彈塑性力學(xué)第03章 ppt課件

1、第三章第三章 彈性力學(xué)平面問題彈性力學(xué)平面問題3-1 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題3-2 平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法3-3 代數(shù)多項(xiàng)式解答代數(shù)多項(xiàng)式解答3-4 假設(shè)干典型實(shí)例假設(shè)干典型實(shí)例3-5平面問題的極坐標(biāo)方程平面問題的極坐標(biāo)方程3-6 平面軸對(duì)稱應(yīng)力問題平面軸對(duì)稱應(yīng)力問題3-7 圓孔孔邊應(yīng)力集中圓孔孔邊應(yīng)力集中3-8 楔形體問題楔形體問題3-9 半平面問題半平面問題* 3-10 Airy應(yīng)力函數(shù)的物理意義應(yīng)力函數(shù)的物理意義 3-1 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題 嚴(yán)厲說來，任何一個(gè)實(shí)踐的彈性力學(xué)問題都是空間問題三維問題，從而

2、要?dú)w結(jié)為求解復(fù)雜的偏微分方程組的邊值問題。但是，當(dāng)彈性體的幾何外形和受力情況包括約束條件具有一定特點(diǎn)時(shí)，只需經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和力學(xué)的籠統(tǒng)處置，就可以歸結(jié)為所謂的彈性力學(xué)平面問題，在數(shù)學(xué)上屬于二維問題。這樣處置，將使分析和計(jì)算任務(wù)量大為減少，而所得結(jié)果卻仍可以滿足工程上對(duì)精度的要求。 根據(jù)彈性體的外形與受力特點(diǎn)，彈性力學(xué)平面問題可分成平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題兩個(gè)類型。 一、平面應(yīng)力問題一、平面應(yīng)力問題 由于板很薄，外力又不沿厚度方向變化，應(yīng)力沿著板厚又是延續(xù)分布的，因此，可以為在板的內(nèi)部，這三個(gè)應(yīng)力分量是很小的，無妨近似以為在整個(gè)板內(nèi)為零。0)( , 0)( , 0)(222zzxzzyzz一點(diǎn)

3、處的應(yīng)力形狀平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題 留意到切應(yīng)力互等性，可知，只剩下平行于xoy面的應(yīng)力分量： 將此三個(gè)應(yīng)力分量看成與z無關(guān)的、關(guān)于x，y的函數(shù) xyyx,),(),(),(0, 0, 0321yxFyxFyxFxyyxxzyzz切應(yīng)力互等定理 兩相互垂直平面上的切應(yīng)力數(shù)值相等，且均指向或背叛該兩平面的交線，稱為切應(yīng)力互等定理。資料力學(xué)P61平面應(yīng)力問題根本方程 在平面應(yīng)力問題中，隨著物理量的簡(jiǎn)化，根本方程也隨之簡(jiǎn)化 。00yyxyxyxxFyxFyxyuxvyvxuxyyx)1 (2)(1)(1yxxyxyyyxxEEExyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(122or0 xzyz)

4、(yxzE及0, 畸變。這種畸變很小，并與z無關(guān)，而是x，y的函數(shù)。它可以從此式中獨(dú)立地求出。 z 彈性力學(xué)的根本方程彈性力學(xué)的根本方程 普通情況普通情況22yz22y22x0y0y0 xtwFzxtvFzxtuFzyzzxzyzxxyxzxyxyuxvwxwzuyvzvywuzyxxyxzyz ,z , ,xxyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxEEEEEE12 ,112 ,112 ,1zyxxyzxzyyzxGGGGGGxyzxzyyzx ,2 ,2 ,2平衡運(yùn)動(dòng)微分方程平衡運(yùn)動(dòng)微分方程 幾何方程幾何方程應(yīng)變和位移的關(guān)系應(yīng)變和位移的關(guān)系 物理方程物理方程應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系

5、 平面應(yīng)力問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 問題：平面應(yīng)力問題的以應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 類似三維問題重新推導(dǎo)，能否直接用三維的結(jié)論簡(jiǎn)化而來？yxyxxy22x22y2yFxFyxyx)1 ()(222222yx應(yīng)變協(xié)調(diào)方程普通情況)yxzyxzzxzyxyzyzyxxyxyxzxxzzyzyzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxyxyxzzxyzyz222222222222222222222yxzyxzzxzyxyzyzyxxyxyxzxxzzyzyzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxyxyxzzxyzyz222222222222222222222xyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxE

