第六講工具變量回歸教材

1、工具變量回歸廠OLS經(jīng)典假設(shè)床有的解釋變量£與隨機誤差項彼此之間不相關(guān)。Cov（皿Xi）=0=若解釋變量Xi和Hi相關(guān)，貝！IOLS估計量是非一致的，也就是即使當(dāng)樣本容量很大時，OLS估計量也不會接近回歸系數(shù)的真值。當(dāng)解釋變量和隨機誤差項相關(guān)時，模型存在著內(nèi)生性問題。r在計量經(jīng)濟學(xué)中，把所有與擾動項相關(guān)的解釋變量都稱為“內(nèi)生變量”。這與一般經(jīng)濟學(xué)理論中的定義有所不同。rlo與誤差項相關(guān)的變量稱為內(nèi)生變量(endogenousvariable)o廣2。與誤差項不相關(guān)的變量稱為外生變量(exogenousvariable)因很多，但我們主要考慮如下幾個方面:曠遺漏變量偏差r變量有測量誤差

2、廣雙向因果關(guān)系。遺漏變量偏差假設(shè)真實的模型為V.=X,3+乙乩八Zb1/2'21I而實際估計的模型為=£1角+礙遺漏變量(omittedvai-inbbs)尤；0被歸入新擾動項色中去了?？紤]以下兩種情形，（1）遺漏變量血與解釋變量殲不相關(guān),即Cov（£“2）二0。在這種情況下,擾動項冷與解釋變量以不相關(guān)，根據(jù)大樣本理論，OLS依然可以一致地估計何。但由于遺漏變量曲2被歸入擾動項冷中，可能增大擾動項的方弟，從而影響OLS估計的精確度。（2）遺漏變量如與解釋變量州相關(guān)，即Cov（嗎“2）工0。在這種情況下,根據(jù)大樣本理論，OLS不再是一致的，其偏差被稱為“遺漏變量偏差”

3、（omittedvariablebias）0這種偏差在計量實賤中較常見，成為某些實證研究的致命傷。比如，在研究教育投資回報時,個體的先天能力因為無法觀測血披遺漏，但能力與受教育年限很可能存在正相關(guān)。7變量有測量誤差曠測量數(shù)據(jù)正確時：假設(shè)方程為:Yi#0+j31Xi+Hi當(dāng)存在測量誤差時：方程為:Yi=00+f3Xi+Vi所以我們有:X=0o+01X+W=00+01免+01(%Xi)+UiVi=01(XXi)+Ui可知，誤差項中包含Xi-Xi所以可以得到：如果Cov(Xt-Xi.Xt)0則回歸結(jié)果有偏，非一致我們假設(shè)Xi=Xi+Wz則有八(J2Xcyxrcyw綸論：1。由于廠+幾因此啟即使在大樣

4、本下也偏向于02o回歸的性質(zhì)決定于w的標(biāo)準(zhǔn)差c八CTx六000”°ax+awc八CTxa2w0>220卩cyx+o"wf雙向因果關(guān)系r之前我們假定因果關(guān)系是從回歸變量到因變量的（X導(dǎo)致了Y）。但如果因果關(guān)系同時也是從因變量到一個或多個回歸變量（Y導(dǎo)致了X）的呢？如果是這樣的話，因果關(guān)系是向前的也是“向后”的，即存在雙向因果關(guān)系，如果存在雙向因果關(guān)系，貝！IOLS回歸中同時包含了這兩個效應(yīng)，因此OLS估計量是有偏的、非一致的。（【"口一I）/皆口=（力"x）s也+丈乂+“二?x呦+X射+唱='A“遺漏變量偏差可來用在多元回歸中加入遺漏變A量的

5、方法加以解決，但前提是只有當(dāng)你有遺漏變量數(shù)據(jù)時上述方法才可行。廣雙向因果關(guān)系偏差是指如果有時因果關(guān)系是從X到Y(jié)又從Y到X時，此時僅用多元回歸無法消除這一偏差。同樣，r變量有測量誤差也無法用我們前面學(xué)過的方法解決。r因此我們就必須尋找一種新的方法。工具>(instrumehtafvariable,IV)回*歸是當(dāng)回歸變量X與誤差項u相關(guān)時獲得總體回歸方程未知系數(shù)一致估計量的一般方法O我們經(jīng)常稱其為IV估計。廠其基本思想是：假設(shè)方程是:Yt=金+直&+叫，匚=1,2,n我們假設(shè)出與X湘關(guān)，則OLS估計量一定是有偏的和非一致的。工具變量估計是利用另一個“工具”變量Z將分離成與w相關(guān)和不

