廣東省屆高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)課件第課數(shù)列的遞推關(guān)系與數(shù)列求和

1、專題三 數(shù)列 111 354nnnnaaaaa在數(shù)列中，已知，求數(shù)列的通例項(xiàng)公式將遞推關(guān)系進(jìn)行適當(dāng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可累加求和得通項(xiàng)，也可直接采用迭代法得切入點(diǎn)： 到通項(xiàng)111111111 ()5()54114551114511. 1545nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 方法 ： 待定系數(shù)法設(shè)，則，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，解析：11111121321211223111142 ()5.5554.55411344435515555515311155553 5451.51nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaabbbbbbbbbbbbb

2、ab 方法 ： 除冪法 兩邊同時(shí)除以，得令，則111112111111121321123 ()54 .554 16516 516 5.153 16 1 16 516 53 16145nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaabaabaabbbaaaaaaaaaa 方法 ： 構(gòu)造方程組依題意得得令，則，即15. 1n122212311114 ()54554455445(5551)41535451514.nnnnnnnnnnaaaaa 方 法：迭 代 法81由遞推關(guān)系求通項(xiàng)，關(guān)鍵是合理地變形，從而進(jìn)行轉(zhuǎn)化常用方法有累加法、累乘法、迭代法、待定系數(shù)法和除冪法本例中的四種方法是解決

3、數(shù)列遞推問題的常用方法，需要很好地體會(huì)2常用的恒等式有： 11221112112112.nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa；93若將本例的已知條件an+1=5an+4中的4變?yōu)?n,4n等，應(yīng)怎樣進(jìn)行求解，請(qǐng)同學(xué)們課后思考 1222(2010)122.2221122nnnnnnnananannanaaa深圳二模 已知數(shù)列滿足為正奇數(shù)位正偶數(shù)問數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說明理由；求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通變式項(xiàng)公式 11 111222133 12224422324332432323121211111122222313122135222222228.23533nnaa

4、aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 由，又，數(shù)列不是等差數(shù)列數(shù)列也不是等解：，析比數(shù)列 112222212*12221*2212213222223122(2223122.22)2nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaanaaaannanna NN方法 ： 對(duì)任意正整數(shù) ，數(shù)列是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列，從而對(duì)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是1112121221 12212*122*22223 222 21223022 2()202 2nnnnnnnnnnnnnnnaaananaaannananan NN方法 ：因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù) ，由，得，數(shù)列是每項(xiàng)均為 的常數(shù)列，從而對(duì)，數(shù)列

5、的通項(xiàng)公式是1*2222122223213222222231222nnnnnnnnannaaanna N ，數(shù)列是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列 *1111 (2009)1()1.22 (2009)111()2.2 nnnnnnnnnnnnnnanSSa anaaaaSaSanaaaN潮州二模 已知各項(xiàng)都不為零的數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式珠海二模 已知正整數(shù)數(shù)列滿足：，其中為數(shù)列的前 項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式例11 1 2*nnnnnnnnnaSSnaSSSnnaaS N含有 與 的遞推關(guān)系式，常利用消去 ，轉(zhuǎn)化為只含 的遞推關(guān)系式或消去 轉(zhuǎn)化為只含 的關(guān)系式再進(jìn)切入點(diǎn)： 行求解 11

6、111111121121212111(2)221.202.221212112212122 .nnnnnnnnnnnnnnnnnnnSa aSaa naSSaaaaaaaaaSaaaannanna ，得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成首項(xiàng)為 ，公差為 的等解析: 差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)*()nan nN公式為 1122111222211*112() 1SS12,3,4S Sa11)S.(nnnnnnnnnnnnnnnnnSaSSaSSSSnSSannnnnS N，即，即，為等差數(shù)列又，1由含an與Sn的關(guān)系式求an，通常用如下兩條思路：(1)利用an= 消去Sn，轉(zhuǎn)化為

7、只含an的遞推關(guān)系，再進(jìn)行求解(2)利用an= 消去an，轉(zhuǎn)化為只含Sn的遞推關(guān)系，再利用an與Sn的關(guān)系求出an.11 1 2*nnSnSSnn N11 1 2*nnSnSSnn N2求通項(xiàng)時(shí)，要注意an=Sn-Sn-1成立的條件是n2，nN*，因此，要注意對(duì)a1的檢驗(yàn) 211nnnnnnanSSana 已知數(shù)列的前 項(xiàng)和滿足，變式2，求數(shù)列的 通項(xiàng)公式.-1111122212323123232112112121112121(2)2212221222122212212121 2213 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSaSanaaaaaaaaaaa 解析：，兩式相減得，疊加

