多元函數(shù)全微分學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)多元函數(shù)(hnsh)全微分全微分第一頁，共34頁。 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)有定義，并設(shè)),(yyxxP 為這鄰域內(nèi)為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差的任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差 ),(),(yxfyyxxf 為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)于自變量改變量對(duì)應(yīng)于自變量改變量yx ,的的全全改變量（全增量）改變量（全增量），記為記為z 全改變?nèi)淖?gibin)量的概念量的概念 即即 z =),(),(yxfyyxxf 第1頁/共33頁第二頁，共34頁。0 x0yx y yx yxyxxyyxyyxxyxfy

2、yxxfzyxxyyxfzyx 000000000000)(),(),(),(.),(,的改變量為的改變量為矩形面積在點(diǎn)矩形面積在點(diǎn)則面積為則面積為例如：設(shè)矩形邊長例如：設(shè)矩形邊長000000),(,),(xyxfyyxfyx 線性主要(zhyo)部分)()(22yxo第2頁/共33頁第三頁，共34頁?？煽杀肀硎臼緸闉榈牡娜母淖冏兞苛吭谠邳c(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)),(),(),(),(000000yxfyyxxfzyxyxfz )( oyBxAz ,有關(guān)有關(guān)而僅與而僅與不依賴于不依賴于其中其中yxyxBA 即即記為記為,dzyBxAdzyx ),(00 oxyx y ),(),(,),(),(

3、0000yxyxfzyBxAyxyxfz在點(diǎn)在點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)可微分可微分在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函數(shù)則稱函數(shù) .全微分全微分22)()(yx第3頁/共33頁第四頁，共34頁。 函函數(shù)數(shù)若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)可可微微分分.y=f(x)在某點(diǎn)處：在某點(diǎn)處： 可導(dǎo)可導(dǎo) 可微連續(xù)可微連續(xù)(linx)z=f(x,y)在某點(diǎn)處：可偏導(dǎo)在某點(diǎn)處：可偏導(dǎo) 可微分可微分(wi fn)連連續(xù)續(xù)連續(xù)連續(xù)(linx)第4頁/共33頁第五頁，共34頁。 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx可可微微分分, 則則函函數(shù)數(shù)在在該該點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù).證：

4、證： 事實(shí)上事實(shí)上),( oyBxAz , 0),(),(limlim0000000 yxfyyxxfzyx 即即),(lim0000yyxxfyx ),(00yxf 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處連續(xù)處連續(xù).1定定理理 22yx . 0, 0, 0, 0)(limlim00 yxoyBxAz 第5頁/共33頁第六頁，共34頁。yyxfxyxfdzyxfyxfyxfzyxyxfzyxyxyx ),(),( ),( ),(),( ,),(20000),(00000000 存存在在，且且的的兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)則則函函數(shù)數(shù)）可可微微分分，在在點(diǎn)點(diǎn)（：如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理)

5、,(),(0000yxfByxfAoyBxAzyx ，）即可微分定義中即可微分定義中 第6頁/共33頁第七頁，共34頁。證：證：如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yxP可可微微分分, 220000 ),( ),(),(yxoyBxAyxfyyxxfz 當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)時(shí)，上上式式仍仍成成立立，此時(shí)此時(shí)| x ,),(),(0000yxfyxxf |),(| xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim00000),(00yxfAx 同理可得同理可得).,(00yxfBy 第7頁/共33頁第八頁，共34頁。y=f(x)在某點(diǎn)處：在某點(diǎn)處： 可導(dǎo)可導(dǎo) 可微可微z=f(x,y)在某

6、點(diǎn)處：在某點(diǎn)處： 可偏導(dǎo)可偏導(dǎo) 可微分可微分(wi fn)例如例如(lr)，.000),(222222 yxyxyxxyyxf第8頁/共33頁第九頁，共34頁。)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 則則2222)()()()(yxyxyxyx),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 第9頁/共33頁第十頁，共34頁。說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)(do sh)存在并不能保證全存在并不能保證全 微分存在，微分存在，證：證：),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(0000yyxfyyxxf ),(),(0000yxfyyxf.