6、相關(guān)的兩部分。%0r我們的工作就是要尋找相應(yīng)的工具變量將解釋變量分解成內(nèi)生變量和外生變量，然后利用兩階段最小二乘法(TSLS)進行估計。工具變量的選取一個有效的工具變量必須滿足稱為工具變量相關(guān)性和工具變量外生性兩個條件:即(1)工具變量相關(guān)性：工具變量與所替代的隨機解釋變量高度相關(guān);Cov(Zi,X)豐0(2)工具變量外生性：工具變量與隨機誤差項不相關(guān)；CoV(UiZi)=0廣若工具變量Z滿足工具變量相關(guān)性和外生性的條件，貝！I可用稱為兩階段最小二乘(TSLS)的IV估計量估計系數(shù)屍。r兩階段最小二乘估計量分兩階段計算：廣第一階段把X分解成兩部分：即與回歸誤差項相關(guān)的一部分以及與誤差項無關(guān)的一

7、部分。r第二階段是利用與誤差項無關(guān)的那部分進行估計。一般IV回歸模型為Yi=&+mX】i+"+直X打+0屮Wn+"+SrtMn+斫X.因變量Yi。2.外生解釋變量W1PW2P.Wrio3內(nèi)生解釋變量X”、X2P.Xkio4我們引入工具變量、Z2P.Zmio第一階段回歸：利用OLS建:i每個內(nèi)生變量(Xii、X2P.Xki)關(guān)于工具變量(為、Z2p.Zmi)和外生變量(W1PW2P.wri)的回歸，并得到所有回歸結(jié)果的擬合值Xhato第二階段回歸：用Xi_hat取代原有的為，與原有的外生變量W起進行第二次回歸，得到TSLS統(tǒng)計量卩TSLSO注意：工具變量出現(xiàn)在第一階段

8、回歸，但不出現(xiàn)在第二階段回歸。引入工具變量的個數(shù)存假設(shè)我們有n個內(nèi)生解釋變量，引入了m個工眞麥量，n和m的關(guān)系臭什么？n=m恰好識別廣nvm過度識別n>m不可識別r只有恰好識別和過度識別才能用IV方法估計。f兩階段最小二乘法的stata命令：rivregress2slsdepvarvarlistl(varlist2=instlist)frzfirstr其中，“depvar，為被解釋變量，varlistl為外生解釋變量，varlist2為所有的內(nèi)生解釋變量集合，instlist為工具變量集合。廣選擇項表示使用異方差穩(wěn)健的標(biāo)準(zhǔn)誤，選擇項“first”表示顯示第一階段的回歸。r工具變量相關(guān)性工

9、具變量相關(guān)性越強，也就是工具變量能解釋越多的X變動，則：IV回歸中能用的信息就越多，因此利用相關(guān)性更強的工具變量得到的估計量也更精確。r弱工具變量：如果雖然Cov(Zi.Xi)主0c但是Cov(Zi,X)a0r弱工具變量幾乎不能解釋X的變動。Q弱工具變量檢驗準(zhǔn)則1.偏IV(Shea'spartialR2)廠含義：在第一階段回歸中，在控制外生變量影響的前提下，看其它變量對某內(nèi)生變量的解釋力，或者說，在第一階段回歸中，剔除掉外生變量的影響。2最小特征值統(tǒng)計量F：經(jīng)驗上F應(yīng)該大于10。Stata命令：restatfirststagezallforcenonrobust廣3Cragg-Dona

10、ldWaldF統(tǒng)計量r4Kleibergen-PaapWaldrkF統(tǒng)計量”rStata命令：ivreg2r1.如果有很多工具變量，有部分強工具變量和部分弱工具變量，可以舍棄較弱的工具變量而選用相關(guān)性較強的工具變量子集。在stata中，可以使用ivreg2命令進行“冗余檢驗”，以決定選擇舍棄哪個工具變量。（直觀上，冗余工具變量是那些第一階段回歸中不顯著的變量。）廣2如果系數(shù)是恰好識別的，則你不能略去弱工具變量。在這種情況下，有兩個選擇：廠第一個選擇是尋找其他較強的工具變量。（難度較大）第二個選擇是利用弱工具變量繼續(xù)進行實證分析，但采用的方法不再是TSLS。而是對弱工具變量不太敏感的有限信息極大