6、EEEEE12 ,112 ,112 ,1zyxxyxyzzxzxzyyyzyzxxEEEEEEEEE)1 (2,1)1 (2,1)1 (2,1zyzyzyyzyz2222222221應(yīng)力解法應(yīng)力解法 以應(yīng)力表示的應(yīng)變以應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程普通情況協(xié)調(diào)方程普通情況mlfmlfyxyyyxxx靜力邊境條件 應(yīng)力邊境條件普通情況應(yīng)力邊境條件普通情況 nmlfnmlfnmlfzyzxzzzyyxyyzxyxxx二、平面應(yīng)變問題二、平面應(yīng)變問題 調(diào)查圖示水壩或受內(nèi)壓的圓筒，它們是母線與Oz軸平行且很長(zhǎng)的柱體，所受膂力和面力垂直于Oz軸，而且沿該軸方向均勻分布。對(duì)于這類物體，無妨以為沿z方向是無限長(zhǎng)的。

7、因此，柱體的恣意一個(gè)垂直于z軸的橫截面都可以看成對(duì)稱截面，在對(duì)稱截面上的每一點(diǎn)只能在其本身平面與xOy平面平行內(nèi)挪動(dòng)，而沿z方向的位移w為零，因此在整個(gè)柱體內(nèi)有w=0，由此在恣意橫截面內(nèi)，沿x軸和y軸方向的位移分量u及v均與z無關(guān)，位移分量就簡(jiǎn)化為0),(),(wyxvvyxuu平面應(yīng)變問題幾何方程平面應(yīng)變問題幾何方程 ),(),(),(321yxfyuxvyxfyvyxfxuxyyx000 xwzuzvywzwxzyzz平面應(yīng)變問題的應(yīng)力分量平面應(yīng)變問題的應(yīng)力分量 yz =xz = 0 0)(1yxzzE)(yxz z在平面應(yīng)變問題中不為零 。z的存在闡明了沿z方向無限長(zhǎng)的柱體的假設(shè)限制了每

8、一個(gè)橫截面的縱向位移。當(dāng)柱體遭到垂直于z軸的外力作用時(shí)，這些橫載面之間必然會(huì)產(chǎn)生擠壓力z，由于z為應(yīng)力分量x與y的一種組合，因此它不是獨(dú)立的未知量，在求得x和y后，可由上式單獨(dú)求解，而根本方程中不包含z。 xyxyyxzxzxzzxyyzyzzyxEvvEEvvEEvvE12 ,112 ,112 ,1zyx將上式代入物理方程 )(yxz1,1121EE并令EE1111不難證明 從而可得平面應(yīng)變問題的物理方程 。平面應(yīng)變問題的物理方程 orxyxyxyyyxxEEE111111)1 (2)(1)(1xyxyxyyyxxEEE)1 (2)(1)(11112111211平面應(yīng)變問題的根本方程中，平衡

9、微分方程及幾何方程與平面應(yīng)力問題一樣，兩類平面問題的物理方程的區(qū)別，就在于彈性常數(shù)E1，v1與E，v的不同。平面應(yīng)變問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程平面應(yīng)變問題的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程經(jīng)簡(jiǎn)化得：yFxFyxyx11)(2)(11)()1 ()(2平面應(yīng)變平面應(yīng)力yFxFyFxFyxyxyx22222yx兩類平面問題根本方程的比較 平面應(yīng)變問題的根本方程中，平衡微分方程及幾何方程與平面應(yīng)力方程一樣，兩類平面問題的物理方程的區(qū)別在于 E1 、v1與E、v不同。 應(yīng)力解法那么以應(yīng)力分量作為根本未知量，前面已說過，應(yīng)力分量必需滿足平衡微分方程以及靜力邊境條件，這是保證物體的平衡的充要條件，但這僅僅是靜力上能夠的平衡，不是實(shí)踐

10、存在的平衡，這組應(yīng)力分量也不一定是真正的應(yīng)力，而真正的應(yīng)力不僅要滿足平衡微分方程與靜力邊境條件，還要求與這組應(yīng)力分量相應(yīng)的應(yīng)變分量滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，這樣才干既滿足了物體的平衡又滿足了物體的延續(xù)，由此可知，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程在應(yīng)力解法中是非常重要的。以應(yīng)力表示應(yīng)變的物理方程代入應(yīng)變協(xié)調(diào)方程式中，得到以應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方程。 3-2 平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法3-2 平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法對(duì)于常膂力的情況00yyxyxyxxFyxFyx0)(yx2 此式闡明：只需膂力為常量，兩類平面問題的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程是無區(qū)別的，通常稱此式為萊維Lvy方程。 (a)(c)根本方程齊次