7、 ),( ,),(),( ),( ),(30000可可微微分分在在點(diǎn)點(diǎn)則則函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：如如果果函函數(shù)數(shù)定定理理yxfyxyxfyxfyxfzyx 第10頁/共33頁第十一頁，共34頁。),(),(0000yyxfyyxxf xyyxxfx ),(010 )10(1 xxyxfx 100),( （依偏導(dǎo)數(shù)（依偏導(dǎo)數(shù)(do sh)的連的連續(xù)性）續(xù)性）且且當(dāng)當(dāng)0, 0 yx時(shí)時(shí)，01 .同理同理),(),(0000yxfyyxf ,),(200yyyxfy ),(),(lim000000yxfyyxxfxxyx 100010),(),( yxfyyxxfxx且且當(dāng)當(dāng)0,

8、 0 yx時(shí)時(shí)，02 .（無窮?。o窮小）第11頁/共33頁第十二頁，共34頁。xxyxfx 100),( yyyxfy 200),( z 212121 yxyx, 00 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處可可微微 22yx . 0, 0, 0yx 全微分記為全微分記為注：習(xí)慣上記注：習(xí)慣上記,dyydxx yyxfxyxfdzyx),(),(上的全微分記為上的全微分記為在區(qū)域在區(qū)域上可微，函數(shù)上可微，函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域則稱函數(shù)則稱函數(shù)）都可微，）都可微，上每一點(diǎn)（上每一點(diǎn)（在定義域在定義域如果函數(shù)如果函數(shù)DfDfyxDyxfz,),( dyyxfdxyxfdzyxyx),

9、(),( 0000),(00 .dyyzdxxzdz 或或第12頁/共33頁第十三頁，共34頁。.dyyzdxxzdz 全微分全微分(wi fn)的定義可推廣到三元的定義可推廣到三元函數(shù)函數(shù):.),(dzzudyyudxxuduzyxfu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合(fh)疊加原疊加原理理疊加原理也適用于疊加原理也適用于n元函數(shù)元函數(shù)(hnsh)的情況的情況:nxxxndxfdxfdxfduxxxfun 212121),(第13頁/共33頁第十四頁，共34頁。例例 1

10、1 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyez 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 2(處的全微分處的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分(wi fn)第14頁/共33頁第十五頁，共34頁。例例 2 2 求函數(shù)求函數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)，當(dāng)4 x， y，4 dx， dy時(shí)的全微分時(shí)的全微分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 第15頁/共33頁第十六頁，共34頁。例例 3 3 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)yzeyxu 2sin的全微

11、分的全微分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分(wi fn).)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 第16頁/共33頁第十七頁，共34頁。例例4 4 試證函數(shù)試證函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf 在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(1)連續(xù)連續(xù); (2)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在; (3)偏導(dǎo)數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(不連續(xù)不連續(xù); (4)f在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微. 思路思路：按有關(guān)定義討論；對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)需分：按有關(guān)定義討論；對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0

12、(),( yx討論討論. 第17頁/共33頁第十八頁，共34頁。證證則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 0 ),0 , 0(f 故故函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn))0 , 0(連續(xù)連續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf 0211sin0,0,2222 yxyxxyyxxy(1)(2)第18頁/共33頁第十九頁，共34頁。當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時(shí)，時(shí)， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時(shí)時(shí),),(l

13、im)0 , 0(),(yxfxxx ,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在(cnzi).(3)所以所以),(yxfx 在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù). 第19頁/共33頁第二十頁，共34頁。)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微 . 0)0,0( df(4)第20頁/共33頁第二十一頁，共34頁。多元函數(shù)連續(xù)多元函數(shù)連續(xù)(linx)、可導(dǎo)、可、可導(dǎo)、可微的關(guān)系微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)第21頁/共33頁第二十二頁，共34頁

14、。都較小時(shí)，有近似等式都較小時(shí)，有近似等式連續(xù)，且連續(xù)，且個(gè)偏導(dǎo)數(shù)個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩的兩在點(diǎn)在點(diǎn)當(dāng)二元函數(shù)當(dāng)二元函數(shù)yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(00.),(),(0000yyxfxyxfdzzyx 也可寫成也可寫成).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx ),(),(0000yxfyyxxfz yyxfxyxfyxfyyxxfyx ),(),(),(),(00000000 00,yyyxxx 令令第22頁/共33頁第二十三頁，共34頁。.cm, 4 cm, 20 cm, 1 . 0 值值求容器外殼體積的近似求容器外殼體積的