8、得經(jīng)檢驗(yàn)， 也滿足上式 1212*13 (2009)142()11222. nnnnnnnnnaaaann nbbanbnSN湛江二模 數(shù)列中，求 、 的值；設(shè)數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前 項(xiàng)和例 1211,2142naal將代入，利用，建立方程組求和 ； 先化簡(jiǎn)通項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，選擇相應(yīng)的求切入點(diǎn)：和方法 142421 111 根據(jù)題意，得，解解析：得 1212122121111.22211111111(1)()()()22334111.11nnnnnnannbnnnnnnnSnnnnn 由知，271數(shù)列求和的常用方法有：(1)公式法：適用于可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列(2)裂項(xiàng)相消法：形如

9、 的數(shù)列常用此法，其中an是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)(3)錯(cuò)位相減法：適用于形如anbn的數(shù)列，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列此外，還常用倒寫相加法、并項(xiàng)法等2數(shù)列求和方法較多，從分析數(shù)列的通項(xiàng)公式an入手，把握an的特征是解決數(shù)列求和的關(guān)鍵1nnca a *1111(2010)1(0)122(2)232.nnnnnnnnnnnnnSannSmma mmaaqf mbbabf bnnbnTbNN廣州調(diào)研 設(shè)為數(shù)列的前 項(xiàng)和，對(duì)任意的，都有為常數(shù)，且求證：數(shù)列是等比數(shù)列；設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；在滿足的條件下，求數(shù)列的前 項(xiàng)和變式3 111111111111.21.0

10、(2)111nnnnnnnnnnnaSmmaanaSSmamam amaammmnammam證明：當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，即為常數(shù)，且，解析： 數(shù)列是首項(xiàng)為 ，公比為的等比數(shù)列 1111111*2122.11111111(2)1112112112122()21nnnnnnnnnnnmqfmbambbfbbnbbbbbnnbbnnN由得 ， 即，是 首 項(xiàng) 為， 公 差 為 的 等 差 數(shù) 列 ，即 12341123n-11231234113413122322 21212222221 23 25223221221 23 252232212212 2222 1 22212nnnnnnnnnnnnnnnnn

11、nnnbnnbTbbbbbTnnTnnTnTn 由知，則，即，則， 得，故11.1 22236nn321遞推公式是給出數(shù)列的一種方法遞推公式與通項(xiàng)公式的相互導(dǎo)出，或以遞推公式研究數(shù)列的性質(zhì)是遞推數(shù)列中兩類常見的問題2數(shù)列的遞推式是數(shù)列的另一種表達(dá)形式由遞推關(guān)系探求數(shù)列的通項(xiàng)是高考的熱點(diǎn)要注重疊加、疊乘、迭代等解題技巧的訓(xùn)練3數(shù)列求和的問題需要根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)選擇解決方法，必須掌握常用的數(shù)列求和方法但數(shù)列求和往往和其他知識(shí)綜合在一起，綜合性較強(qiáng) *111001.1 A 5050 B 5051C 4950 D 4951nnnaanaanaN在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，則的值為112211100121 111.21

12、00.D4951nnnnnaaaaaaaannn nna 由已知可得令，可得解，故選析： 12.123100 200A.101199B.100201C.101201D.100nnnaana 已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)的和是 12112()12311100111112(1).223102000101101nnann nnna 則數(shù)列的前項(xiàng)的和是解析：3.(2010)(2)2233 nnnn廣州二模 右圖是一個(gè)有 層的六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層，第 層每邊有 個(gè)點(diǎn)，第 層每邊有 個(gè)點(diǎn)， ，第 層每邊有 個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)共有個(gè)212631261 (2)161233.311 nnn

13、nnn第一層有 個(gè)點(diǎn)，第 層有 個(gè)點(diǎn)，第 層有個(gè)點(diǎn)， ，第 層有個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)陣共解有點(diǎn)為 數(shù)析： 114.(2010)332 nnnnaaaaann遼寧卷 已知數(shù)列滿足，則的最小值為 11221122121 3333331.nnnnnnaaaaaaaannnannn，解析： 25663333110( 33)(033)5653632155662.1262nf nnfnf nnnnnf naaaan N設(shè)，令，則易得在，上單調(diào)遞增，在 ，上單調(diào)遞減， 當(dāng)或 時(shí)，有最小值，的最小值為 *333212121225.(2010)0() .12113log13nnnnnnnnannanaaaaaaaaaa

14、anSSaa anaN廣州一模 已知數(shù)列滿足對(duì)任意的，都有，且求 、 的值；求數(shù)列的通項(xiàng)公式 ；設(shè)數(shù)列的前 項(xiàng)和為 ，不等式對(duì)任意的正整數(shù) 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍 321123312112211121.0.2.10.nnnaaanaaaaaaaa當(dāng)時(shí)，有由于，當(dāng)時(shí)，有將代入上式，由于，解析： 33312212333312121213211212122()()a()() .nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa由于，則有，得 2112121212211121102().2()(2)1.11111.nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa naaaaaaanaanaaa由于，同樣有，得，由于，即當(dāng)時(shí)都有，數(shù)列是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列，故 213243511232111 11()