11、方程解與恣意特解之和0yx0yxyxyyxx首先求齊次方程通解引入兩函數(shù)Ax，y與Bx，y，并假定 xA,yAyxxxB,yByxyyxxyyBxA由于所以yxxy2xy22y22xyBxA為了使此式成立，再引入一個(gè)關(guān)于x，y的恣意函數(shù)xB,yAyxxy2xy22y22x方程a的恣意一組特解，如 00yyxyxyxxFyxFyx0,xyyyxxyFxF(a)便求得方程a的通解 由式3-10可知，不論是什么函數(shù)，只需四階延續(xù)可導(dǎo)，由此求得的應(yīng)力分量總是滿足平衡微分方程a的。(3-10)yxyFxxFyxyyyxx22222), 0, 0(yxxyyxxFyF 將式3-10前兩式代入方程c，那么得

12、到0)(yx2(3-10)(c)yxyFxxFyxyyyxx222220yyx2x442244422(3-11)方程3-11稱為雙調(diào)和方程， 函數(shù)x，y為雙調(diào)和函數(shù)，又稱艾雷Airy應(yīng)力函數(shù)。 mFylyxfmyxlFyfyyxx222222(3-12)靜力邊境條件可表示為 雙調(diào)和方程的邊值問題雙調(diào)和方程的邊值問題小結(jié) 平衡方程、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程以及邊境條件中均不含資料常數(shù)。這就是說，不同資料的物體，只需它們的幾何條件、荷載條件一樣，那么不論其為平面應(yīng)力問題或平面應(yīng)變問題，它們?cè)谄矫鎯?nèi)的應(yīng)力分布規(guī)律是一樣的。這一結(jié)論為模型實(shí)驗(yàn)例如光彈性實(shí)驗(yàn)等提供了實(shí)際根底。該當(dāng)留意，以上兩種情況的應(yīng)力z、應(yīng)變和位

13、移是不一樣的。 3-2 平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法00yyxyxyxxFyxFyx0)(yx2(a)常膂力根本方程齊次方程通解與恣意特解之和齊次方程解0yx0yxyxyyxxyxxy2xy22y22x特解0,xyyyxxyFxF), 0, 0(yxxyyxxFyF yxyFxxFyxyyyxx222220223-3 代數(shù)多項(xiàng)式解答代數(shù)多項(xiàng)式解答 逆解法(假定不計(jì)膂力，分別以冪次不同的多項(xiàng)式作為應(yīng)力函數(shù)) 1取一次多項(xiàng)式為應(yīng)力函數(shù)，即令 = a0 + a1x + b1y 顯然，該函數(shù)滿足雙調(diào)和方程式3-11，并對(duì)應(yīng)于無應(yīng)力形狀 由此可見，在應(yīng)力函數(shù)中，一次多項(xiàng)式可以刪去，由于它

14、不影呼應(yīng)力分量的值。 0yx, 0 x, 0y2xy22y22x逆解法 逆解法即先按某種方法給出一組滿足全部根本方程的應(yīng)力分量或位移分量，然后調(diào)查在確定的坐標(biāo)系下，對(duì)于外形和幾何尺寸完全確定的物體，當(dāng)其外表受什么樣的面力作用或具有什么樣的位移時(shí)，才干得到這組解答。 2. 取二次多項(xiàng)式為應(yīng)力函數(shù) = a2x2 + b2xy + c2y2 滿足 對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為 常應(yīng)力形狀 02222xy222y222xbyx,a2x,c2y3. 取三次多項(xiàng)式為應(yīng)力函數(shù)= a3x3 + b3x2y + c3xy2+d3y3 0yx, 0 x, yd6y2xy22y322x驗(yàn)證！如知上述梁兩端遭到彎矩M的作用，但不

15、知詳細(xì)分布的方式，那么根據(jù)部分性原理 2h2h22h2h3xdyyd6ydyM33hM2d 圣維南原理圣維南原理 在求解彈性力學(xué)問題時(shí)，應(yīng)力分量、應(yīng)變分量在求解彈性力學(xué)問題時(shí)，應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量等必需滿足區(qū)域內(nèi)的三套根本方程和邊和位移分量等必需滿足區(qū)域內(nèi)的三套根本方程和邊境上的邊境條件，因此，彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物境上的邊境條件，因此，彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題。實(shí)踐中要使邊境條件得到完理方程中的邊值問題。實(shí)踐中要使邊境條件得到完全滿足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理全滿足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化部分邊境放松邊境條件上的應(yīng)力邊境可為簡(jiǎn)化部分邊

