2013年高考湖北理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù)學(xué)(理科)一、選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求(1)【2013年湖北，理1，5分】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=2(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()1+i(C)第三象限(A)第一象限答案】D【解析】z=互=i(1-i)=1+i，則Z=1-i，其對應(yīng)點Z(1,-1)位于第四象限，故選D.1+i(2)【2013年湖北，理2,5分】已知全集為R，集合A=x|)x1，B=x|x2-6x+80，則APCB=()2R(C)x|0x4(D)x|0x4(B)第二象限(D)第四象限(A)x|x0【答案】

2、C(B)x|2x422AQCb=x|0x4，故選C.R【解析】Tx2-6x+80ox4，/10)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是()(C)n(D)5n(A)蘭(B)n126答案】B【解析】因為y=3cosx+sinx(xgR)可化為y=2cos(x)(xgR)，將它向左平移一個單位得66=2cosx，其圖像關(guān)于y軸對稱，故選B.【2。13年湖北，理5,5分】已知00子，則雙曲線C：x2y2cc=1與C:1cos20sin202x2=1的sin20sin20tan20()(A)實軸長相等答案】D【解析】對于雙曲線C，有c2=cos20+sin20=1,1(B)虛軸長相等(C

3、)焦距相等(D)離心率相等有c2=sin20(1+tan20)=sin20-sec20=tan20,e=.對于雙曲線C,acos02ctan01e=asin0cos0B(1,2)、(B)字即這兩雙曲線的離心率相等，故選D.(6)【2013年湖北，理6，5分】已知點A(-1,1)、影為()3逅(A)注2答案】AC(-2,-1)、D(3,4)，則向量AB在CD方向上的投(D)-呼【解析】AB=(2,1),CD=(5,5),則AB在CD方向上的射影為ABcos0=AB*CD(2,1)*(5,5)*5+1X53丘CD52+52故選A(7)【2013年湖北，理7,5分】一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到

4、緊急情況而剎車，以速度v(t)=7-3t+竺1+1(t的單位：s,v的單位：m/s)行駛至停止.在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位:111)是()(B)8+2513s，(A)1+251n5(C)4+25ln5(D)4+50ln2【答案】C【解析】令v(t)=7-3t+上丄=0,解得t=4或t=-(不合題意，舍去)即汽車經(jīng)過4秒中后停止，在此期間汽1+13車?yán)^續(xù)行駛的距離為J4v(t)dt=J4(7-3t+半001+1)dt=(7t-12+25ln(1+1)24=4+25ln5,丿08)【2013年湖北，理8，5分】一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為V

5、,V,12面兩個簡單幾何體均為多面體，則有(A)(C)答案】C【解析】顯然VV，所以B不正確.又V=(22+12+2X1)=7兀，V=兀1-22=2兀，32V VVV1243V VVV2134V，3)B)D)V，上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下4V VVV1324V VVV2314故選C.13128V=-(42+22+4X2)=，從而VVVV，故選C.4332134理9，5分】如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體.經(jīng)過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)()(A)126125答案】B【解析】125個同樣大小的小正方體的面數(shù)共有1

6、25x6=750,涂了油漆的面數(shù)有25x6=150.每一個小正方體的一個面涂漆的頻率為口=丄，則它的涂漆面數(shù)為X的均值E(X)=丄x75055(10)【2013年湖北，理10,5分】已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點x,x(xx)，則()1212f(x)-22f(x)-12223V=23=8，39)【2013年湖北，A)f(x)0，1C)f(x)0，1(B)6c1687(D)75f(x)-122f(x)-122(B)f(x)0,1(D)f(x)0,1答案】D【解析】f(x)=lnx+1-2ax，由f(x)=x(lnx-ax)由兩個極值點，得f(x)=0有兩個不等的實數(shù)解

