廣東省屆高考數(shù)學二輪總復習課件第課數(shù)列的遞推關(guān)系與數(shù)列求和

1、專題三 數(shù)列 111 354nnnnaaaaa在數(shù)列中，已知，求數(shù)列的通例項公式將遞推關(guān)系進行適當變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可累加求和得通項，也可直接采用迭代法得切入點： 到通項111111111 ()5()54114551114511. 1545nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 方法 ： 待定系數(shù)法設，則，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，解析：11111121321211223111142 ()5.5554.55411344435515555515311155553 5451.51nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaabbbbbbbbbbbbb

2、ab 方法 ： 除冪法 兩邊同時除以，得令，則111112111111121321123 ()54 .554 16516 516 5.153 16 1 16 516 53 16145nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaabaabaabbbaaaaaaaaaa 方法 ： 構(gòu)造方程組依題意得得令，則，即15. 1n122212311114 ()54554455445(5551)41535451514.nnnnnnnnnnaaaaa 方 法：迭 代 法81由遞推關(guān)系求通項，關(guān)鍵是合理地變形，從而進行轉(zhuǎn)化常用方法有累加法、累乘法、迭代法、待定系數(shù)法和除冪法本例中的四種方法是解決

3、數(shù)列遞推問題的常用方法，需要很好地體會2常用的恒等式有： 11221112112112.nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa；93若將本例的已知條件an+1=5an+4中的4變?yōu)?n,4n等，應怎樣進行求解，請同學們課后思考 1222(2010)122.2221122nnnnnnnananannanaaa深圳二模 已知數(shù)列滿足為正奇數(shù)位正偶數(shù)問數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說明理由；求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通變式項公式 11 111222133 12224422324332432323121211111122222313122135222222228.23533nnaa

4、aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 由，又，數(shù)列不是等差數(shù)列數(shù)列也不是等解：，析比數(shù)列 112222212*12221*2212213222223122(2223122.22)2nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaanaaaannanna NN方法 ： 對任意正整數(shù) ，數(shù)列是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列，從而對，則數(shù)列的通項公式是1112121221 12212*122*22223 222 21223022 2()202 2nnnnnnnnnnnnnnnaaananaaannananan NN方法 ：因為對任意正整數(shù) ，由，得，數(shù)列是每項均為 的常數(shù)列，從而對，數(shù)列

5、的通項公式是1*2222122223213222222231222nnnnnnnnannaaanna N ，數(shù)列是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列 *1111 (2009)1()1.22 (2009)111()2.2 nnnnnnnnnnnnnnanSSa anaaaaSaSanaaaN潮州二模 已知各項都不為零的數(shù)列的前 項和為 ，且，求數(shù)列的通項公式珠海二模 已知正整數(shù)數(shù)列滿足：，其中為數(shù)列的前 項和求數(shù)列的通項公式例11 1 2*nnnnnnnnnaSSnaSSSnnaaS N含有 與 的遞推關(guān)系式，常利用消去 ，轉(zhuǎn)化為只含 的遞推關(guān)系式或消去 轉(zhuǎn)化為只含 的關(guān)系式再進切入點： 行求解 11

6、111111121121212111(2)221.202.221212112212122 .nnnnnnnnnnnnnnnnnnnSa aSaa naSSaaaaaaaaaSaaaannanna ，得，所以數(shù)列的奇數(shù)項組成首項為 ，公差為 的等差數(shù)列，偶數(shù)項組成首項為 ，公差為 的等解析: 差數(shù)列，數(shù)列的通項*()nan nN公式為 1122111222211*112() 1SS12,3,4S Sa11)S.(nnnnnnnnnnnnnnnnnSaSSaSSSSnSSannnnnS N，即，即，為等差數(shù)列又，1由含an與Sn的關(guān)系式求an，通常用如下兩條思路：(1)利用an= 消去Sn，轉(zhuǎn)化為

7、只含an的遞推關(guān)系，再進行求解(2)利用an= 消去an，轉(zhuǎn)化為只含Sn的遞推關(guān)系，再利用an與Sn的關(guān)系求出an.11 1 2*nnSnSSnn N11 1 2*nnSnSSnn N2求通項時，要注意an=Sn-Sn-1成立的條件是n2，nN*，因此，要注意對a1的檢驗 211nnnnnnanSSana 已知數(shù)列的前 項和滿足，變式2，求數(shù)列的 通項公式.-1111122212323123232112112121112121(2)2212221222122212212121 2213 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSaSanaaaaaaaaaaa 解析：，兩式相減得，疊加