16、境放松邊境條件上的應(yīng)力邊境條件提供方便。條件提供方便。 表述表述1：假設(shè)在物體任一小部分上作用一個(gè)平衡力：假設(shè)在物體任一小部分上作用一個(gè)平衡力系，那么該平衡力系在物體內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)力分布僅系，那么該平衡力系在物體內(nèi)所產(chǎn)生的應(yīng)力分布僅局限于該力系作用的附近區(qū)域，在離該區(qū)域的相當(dāng)局限于該力系作用的附近區(qū)域，在離該區(qū)域的相當(dāng)遠(yuǎn)處，這種影響便急劇地減小。這就是圣維南原理，遠(yuǎn)處，這種影響便急劇地減小。這就是圣維南原理，或稱為部分性原理。或稱為部分性原理。 圣維南原理 表述2：假設(shè)把作用在物體部分邊境上的面力，用另一組與它靜力等效即有一樣的主矢量和主矩的力系來替代，那么在力系作用區(qū)域附近的應(yīng)力分布將有顯著的

17、改動(dòng)，但在遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。4. 取四次多項(xiàng)式為應(yīng)力函數(shù) 44342243444yexydyxcyxbxa該函數(shù)代入雙調(diào)和方程后得到 3a4+c4+3e4=0 3444cae444342243444y3caxydyxcyxbxa如今僅以其中的一項(xiàng)為例，即取 34xyd242xy22y422xyd3yx, 0 x,xyd6y3-163-4 3-4 假設(shè)干典型實(shí)例假設(shè)干典型實(shí)例 在工程實(shí)踐中，經(jīng)常是針對(duì)給定的問題進(jìn)展求解的，這就要運(yùn)用半逆解法。 一懸臂梁端部受切向集中力(湊取多項(xiàng)式) 二懸臂梁受均勻分布荷載作用(分析物體受力特點(diǎn)) 三簡(jiǎn)支梁受均布荷載(將資料力學(xué)的一些結(jié)果加以修正) 四三角形

18、水壩(量綱分析法) 半逆解法 所謂半逆解法，即對(duì)于給定的問題，根據(jù)彈性體的幾何外形、受力特點(diǎn)或資料力學(xué)知的初等結(jié)果，假設(shè)一部分應(yīng)力分量或位移分量為知，然后由根本方程求出其他量，把這些量合在一同來湊合知的邊境條件。另外，半逆解法也可以了解為針對(duì)給定的問題，假設(shè)全部的應(yīng)力分量或位移分量作為知，然后校核這些假設(shè)的量能否滿足彈性力學(xué)的根本方程和邊境條件。 一懸臂梁端部受切向集中力一懸臂梁端部受切向集中力設(shè)有圖示懸臂梁，長(zhǎng)為L(zhǎng)，高為h，寬度取一個(gè)單位，在自在端遭到向下的切向分布力作用，合力大小為P，不計(jì)膂力。求它的應(yīng)力和位移。 這是一個(gè)平面應(yīng)力問題. 運(yùn)用湊取冪次不同的多項(xiàng)式作為應(yīng)力函數(shù)。從上一節(jié)可知，

19、對(duì)式3-16所示的應(yīng)力函數(shù)，梁邊境上相應(yīng)的面力與此題的情況大致一樣，獨(dú)一的區(qū)別是比此題懸臂梁上、下外表多了均布切應(yīng)力，為了消除這部分切應(yīng)力，無妨在式3-16的根底上，加上一個(gè)與純剪相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)b2xy.1.設(shè)應(yīng)力函數(shù)xybxyd2342.驗(yàn)證能否滿足雙調(diào)和方程驗(yàn)證能否滿足雙調(diào)和方程 3.應(yīng)力分量應(yīng)力分量 2422xy22y422xyd3byx0 x,xyd6y4.4.邊境條件邊境條件0)( , 0)(2hyxy2hyy而在自在端x=0處，可以利用圣維南原理，放松邊境條件，由于 在x=0正好為零，因此只須寫出 xPyhhxxyd220)(Ph4dhb0hd43b342242342hP2d,hP