15、近似半徑為半徑為內(nèi)內(nèi)內(nèi)高為內(nèi)高為外殼厚度均為外殼厚度均為容器，容器的容器，容器的例：有一無蓋的圓柱形例：有一無蓋的圓柱形解：設(shè)圓柱形容器解：設(shè)圓柱形容器(rngq)的半徑為的半徑為r,高高為為h，hrV2 外殼體積可看作容器體積外殼體積可看作容器體積V在在r=4,h=20時(shí)，時(shí)，.1 . 0分分近近似似計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)的的全全增增量量，可可用用全全微微 hr連連續(xù)續(xù)，2,2rhVrhrV hrrrhhhVrrVdVV 22 )cm(6 .171 . 041 . 0204232 則圓錐體的體積則圓錐體的體積(tj)為為第23頁/共33頁第二十四頁，共34頁。例例4.)99. 1()02. 2(322

16、的近似值的近似值計(jì)算計(jì)算 .01. 002. 0)2 , 2(),()99. 1()02. 2(,),(:322322時(shí)的函數(shù)值時(shí)的函數(shù)值、處、自變量有增量處、自變量有增量在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)可看作可看作則則設(shè)設(shè)解解 yxyxfyxyxf,0)(32),(,)(32),(2232223222上上處處處處連連續(xù)續(xù)在在 yxyxyyxfyxxyxfyx,31)2 , 2(,31)(32)2 , 2()2,2(3222 yxfyxxf第24頁/共33頁第二十五頁，共34頁。)01. 0()2 , 2(02. 0)2 , 2()2 , 2()99. 1 ,02. 2( yxffff0033. 201. 0

17、3102. 0312 .0033. 2)99. 1()02. 2(322 即即第25頁/共33頁第二十六頁，共34頁。例例 5 5 計(jì)算計(jì)算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式由公式(gngsh)得得02. 0004. 021)04. 1(02. 2 .08. 1 ).)(,()(,(),(),(00000000yyyxfxxyxfyxfyxfyx 第26頁/共33頁第

18、二十七頁，共34頁。多元函數(shù)全微分多元函數(shù)全微分(wi fn)的概的概念；念；多元函數(shù)多元函數(shù)(hnsh)全微分的求法；全微分的求法；多元函數(shù)連續(xù)多元函數(shù)連續(xù)(linx)、可導(dǎo)、可微、可導(dǎo)、可微的關(guān)系的關(guān)系（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）第27頁/共33頁第二十八頁，共34頁。思考題思考題第28頁/共33頁第二十九頁，共34頁。一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyez , ,則則 xz_； yz_； dz_._.2 2、 若若)ln(222zyxu , ,則則 du_._.3 3、 若函數(shù)若函數(shù)xyz , ,當(dāng)當(dāng)1, 2 yx, ,2 . 0, 1 . 0

19、 yx時(shí)時(shí), ,函數(shù)的全增量函數(shù)的全增量 z_;_;全微分全微分 dz_._.4 4、 若 函 數(shù)若 函 數(shù)yxxyz , , 則則xz對(duì)對(duì)的 偏 增 量的 偏 增 量 zx_;_; xzxx0lim _. _.第29頁/共33頁第三十頁，共34頁。二、二、 求函數(shù)求函數(shù))1ln(22yxz 當(dāng)當(dāng), 1 x 2 y時(shí)的全微分時(shí)的全微分. .三、三、 計(jì)算計(jì)算33)97. 1()02. 1( 的近似值的近似值. .四、四、 設(shè)有一無蓋園柱形容器設(shè)有一無蓋園柱形容器, ,容器的壁與底的厚度均為容器的壁與底的厚度均為cm1 . 0，內(nèi)高為，內(nèi)高為cm20, ,內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為cm4, ,求容器外殼體求容器外殼體積的近似值積的近似值. .五、五、 測得一塊三角形土地的兩邊邊長分別為測得一塊三角形土地的兩邊邊長分別為m1 . 063 和和m1 . 078 , ,這兩邊的夾角為這兩邊的夾角為0160 . .試求三角形面積試求三角形面積的近似值的近似值, ,并求其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差并求其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差. .六六、利利用用全全微微分分證證明明: :乘乘積積的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差等等于于各各因因子子的的相相對(duì)對(duì)誤誤差差之之和和; ;商商的的相相對(duì)對(duì)誤