(完整版)梯度、散度、旋度的關(guān)系

1、梯度gradient設(shè)體系中某處的物理參數(shù)(如溫度、速度、濃度等)%w,在與其垂直距離的dy處該參數(shù)為w+dw，則稱為該物理參數(shù)的梯度，也即該物理參數(shù)的變化率。如果參數(shù)為速度、濃度或溫度，則分別稱為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度。在向量微積分中，標(biāo)量場的梯度是一個向量場。標(biāo)量場中某一點上的梯度指向標(biāo)量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴(yán)格的說，從歐氏空間Rn到R的函數(shù)的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情況。在單變量的實值函數(shù)的情況，梯度只是導(dǎo)數(shù)，或者，對于一個線性函數(shù)，也就是線的斜率。梯度一詞有時用于斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜

2、程度?？梢酝ㄟ^取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數(shù)值有時也被成為梯度。在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點P(x,y)eD，都可以定出一個向量(6f/x)*i+(6f/y)*j這向量稱為函數(shù)z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作gradf(x,y)類似的對三元函數(shù)也可以定義一個：(8f/x)*i+(8f/y)*j+(8f/z)*k記為gradf(x,y,z)梯度的漢語詞義，用法。現(xiàn)代漢語詞典附：新詞新義梯度1.坡度。2. 單位時間或單位距離內(nèi)某種現(xiàn)象(如溫度、氣壓、密度、速度等)變化的程度。3. 依照一定次序分層次地：我國經(jīng)

3、濟發(fā)展由東向西推進(jìn)。4. 依照一定次序分出的層次：考試命題要講究題型有變化，難易有。散度散度(divergence)的概念：在矢量場F中的任一點M處作一個包圍該點的任意閉合曲面S，當(dāng)S所限定的體積AV以任何方式趨近于0時，則比值少FdS仏V的極限稱為矢量場F在點M處的散度，并記作divF由散度的定義可知，divF表示在點M處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量F的通量，所以divF描述了通量源的密度。divF=F氣象學(xué)：散度指流體運動時單位體積的改變率。簡單地說，流體在運動中集中的區(qū)域為輻合，運動中發(fā)散的區(qū)域為輻散。用以表示的量稱為散度，值為負(fù)時為輻合，此時有利于天氣系統(tǒng)的的發(fā)展和增強，為正時表示輻散，

4、有利于天氣系統(tǒng)的消散。表示輻合、輻散的物理量為散度。微積分學(xué)-多元微積分-多元函數(shù)積分：設(shè)某量場由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x.y,z)j+R(x,y,z)k給出，其中P、Q、R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，工是場內(nèi)一有向曲面，n是工在點(x,y,z)處的單位法向量,則!AndS叫做向量場A通過曲面工向著指定側(cè)的通量,而8P/8x+8Q/8y+8R/8z叫做向量場A的散度，記作divA，即divA=8P/8x+8Q/8y+8R/8z。上述式子中的8為偏微分(partialderivative)符號。散度(divergence)的運算法則：div(aA+PB)=adivA+卩divB(a,

5、卩為常數(shù))div(uA)=udivA+Agradu(u為數(shù)性函數(shù))旋度設(shè)有向量場A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐標(biāo)軸上的投影分別為8R/8y-8Q/8z，8P/8z-8R/8x，8Q/8x-8P/8y的向量叫做向量場A的旋度，記作rotA或curlA，即rotA=(8R/8y-8Q/8z)i+(8P/8z-8R/8x)j+(8Q/8x-8P/8y)k式中的8為偏微分(partialderivative)符號。行列式記號旋度rotA的表達(dá)式可以用行列式記號形式表示：若A=Axi+Ayj，則rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j若A=Axi

6、+Ayj+Azk則rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k為一向量。向量場A,數(shù)量場u稱為漢密爾頓算子，算法不表示了，符號打不出來。=?=,稱為拉普拉斯算子。梯度散度A旋度首先梯度和旋度是向量場，而散度是標(biāo)量。梯度針對一個數(shù)量場（勢場），衡量一個數(shù)量場的變化方向。梯度為0說明該勢場是個等勢場。散度針對一個向量場，衡量一個向量場的單位體積內(nèi)的場強。散度為0說明這個場沒有源頭。旋度針對一個向量場，衡量一個向量場的自旋。旋度為0說明這個場是個保守場（無旋場），保守場一定是某個數(shù)量場的梯度場。三者的關(guān)系：注意各自針對的對象不同。1梯度的旋度2u=0梯度場的旋度為0，故梯度場是保守場。例如重力場。2梯度的散度2u=Au3散度的梯度（A）4旋度的散度(xA)=0旋度場的散度為0，故旋度場是無源場。例如磁場，磁場本身是其他場的旋度場。5旋度的旋度x(XA)=(A)-2A=(A)-A旋度場的旋度也要說明一下，勻強場是保守場，因此絕對的勻強磁場是不可能的，磁場本身也是有旋場。1. 已知原向量