20、23b滿足全部方程和邊境條件，即為問題的解，顯然，它與資料力學(xué)結(jié)果是一致的。 5.5.求位移分量求位移分量 23y3x6230 xyh12yhPhPPxy12hJ32822yhGJPyuxvxyEJPyvxyEJPxu)(2)(222xgxyEJPvyfyxEJPuGJPhyGJPyEJPyyfEJPxxxg822)(2)(2222ddddbGJPyEJPyyyfaEJPxxxg22)(2)(222ddddGJPhba82caxEJPxxg6)(3dbyEJPyGJPyyf66)(332822yhGJPxyEJPxyEJPxyyxcaxEJPxxyEJPvdbyEJPyGJPyyxEJPu62

21、66232332其中，a，b，c，d由約束條件以及式j(luò)關(guān)系式確定，而懸臂梁固定端的約束條件并不是獨(dú)一的，假設(shè)： GJPhba82(j)0, 0)()(000ylxylxylxxvvu03232d ,EJPLc ,EJPLaEJPLGJPhb2822EJPLEJxPLEJPxEJPxyvyEJPLGJPhGJPyEJPyEJyPxu326228662223223332梁的軸線的撓度方程由y=0得 EJPLEJxPLEJPxxv326)0 ,(323二懸臂梁受均勻分布荷載作用二懸臂梁受均勻分布荷載作用 圖示懸臂梁的上外表遭到均勻分布的荷載的作用，不計(jì)自重。 這個(gè)問題可經(jīng)過分析物體受力特點(diǎn)來求出應(yīng)力

22、函數(shù)。受橫力彎曲梁內(nèi)的應(yīng)力分量主要分別由彎矩、擠壓力及剪力引起。題設(shè)擠壓力q沿x方向均勻分布，因此，無妨假定擠壓應(yīng)力分量與坐標(biāo)x無關(guān)，即 )(yfy)(22yfx)()()(2)()(2121yfyxfyfxyfyxfx0dy)y(fd2dy)y(fdxdy)y(fdxdy)y(fd2122424414244代入0yyx2x442244422 2242441444dyyfd2dy)y(fd0dy)y(fd0dy)y(fd為了滿足雙調(diào)和方程對(duì)于梁內(nèi)x的一切值都必需成立的要求，只能令 2345223123KyHyy6By10A)y(fGyFyEy)y(fDCyByAy)y(f23452323261

23、0)()(2KyHyyByAGyFyEyxDCyByAyx曾經(jīng)刪去了不影呼應(yīng)力值的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)。)23()23(2622)26()26(2222232223222GFyEyCByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxyyx邊境條件 0)( , 0)(0)( ,)(2222hyxyhyyhyxyhyyq0dy)(0dy)(y0dy)(2h2h0 xxy2h2h0 xx2h2h0 xx2qD,h2q3C, 0B,hq2A3h10qH, 0KGFEx)4hy(J2qhy4hy312qy10hy32J2qJ2yqx22xy33y232xxy與資料力學(xué)結(jié)果一樣，而x比資料力學(xué)結(jié)果

24、添加了一個(gè)修正項(xiàng)，y在資料力學(xué)中是忽略不計(jì)的，當(dāng)梁比較細(xì)長(zhǎng)時(shí)，這些差別是可以忽略的。 三簡(jiǎn)支梁受均布荷載三簡(jiǎn)支梁受均布荷載圖示所求的簡(jiǎn)支梁受均勻圖示所求的簡(jiǎn)支梁受均勻分布荷載作用為例，不計(jì)自分布荷載作用為例，不計(jì)自重。重。將資料力學(xué)的一些結(jié)果加將資料力學(xué)的一些結(jié)果加以修正，以滿足全部的方程以修正，以滿足全部的方程與全部邊境條件，這也是一與全部邊境條件，這也是一條求解的途徑。條求解的途徑。這個(gè)問題按照資料力學(xué)這個(gè)問題按照資料力學(xué)的解為的解為 22xyy22xy4hJ2qx0yx4LJ2q式a中y=0的結(jié)果顯然不滿足邊境條件:也不會(huì)滿足彈性力學(xué)全部根本方程，只能放棄。而將剩下的兩個(gè)應(yīng)力分量寫成普遍