11、似然法(LIML)o在大樣本下，LIML與2SLS是漸近等價的，但在存在弱工具變量的情況下，LIML的小樣本性質(zhì)可能優(yōu)于2SLSo廣LIML的Stata命令為rivregresslimldepvarvarlistl(varlist2=instlist)Q工具變量外生性的檢驗廣剛才我們提到：只有恰好識別和過度識別才能用IV方法估計。曠一個很重要的命題是：只有過度識別情況下才能檢驗工具變量的外生性，而恰好識別情況下無法檢驗。廣基本思想:假設(shè)有一個內(nèi)生回歸變量，兩個工具變量且沒有包含的外生變量。則你可以計算兩個不同的TSLS估計量：其中一個利用第一個工具變量，而另一個利用第二個工具變量。由于抽樣變異

12、性，這兩個估計量不會相同，但如果兩個工具變量都是外生的，則這兩個估計量往往比較接近。如果由這兩個工具變量得到估計非常不同,則你可以得出其中一個或兩個工具變量都有內(nèi)生性問題的結(jié)論。益標(biāo)準(zhǔn)rSargan統(tǒng)計量廣J統(tǒng)計量rC統(tǒng)計量曠過度識別檢驗的Stata命令:restatoverid究竟該用還是工具變量法廠豪斯曼檢驗廣原假設(shè)為:rHO:所有解釋變量均為外生變量了regyxlx2reststoreolsrivregress2slsyxl(x2=zlz2)reststoreivrhausmanivolsfsigmamore檢驗的k點是，它假設(shè)在成立的情況下，OLS最有效率。但如果存在異方差，曠此時可以

13、使用杜賓吳豪斯曼檢驗(DWH),該檢驗在異方差的情況下也適用，更為穩(wěn)健。廣stata命令：estatendogenousK廣義矩估計法WsMM-r基本思想:求解如下一般化目標(biāo)函數(shù)，使之最小化J(b_GMM)=n*g(b_GMM),*W*g(b_GMM)其中，W為權(quán)重矩陣廣在球型擾動項的假定下，2SLS是最有效的。但如果擾動項存在異方差或自相關(guān)，則廣義矩估計方法效果更好。rGMM方法又分為兩步GMM法和迭代GMM方法。曠有關(guān)GMM的Stata命令為rivregressgmmyxl（x2=zlz2）（兩步GMM）rivregressgmmyxl（x2=zlz2）figmm（迭代GMM）estato

14、verid（過度識別檢驗）“彥Mincer(1958)最早研究了工資與受教育年限的正相關(guān)關(guān)系，但遺漏了“能力”這個變量，導(dǎo)致遺漏變量偏差。針對美國面板調(diào)查數(shù)據(jù)申的年痙男子組群(YoungMen5sCohortoftheNationalLongitudinalSurvey,簡記NLS-Y),Griliches(1976)釆用工具變量法對遺漏變量問題進行了校正OBlackburnandNeumark(1992)更新r了Griliches(1976)的數(shù)據(jù)，即這個例子中將要使用的數(shù)據(jù)集grilic.dta。處數(shù)據(jù)集中諒以下變豊題潑對數(shù)2S（受教育年限），age（年齡），exp（工齡）,tenure（

15、在現(xiàn)單位的工作年數(shù)），iq（智商），med（母親的受教育年限），kww（隹“knowledgeoftheWorldofWork”測試l=J公中的成績），mrt（婚姻虛擬變量，已婚"），ns（美國南方虛擬變量，住在南方=!）,smsa（大城市虛擬變量，住在大城市=1）,yea（有數(shù)據(jù)的最早年份，19661973年中的某一年）。LU.作這是一個兩期面板數(shù)據(jù)，初始期為當(dāng)以上變量有數(shù)據(jù)的最早年份，結(jié)束期為1980年。不帶80字樣的變量名為初始期，帶80字樣的變量名為1980年數(shù)據(jù)。比如，iq指的是初始期的智商，而lw80指的是1980年的工資對數(shù)。usegrilic.dta,clearsum

16、r(2)考察智商與受教育年限的相關(guān)關(guān)系。pwcorriqs,sig(3)建立如下方程:Zw80=0卩80+02expr80+j33tenure80+wreglw80s80expr80tenure80么繼續(xù)對方程進行券析;我忙唆現(xiàn)了如下何題P廣1。遺漏變量問題：認為方程遺漏了“能力”這個變量，加入iq（智商）作為“能力”的代理變量。reglw80s80iqexpr80tenure80鄉(xiāng)2。測量誤差問題小q催商）.對“能力”的測量存二在誤差。3。變量內(nèi)生性問題：S80可能與擾動項中除“能力”以外的其他因素相關(guān)，因此是內(nèi)生變量。/解決方法：引入四個變量med,kww,mrt,age,作為內(nèi)生解釋變量