8、得經(jīng)檢驗， 也滿足上式 1212*13 (2009)142()11222. nnnnnnnnnaaaann nbbanbnSN湛江二模 數(shù)列中，求 、 的值；設數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前 項和例 1211,2142naal將代入，利用，建立方程組求和 ； 先化簡通項，再根據(jù)通項的特點，選擇相應的求切入點：和方法 142421 111 根據(jù)題意，得，解解析：得 1212122121111.22211111111(1)()()()22334111.11nnnnnnannbnnnnnnnSnnnnn 由知，271數(shù)列求和的常用方法有：(1)公式法：適用于可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列(2)裂項相消法：形如

9、 的數(shù)列常用此法，其中an是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)(3)錯位相減法：適用于形如anbn的數(shù)列，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列此外，還常用倒寫相加法、并項法等2數(shù)列求和方法較多，從分析數(shù)列的通項公式an入手，把握an的特征是解決數(shù)列求和的關(guān)鍵1nnca a *1111(2010)1(0)122(2)232.nnnnnnnnnnnnnSannSmma mmaaqf mbbabf bnnbnTbNN廣州調(diào)研 設為數(shù)列的前 項和，對任意的，都有為常數(shù)，且求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；在滿足的條件下，求數(shù)列的前 項和變式3 111111111111.21.0

10、(2)111nnnnnnnnnnnaSmmaanaSSmamam amaammmnammam證明：當時，解得當時，即為常數(shù)，且，解析： 數(shù)列是首項為 ，公比為的等比數(shù)列 1111111*2122.11111111(2)1112112112122()21nnnnnnnnnnnmqfmbambbfbbnbbbbbnnbbnnN由得 ， 即，是 首 項 為， 公 差 為 的 等 差 數(shù) 列 ，即 12341123n-11231234113413122322 21212222221 23 25223221221 23 252232212212 2222 1 22212nnnnnnnnnnnnnnnnn

11、nnnbnnbTbbbbbTnnTnnTnTn 由知，則，即，則， 得，故11.1 22236nn321遞推公式是給出數(shù)列的一種方法遞推公式與通項公式的相互導出，或以遞推公式研究數(shù)列的性質(zhì)是遞推數(shù)列中兩類常見的問題2數(shù)列的遞推式是數(shù)列的另一種表達形式由遞推關(guān)系探求數(shù)列的通項是高考的熱點要注重疊加、疊乘、迭代等解題技巧的訓練3數(shù)列求和的問題需要根據(jù)數(shù)列特點選擇解決方法，必須掌握常用的數(shù)列求和方法但數(shù)列求和往往和其他知識綜合在一起，綜合性較強 *111001.1 A 5050 B 5051C 4950 D 4951nnnaanaanaN在數(shù)列中，當時，則的值為112211100121 111.21

12、00.D4951nnnnnaaaaaaaannn nna 由已知可得令，可得解，故選析： 12.123100 200A.101199B.100201C.101201D.100nnnaana 已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項的和是 12112()12311100111112(1).223102000101101nnann nnna 則數(shù)列的前項的和是解析：3.(2010)(2)2233 nnnn廣州二模 右圖是一個有 層的六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層，第 層每邊有 個點，第 層每邊有 個點， ，第 層每邊有 個點，則這個點陣的點數(shù)共有個212631261 (2)161233.311 nnn

13、nnn第一層有 個點，第 層有 個點，第 層有個點， ，第 層有個點，這個點陣共解有點為 數(shù)析： 114.(2010)332 nnnnaaaaann遼寧卷 已知數(shù)列滿足，則的最小值為 11221122121 3333331.nnnnnnaaaaaaaannnannn，解析： 25663333110( 33)(033)5653632155662.1262nf nnfnf nnnnnf naaaan N設，令，則易得在，上單調(diào)遞增，在 ，上單調(diào)遞減， 當或 時，有最小值，的最小值為 *333212121225.(2010)0() .12113log13nnnnnnnnannanaaaaaaaaaa

14、anSSaa anaN廣州一模 已知數(shù)列滿足對任意的，都有，且求 、 的值；求數(shù)列的通項公式 ；設數(shù)列的前 項和為 ，不等式對任意的正整數(shù) 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍 321123312112211121.0.2.10.nnnaaanaaaaaaaa當時，有由于，當時，有將代入上式，由于，解析： 33312212333312121213211212122()()a()() .nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa由于，則有，得 2112121212211121102().2()(2)1.11111.nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa naaaaaaanaanaaa由于，同樣有，得，由于，即當時都有，數(shù)列是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列，故 213243511232111 11()