25、的方式來湊取應(yīng)力函數(shù)，設(shè) 22xyy22xy4hJ2qx0yx4LJ2q(a)q)(2hyyyBxAy2x2xyDxyCx22222DxyCxyxyBxAyy322xy22322y3222xx6FCxBxyyxyx2F)x(fCyy3Bxy6FB4yBxAyy邊境條件 0)( , 0)(0)( ,)(2222hyxyhyyhyxyhyyq2222222222)(0)(0)(hhLxxyhhLxxhhLxxqLyyyyddd式1的第一、第三式已滿足(l)223xy2y22223xy4hxhq6hy21hy12q53hy4hyqyx4Lhq6式3-20與資料力學(xué)結(jié)果相比較，只需 是一樣的，而 在資

26、料力學(xué)的解中為零， 的第一項(xiàng)為主要項(xiàng)，第二項(xiàng)為修正項(xiàng)，在細(xì)長(zhǎng)的梁中，修正項(xiàng)占的比例不大，但當(dāng)梁的長(zhǎng)高之比減少時(shí)，修正將變得明顯。3-20 xyyx四三角形水壩四三角形水壩如下圖，水壩截面被看成沿下端伸向無窮，其外形由一個(gè)無量綱的角來確定。平面應(yīng)變問題用量綱分析法來求應(yīng)力函數(shù)。假設(shè)水壩遭到水的壓力和自重的作用，水和壩的密度分別為和1，在線彈性力學(xué)范圍內(nèi)，應(yīng)力分量必然與g和1g成正比，它們的量綱為力長(zhǎng)度-3。假定本問題有多項(xiàng)式解，其函數(shù)方式必為 ),(),(211yxgNyxgN式a所示的應(yīng)力分量的量綱一定是力長(zhǎng)度-2 ，從而可以判別N1，N2必定是x，y的一次冪函數(shù)式?？梢源_定應(yīng)力函數(shù)必為x，y

27、的三次多項(xiàng)式，即取 a3223y6Dxy2Cyx2Bx6A* *3-5 Airy3-5 Airy應(yīng)力函數(shù)的物理意義應(yīng)力函數(shù)的物理意義 存在問題：在解題的過程中找應(yīng)力函數(shù)的盲存在問題：在解題的過程中找應(yīng)力函數(shù)的盲目性較大目性較大 一、艾里應(yīng)力函數(shù)及其一階偏導(dǎo)數(shù)在平面物一、艾里應(yīng)力函數(shù)及其一階偏導(dǎo)數(shù)在平面物體內(nèi)恣意一點(diǎn)上的物理意義體內(nèi)恣意一點(diǎn)上的物理意義 二、采用邊境二、采用邊境 及其導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義來選擇及其導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義來選擇應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù) 一、艾里應(yīng)力函數(shù)的物理意義一、艾里應(yīng)力函數(shù)的物理意義mxlyxmlfmyxlymlfyxynyyxxnx222222不計(jì)膂力dsdycosldsdxsin

28、mxssyyxsxxfyssxyxsyyfnynxdddddddddddd222222BAnyABBAnxABsfxxsfyydd應(yīng)力函數(shù)的物理意義應(yīng)力函數(shù)的物理意義BABByydsfxxdsfyBABxdsfxdsfyBAyBBAxBBAnyABBAnxABsfxxsfyydddyydxxd 例1 單位厚度的薄板受力如下圖，現(xiàn)分別求A及D為起始點(diǎn)時(shí)的邊境上的 及其導(dǎo)數(shù)，以及域內(nèi)的應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力，并進(jìn)展比較。 ABCDxyapbp二、采用邊境二、采用邊境 及其導(dǎo)數(shù)的力學(xué)及其導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義來選擇應(yīng)力函數(shù)意義來選擇應(yīng)力函數(shù)BABByydsfxxdsfyBABxdsfxdsfyBAyBBAxBABC

29、Dxyapbp以A為起始點(diǎn)，令 AB邊：B點(diǎn)：BC邊：C點(diǎn) ABCDxyapbp0AAAyx0, 0, 0yx. 0, 0, 0BBByx.2)(2)(2ybpybybp).(, 0ybpyxABCDxyp(b-y)22p(b-y)222pb22pb22)(21ybp2pb22pb22py22py2xyACDB222py 由以上分析可知，由于起始點(diǎn)的不同，應(yīng)力函數(shù)值亦不一樣，但僅相差的線性項(xiàng)，所以其所求應(yīng)力結(jié)果一樣。 解題步驟 1. 根據(jù)邊境上 及其導(dǎo)數(shù)來選擇應(yīng)力函數(shù)。 2. 代入雙調(diào)和方程。 3. 根據(jù)邊境條件定積分常數(shù)。 4. 由求得的應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量。 5. 由應(yīng)力分量求應(yīng)變分量。 6