7、，即lnx=2ax-1有兩個實數(shù)解，從而直線y=2ax-1與曲線y=lnx有兩個交點.過點(0,-1)作y=lnx的切線，設(shè)切點為(x,y)，則切線的斜率k=丄，切線方程為y=丄x-1.切點在切線上，則y=九-1=0,00xx0x又切點在曲線y=lnx上，則lnx=0nx=1，即切點為(1,0)，切線方程為y=x-1.再由直線00y=2ax-1與曲線y=lnx有兩個交點，知直線y=2ax-1位于兩直線y=0和y=x-1之間，如圖所示，其斜率2a滿足：02a1，解得0a1.則這函數(shù)的兩個極點x,x滿足0x1x,所以21212f(x1)f(1)f(x2)，而f(1)=-ae(-,0)，即f(x1)

8、-af(x?)，所以f(x)(x+2y+3z)2當(dāng)且僅當(dāng)y=；時等號成立，此時y=2x，311|2|3石.皿2皿3肩.6皿3皿z=3x.x2+y2+z2=1，x+2y+3z=*14，x=，y=，z=.x+y+z=14丿141414714)【2013年湖北，理14，5分】古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)如三角形數(shù)1，3，6，10,，第n個三角形數(shù)為n(n+“=-n2+丄n.記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(k3)，以下列出了部分k-22邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式:三角形數(shù)N(n,3)=-n2+-n，正方形數(shù)N(n,4)=n，五邊形數(shù)2231n(n,5)=2n2-2n，六邊形數(shù)N(n,6

9、)=2n2-n，可以推測N(n,k)的表達(dá)式，由此計算N(10,24)=.【答案】1000【解析】由題中數(shù)據(jù)可猜想：含n2項的系數(shù)為首項是1，公差是1的等差數(shù)列，含n項的系數(shù)為首項是丄，公2 221 11|1(11k一24一k差是一的等差數(shù)列，因此N(n，k)=-+(k-3)n+-+(k-3)n=n2+n.2 L22L2A2丿22故N(10,24)=11n2-10n=11x102-10x10=1000.一)選考題(請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑，如果全選，則按第15題作答結(jié)果計分.)(15)2013年湖北，理15,5分】(選

10、修4-1：幾何證明選講)如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E.若AB=3AD，則CE的值為.EO答案】8【解析】根據(jù)題設(shè)，易知OC=AO=3DO，RtAODEsRtADCEsRtAOCD,化D=CD=C=3，OEDEOD1即CO=3OD=9OE，在RtAODE中，DE2=DO2-OE2=9OE2-OE2=8OE2，在RtACDE中，CE2=CD2DE2=9DE2DE2=8DE2=64OE2，即卩CE2=64，.:CE=8EO2EO(16)【2013年湖北，理16,5分】(選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為Qxfcostp(申為

11、參數(shù)，ab0).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為y=bsin9極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為psin(0+4)=呂m(m為非零常數(shù))與p=b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為.【答案】空3【解析】橢圓C的方程可以化為三+蘭=1,圓O的方程可化為x2+y2=b2,直線l的方程可化為x+y=m,因a2b2為直線l經(jīng)過橢圓的焦點，且與圓O相切，則c=m,b=丄m，a=2T+m2年m，所以橢圓的離心率cm6a76m32三、解答題：共6題，共75分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程(17)2013年湖北，理17,11

12、分】在厶ABC中，角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c.已知cos2A-3cos(B+C)=1.(1) 求角A的大??；(2) 若厶ABC的面積S=53,b=5,求sinBsinC的值.解：(1)由cos2A一3cos(B+C)=1，得2cos2A+3cosA一2=0，即(2cosA一1)(cosA+2)=0，解得cosA=或2cosA=-2(舍因為0An，所以A=.3(2)由S=1bcsinA=1bc-3=、3bc=53,得bc=20.又b=5,知c=4.由余弦定理故a=.2224又由正弦定理得sinBsinC=sinA-sinA=竺sin2A=20x3=5.2147(18)【2013年湖北，