17、iq與s80的工具變量。r然后使用TSLS方法進行回歸。ivregress2slslw80expr80tenure80(s80iq=medkwwmrtage),first廣使用兩步GMMoivreg(s80ressgmmlw80expr80tenure80iq=medkwwmrtage)廠使用迭代GMMoivreg(s80ressgmmlw80expr80tenure80iq=medkwwmrtage)Aigrnm點注意事項J=rlofirst選項的目的是顯示TSLS第一階段的結(jié)果，如果省略，則僅顯示第二階段的結(jié)果。廠2。命令的用法比較嚴(yán)格，將被解釋變量和所有外生解釋變量放到括號外面，內(nèi)生解釋

18、變量放到括號里面，等號后面為所有工具變量。r3o2SLS只能通過stata完成，利用定義手動計算的結(jié)果是錯誤的，因為殘差序列是錯誤的。的工具變量，而是給所有內(nèi)生變量指定一系列工具變量O廣5。所有外生變變量都作為自己的工具變量。曠6。為了檢驗工具變量的外生性，本題為過度識別。曠7。在大樣本下，IV估計是一致的，但在小樣本下，IV估計并非無偏估計量，有些情況下偏誤可能很嚴(yán)重。么乞弱工具變量檢驗廣檢驗方法:rlo初步判斷可以用偏R2（partialR2）（剔除掉模型中原有外生變量的影響）。2oMinimumeigenvaluestatistic（最小特征值統(tǒng)計量），經(jīng)驗上此數(shù)應(yīng)該大于10。這個方法類

19、似于與書上的“第一階段F統(tǒng)計量”O(jiān)曠工具變量外生性檢驗曠我們一般稱為過度識別約束J檢驗。曠檢驗工具變量是否與干擾項相關(guān)，即工具變量是否為外生變量。TSLS根據(jù)Sargan統(tǒng)計量進行過度識別檢驗。r命令為：estatoverid檢驗工具變量的外H0：所有工具變量都是外生的。H1：至少有一個工具變量不是外生的，與擾動項相關(guān)。0ivregress2slslw80expr80tenure80(s80iq=medkwwmrtage),firstestatfirststage,allforcenonrobustestatfirststageestatoveridK究竟該用OLS還是IV曠解釋變量是否真的存

20、在內(nèi)生性？r假設(shè)能夠找到方程外的工具變量。曠1。如果所有解釋變量都是外生變量，則OLS比IV更有效。在這種情況下使用IV,雖然估計量仍然是一致的，會增大估計量的方差。2O如果存在內(nèi)生解釋變量，則OLS是不一致的，而IV是一致的。檢驗方法：豪斯曼檢驗檢驗曠豪斯曼檢驗(Hausmanspecificationtest)HO:所有解釋變量均為外生變量。曠H1：至少有一個解釋變量為內(nèi)生變量。quietlyreglw80s80expr80tenure80iqeststoreolsquietlyivregress2slslw80expr80tenure80(s80iq=medkwwmrtage)estst

21、oreivhausmanivolsIw=0Q+禹expr+ptenure+J34rns+J35smsa+mregIwsexprtenurernssmsazr引入智商(iq)作為“能力”的代理變量，再進行OLS回歸。regIwsiqexprtenurernssmsafr%2）由于用iq來度量能力存在“測量誤差=敲iq是內(nèi)生交量，考慮使用變量（me*kwwfmrtzage）作為iq的工具變量，進行2SLS回歸，并使用穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。ivregress2slslwsexprtenuremssmsa(iq=medkwwmrtage)frfirstr（3）進行過度識別檢驗，考察是否所有工具變量均外生，即與擾

22、動項不相關(guān)。restatoveridf(4)我們懷疑(m九age)不滿足外生性，做r使用C統(tǒng)計量檢驗這兩個工具變量的外生性。rfinditivreg2rivreg2Iwsexprtenurernssmsa(iq=medkwwmrtage)zrorthogfmrtage)(5)考慮僅使用變量(me*kww)作為iq的工具變量，再次進行2SLS回歸。rivregress2slsIwsexprtenurernssmsa(iq=medkww)川first再次進行過度識別檢驗：一:estatoverid廣(6)弱工具變量檢驗estatfirststage,allforcenonrobust廠(7)為了穩(wěn)健起見，下面使用對弱工具變量更不敏感的有限信息最大似然法(LIML)：ivregresslimllwsexprtenurernssmsa(iq=medkww)frf?(8)進一步考察翡工具變量問題，對工具變量kww進行冗奈檢盛rivreg2lwsexprtenurernssmsa(iq=medkww)frredundant(kww)廣(9)利用豪斯曼檢驗判斷是否存在內(nèi)生解釋=|quireglwiqsexprtenurernssmsaeststoreolslquiivregress2slslwsexprtenuremssmsa(iq=me