30、.由應(yīng)變分量求位移分量。 3-6 平面問題的極坐標(biāo)方程 對(duì)于曲梁、圓筒及扇形構(gòu)件，假設(shè)用直角坐標(biāo)求解，必然帶來求解的難度。如用極坐標(biāo)r，替代直角坐標(biāo)x，y，可以使得求解帶來不少方便。下面要一一建立極坐標(biāo)表示的根本方程。 一平衡微分方程 0Fr2r1r0Frr1rrrrrrr厚度為一個(gè)單位。r，坐標(biāo)的正方向按圖示箭頭方向規(guī)定r由坐標(biāo)原點(diǎn)O向外為正，由x軸正向沿第一象限向y軸正向旋轉(zhuǎn)為正 2d2dsin12dcos二幾何方程 ruruurruurrurrrrr11 3-23第一式易得。3-23ruruurruurrurrrrr11普通是有兩種緣由引起的：1.ur0，u=0 線段AB的伸長(zhǎng)率2.ur

31、=0，u0 rurrurrrddd)(ursu1環(huán)向正應(yīng)變環(huán)向正應(yīng)變r(jià)uruurruurrurrrrr11 表示環(huán)向微段AB向r方向轉(zhuǎn)過的角度切應(yīng)變切應(yīng)變)(rrrursu1 表示徑向微段AC向方向轉(zhuǎn)過的角度ruru參考吳參考吳3-13-1節(jié)節(jié) P34P34式式(d)(d)xvyxyuxy從x軸正向向y軸正向轉(zhuǎn)動(dòng)幾何意義？三物理方程 對(duì)平面應(yīng)變問題，只須將式3-24中的E、分別改成 和 。 3-2421ErrrrrEEE)1 (2)(1)(11四萊維Lvy方程 采取數(shù)學(xué)上的處置 0)(yx22222222222r1rr1ryx0)(r1rr1rr22222五應(yīng)力函數(shù)與雙調(diào)和方程五應(yīng)力函數(shù)與雙調(diào)

32、和方程 可以驗(yàn)證3-26式表示應(yīng)力滿足平衡微分方程 0r1rr1rr1rr1r2222222222r1rr1rr1rr1rr122rr22222r3-26 3-7 平面軸對(duì)稱應(yīng)力問題平面軸對(duì)稱應(yīng)力問題 一、軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移一、軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移 二、厚壁圓筒內(nèi)外壁受均布?jí)毫Χ⒑癖趫A筒內(nèi)外壁受均布?jí)毫?三、曲梁的純彎曲三、曲梁的純彎曲 一、軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移一、軸對(duì)稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移 在工程上經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)構(gòu)件遭到的外力關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱問題，因此可以假設(shè)應(yīng)力函數(shù) 和 無關(guān)，即 ) r (0drdr1drddrdr1drd22220drdrdrdrdrdr2drdr222333444展

33、開式a并在等式兩邊乘以r4，便得到歐拉Euler方程：a0drdrdrdrdrdr2drdr222333444設(shè) ter nr1t or0dtd4dtd4dtd223344DCeBteAt) t (t2t2通解軸對(duì)稱應(yīng)力軸對(duì)稱應(yīng)力 應(yīng)力分量應(yīng)力分量均與均與無關(guān)無關(guān) 與軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位與軸對(duì)稱應(yīng)力對(duì)應(yīng)的位移不一定是軸對(duì)稱的。移不一定是軸對(duì)稱的。 02)ln23(2)ln21 (12222rrCrBrArCrBrArrdddd位移分量： sincos4cossin)1 (2) 1(ln)1 (2)31 ()1 (1KIHrEBruKICrrBrBrrAEurI，K，H與剛體位移有關(guān) 。式3-29