13、理18,12分】已知等比數(shù)列a滿足：IaaI=10,2(1) 求數(shù)列a的通項公式；n(2) 是否存在正整數(shù)m，使得丄+丄+丄1?若存在，aaa12m解:(1)設(shè)等比數(shù)列a的公比為q,則由已知可得卩進(jìn)=125n11aqaq2|=1011a2aaa=125123求m的最小值；若不存在，說明理由a=fa=513，或Q1q=3L=-1故a=5-3n1，或a=5-(1)n1.n3n5131131(2)若a=5-3n-1，則-=3(1)n1，故丄是首項為3，公比為丄的等比數(shù)列,n3a53a53nn3151(3)m919=1(；)m1若a=(5)(1)n-1，10310nn-1,從而丄=an=1n貝卩丄=(

14、1)n-1,a5n-1-50,m=2k1(kgN)m1“+，故一1.m=2k(kgN)n=1an+故丄是首項為，公比為1的等比數(shù)列，從而丄=a5ann=1n綜上，對任何正整數(shù)m，總有T丄1成立.aaaan=1n12m(19)【2013年湖北，理19,12分】如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A,B的點，直線PC丄平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點.(1) 記平面BEF與平面ABC的交線為1，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；1(2) 設(shè)(1)中的直線1與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足DQ二丄CP.記直線PQ2與平面ABC所成的角為e，異面直線PQ與EF所成的角為d，

15、二面角E-1-C的大小為卩，求證:sin0二sindsin卩.解：(1)直線1平面PAC，證明如下：連接EF，因為E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點，所以EFAC.又EF平面ABC，且ACu平面ABC，所以EF平面ABC.而EFu平面BEF，且平面BEF平面ABC=1，所以EF1.因為19平面PAC，EFu平面PAC，所以直線1平面PAC.(2)解法一：(綜合法)，一如圖，連接BD，由(1)可知交線1即為直線BD，且1AC.因為AB是OO的直徑，所以AC丄BC，于是1丄BC.已知PC丄平面ABC，而1u平面ABC，所以PC丄1.而PCBC=C，所以1丄平面PBC.連接BE，BF，因為BFu平面PBC

16、，所以1丄BF.11故ZCBF就是二面角E-1-C的平面角，即ZCBF二卩.由DQ二CP，作DQCP，且DQ二一CP.22連接PQ，DF，因為F是CP的中點，CP=2PF，所以DQ二PF，從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQFD.連接CD，因為PC丄平面ABC，所以CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影，故ZCDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即ZCDF=0.又BD丄平面PBC，有BD丄BF，知ZBDF為銳角，故ZBDF為異面直線PQ與EF所成的角，即ZBDF=d，于是在RtDCF，CFBFcfRtFBD，RtBCF中，分別可得sin0=，sind=，sin卩二，DFDFBFCFbfcf從而sin

17、dsin卩=sin0，即sin0=sindsin卩.BFDFDF解法二：(向量法)11如圖，由DQ=-CP，作DQCP，且DQ=-CP.連接PQ，EF，BE，BF，BD,22由(1)可知交線1即為直線BD.以點C為原點，向量CA,CB,CP所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CA=a,CB=b,CP=2c，則有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c)，E(丄a,0,c),F(0,0,c).21xb2+c2所以cosd=1FEQPI于是FE=(一a,0,0)，QP=(a，b,c)，BF=(0,b,c),，從而sind=v1

18、一cos2d=-a2+b2+c2ImI丨QPIa2+b2+c2又取平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1)，可得sin0=1mQPI設(shè)平面BEF的一個法向量為n=(x,y,z)，所以由，可得2處取n=(0,c,b).-by+cz=0于是IcosPI=從而sin卩=；1cos2卩=b2+c2故sinasin卩:b2+c2va2+b2+c2=sin0即sin0=sinasinp.(20)【2013年湖北，理20,12分】假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p.0(1) 求的值；(參考數(shù)據(jù)：若XN(p,Q2

19、)，有p(p_QXWp+Q)=0.6826P(p_2qXp+2q)=0.9544,P(p_3qXp+3q)=0.9974)；(2) 某客運公司用A、B兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次.A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛.若每天要以不小于p的0概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？解：(1)由于隨機變量X服從正態(tài)分布N(800,502)，故有p=800，q=50，P(70

