一種受力情況下輪子的模型。人或者發(fā)動(dòng)；圖0上產(chǎn)生一個(gè)T主動(dòng)力矩作用，其他條件如圖所示。同樣取X為廣義坐標(biāo)，于是，對(duì)質(zhì)M-M-FR=Jc(pF=mx其中丿c是輪對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)方程x=R(px=R(p這種力學(xué)模型是在對(duì)獨(dú)輪自行車(chē)車(chē)輪受力分析下得到的。對(duì)它進(jìn)行討論，可以得到以下的結(jié)論：1、輪子作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，x=0,所以靜摩擦力F=0o輪子在地面上運(yùn)動(dòng)由

25、主動(dòng)力矩提供牽引力。而且0=0,所以M=M，即牽引力等于滾動(dòng)摩擦力。換句話(huà)說(shuō)，牽引力克服滾動(dòng)摩阻，使輪子能勻速運(yùn)動(dòng)。2、輪子作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，x>0,靜摩擦力F>0且提供輪子的加速度。設(shè)T為輪子動(dòng)能，則(7)dTdt=mxx+Jc(p<p=FRp+(M-M-FR)(p=(8)其中M卩是發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率。同時(shí)，這也再一次說(shuō)明了靜摩擦力不做功。3、輪子作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)<0,其余討論類(lèi)似于2雙輪模型將上面兩種輪子加在一起，中間夾以連接裝置，就成了單驅(qū)動(dòng)輪的車(chē)輛模型。如下圖下面以后輪驅(qū)動(dòng)為例。發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)。軸作用一個(gè)大小為M的力矩。車(chē)體通過(guò)連接結(jié)構(gòu)給后輪軸產(chǎn)生力/、乙，對(duì)前輪產(chǎn)生力X,

26、r2o依然以軸的位移X為廣義坐標(biāo)，輪的質(zhì)量為7。M加2對(duì)前輪列力學(xué)方程：F2R-M2=Jc<p®X2-F2=mxUO對(duì)于后輪列力學(xué)方程：M-M-FR=Jc(p(ID鬥一X=mx(12)汽車(chē)正常行駛時(shí)，輪子是無(wú)滑滾動(dòng)，則可以補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)方程x=R(p(13)x=R(14)對(duì)于車(chē)體X?X=x(15>'g聯(lián)立10、12>15可以得到Fl-F2=(+2/?)x(16)-g系統(tǒng)動(dòng)能為T(mén)=-(2m+)x2+2-Jc(p2(17)2g2給動(dòng)能對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：=(2m+)xx+2jc(p(pdtg=(巴一F2)R®+(M-Mi-M2+F?R=(M-Mi-M2)(p(18)若輪子乂滑乂滾，尺、尸2為輪子與地面之間的滑動(dòng)