34、證明了應(yīng)力軸對(duì)稱并不表示位移也一定是軸對(duì)稱的，而只需當(dāng)物體的幾何外形和受力情況均是軸對(duì)稱的，位移才是軸對(duì)稱的，而在此時(shí)環(huán)向位移u不論r，為何值都得為零，由式3-29的第二式得到 B=H=I=K=0 在這種情況下，應(yīng)力分量那么為 3-2902222rrrCrACrA02222rrrCrACrA而位移分量為 以上公式適宜于平面應(yīng)力問題，對(duì)于平面應(yīng)變問題，只須讓E1,1替代上述公式中的E， 即可。 3-30 3-31 0)1 (2)1 (1uCrrAEur二、厚壁圓筒內(nèi)外壁受均布?jí)毫Χ?、厚壁圓筒內(nèi)外壁受均布?jí)毫?調(diào)查內(nèi)徑為2a、外徑為2b的很長(zhǎng)圓筒，在圓筒內(nèi)外壁分別遭到均勻分布?jí)毫1和q2的作用。

35、 幾何外形與受力都關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱。 平面應(yīng)變問題。邊境條件 21)(,)(qqbrrarr02222rrrCrACrA3-30)(2,)(222221221222abbqaqCabqqbaA022221221222222222122122222rrrabqbqarqqabbaabqbqarqqabbaq2=0，圓筒只受內(nèi)壁壓力時(shí) 22221222221211rbabqarbabqar0r0三、曲梁的純彎曲三、曲梁的純彎曲 圖示曲梁，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，兩端受彎矩M的作用。 由于梁的每一個(gè)徑向截面遭到的彎矩都是M，顯然屬于應(yīng)力軸對(duì)稱問題，但曲梁的幾何外形不對(duì)稱于O點(diǎn)，位移分量是非軸對(duì)稱的

36、。0C2) rln23(BrAC2) rln21 (BrArr22r邊境條件 0)( , 0)(0)( , 0)(brrbrrarrarrMrrrbabadd, 0)lnln(2)(2ln422222222aabbabNMCabNMBabbaNMA222222ln4)(abbaabN0lnlnln4lnlnln4222222222222rrrabraabrbabrbaNMraarbbabrbaNM求位移分量角從曲梁的某一端量起 0ru, 0)u(, 0)u(000rr0rr0rr0r3-8 圓孔孔邊應(yīng)力集中圓孔孔邊應(yīng)力集中 設(shè)有一個(gè)在設(shè)有一個(gè)在x x方向接受均勻拉伸拉應(yīng)力為方向接受均勻拉伸拉應(yīng)

37、力為的平板，板中有半徑為的平板，板中有半徑為a a的小圓孔如下圖。如的小圓孔如下圖。如今來分析小圓孔對(duì)附近應(yīng)力分布的影響。今來分析小圓孔對(duì)附近應(yīng)力分布的影響。 以極坐標(biāo)來求解。以極坐標(biāo)來求解。 假設(shè)在距圓孔中心間隔為假設(shè)在距圓孔中心間隔為bba的圓周上，的圓周上，小圓孔的影響可以忽略。于是有小圓孔的影響可以忽略。于是有 即即0, 0,xyyx2sin2)()2cos1 (2cos)(brr2brra 式a闡明：圓周b上的應(yīng)力可以分兩個(gè)部分來計(jì)算，最后進(jìn)展疊加。 2sin2)()2cos1 (2cos)(brr2brra 1圓周上受徑向正應(yīng)力，而孔壁徑向應(yīng)力為零，即 0)(,2)(arrbrr2

38、外圓周上遭到隨變化的法向力和切向力的作用 2cos2)(brr2sin2)(brr2cos) r (f設(shè)0)1(2)1(22222rrrrara0dr) r (dfr9dr) r (fdr9dr) r (fdr2dr) r (fdr2223334442cosDrCBrAr2422sinrD2rC6Br6A2r1r2cosrC6Br12A2r2cosrD4rC6A2r1rr1242r422224222r邊境條件 2sin2)(,2cos2)(0)(, 0)(brrbrrarrarr2sin23122cos312122cos43121222444422224422rarararararararr疊加得 孔邊 3)()(23,2max2cos2, 0而rr3)(KmaxK稱為應(yīng)力集中系數(shù)?？梢宰C明，板條雙向均勻受拉時(shí)，K=2。 3-9 楔形體問題楔形體問題 量綱分析法量綱分析法 一、楔形體頂部受集中力一、楔形體頂部受集中力P P的作用的作用 二、楔形體頂部受力偶二、楔形體頂部受力偶M M的作用的作用 平面問題平面問題 一、楔形體頂部受集中力一、楔形體頂部受集中力P P的作用的作用 P作為沿z方向單位厚度上的力，其量綱應(yīng)為力長(zhǎng)度-1。應(yīng)力分量應(yīng)與P成正比，并和無量綱量，以及r有關(guān)。應(yīng)力函