20、0X900)=0.9544.由正態(tài)分布的對稱性，得p=P(X900)=P(X800)+P(800X900)=1+1P(700X900)=0.9772.022(2)設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x,y輛，貝9相應(yīng)的營運成本為1600x+2400y.依題意，x,y還需滿足：x+y21,yx+7,P(Xp.0由(1)知，p=P(X900)，故P(Xp等價于36x+60y900.00x+y21于是問題等價于求滿足約束條件r900x,y0,x,yeNz=1600x+2400y達(dá)到最小的x,y.作可行域如圖所示，可行域的三個頂點坐標(biāo)分別為P(5,12),Q(7,14),R(15,6)由圖可知，當(dāng)直線z=16

21、00x+2400y經(jīng)過可行域的點P時，直線z=1600x+2400y在y軸上截距最小，即z取得最小值.故應(yīng)配備A型車5輛、2400(21)【2013年湖北，理21，14分】如圖，已知橢圓C與C的中心在坐標(biāo)原點O，長軸均為MN12且在x軸上，短軸長分別為2，2n(mn)，過原點且不與x軸重合的直線l與C，C12的四個交點按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.記X=，BDM和厶ABN的面nB型車12輛.積分別為S和S.12(1) 當(dāng)直線l與y軸重合時，若S=XS，求九的值;12(2) 當(dāng)九變化時，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線1，胚z0/NX解：依題意可設(shè)橢圓C和C的方程分別為C:蘭+蘭=1,121

22、a2m2使得S=XS?并說明理由.12+=1其中amn0,a2n2九=1.n(1)解法一:如圖，若直線l與y軸重合，即直線l的方程為x=0，則S1=bdI-IOMI=2aIbdLS=丄丨AB|-1ON|=1a|AB|，所以補=.在C,和C2的方程中分別令x=0,2SIABI122IBDIIy一yIm+nX+1y=n，y=_m，于是=bd=BDIABIIy_yIm_nX_1AB若務(wù)=X，則耳=X,化簡得X2_2X_1=0.由X1，可解得九=邁+1.SX_1故當(dāng)直線l與y軸重合時，若S=XS，則X=+1.12可得y=m，A0pcB解法二:如圖，若直線l與y軸重合，則IBDI=IOBI+1ODI=m

23、+n,IABI=IOAI-1OBI=mn；S=IBDI-1OM1=丄aIBDI，S=丄IABI-1ONIaIABI.所以=%+=_12卄S右一1=九，S2SIABIm一n2可解得尢=72+1.入一12則耳=X，化簡得尢2一2尢一1=0.由尢1,尢-1故當(dāng)直線l與y軸重合時，若S=XS，則尢=占+1.(2)解法一：如圖，若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線1,使得S=XS.根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線l：12y=kx(k0)，點M(a,0),N(a,0)到直線l的距離分別為d,d，貝V12Iak一01ak,Iak一01ak因為d=.,d=，所以d=d.1V1+k2V1+k22V1+k2y1+k21211SIbd

24、I又S=IBDId,S=IABId，所以-r=X，即IBDI=XIABI.121222SIABI2由對稱性可知IABI=ICDI，所以IBCI=IBDIIABI=(九1)IABI,IADI=IBDI+1ABI=(九+1)IABI,于是型=i!將l的方程分別與C,c2的方程聯(lián)立,可求得x=/,x=IBCI入一1A-、：a2k2+m2Bn，可得t豐1，于是由可解a2k2+m2九(九一1)九(九一1)得k2=n22t2一.因為k豐0，所以k20.于是式關(guān)于k有解，當(dāng)且僅當(dāng)n22t2一0，a2(112)a2(112)等價于(t21)(t2丄)0.由尢1，可解得丄t1，即1y1，由尢1，解得尢1+爲(wèi),九2九九九(九一1)所以當(dāng)1x0),I-ak一01ak,Iak一01ak解法二：akdIak一01A+k21+k/2x0,m2(xa2m2ABA3)0，可解得1A0，所以由