2021 “雙一流”高校自主招生物理好題精選全解全析 第04章 拋體與萬有引力問題(解析版)

1、“雙一流”高效自主招生好題精選4.拋體與萬有引力問題口斜拋運(yùn)動由運(yùn)動合成原理，可以把斜拋運(yùn)動看作兩個(gè)直線運(yùn)動的合成。常見的兩種分解方法是:(1) 如圖所示，以拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，則斜拋運(yùn)動的方程的分量形式為vx=vocos0,=%sinI，x=v0cos0t,y=v°sin0tggt2,表明，斜拋運(yùn)動可看成沿x軸方向速度為V0cos0的勻速直線運(yùn)動和沿y軸方向初速度為v0sin0、加速度為g的豎直拋體運(yùn)動。2sin20令Vy=0，最大咼度H=2g。K2sin20令y=0,最大水平射程L="設(shè)0、o2為同一射程的兩個(gè)拋射角，顯然有關(guān)系0+02=n。(

2、2) 在討論沿斜面向上(或向下)物體的斜拋運(yùn)動時(shí)，通常令直角坐標(biāo)系的、尹軸分別指向沿斜面向上(或向下)和垂直于斜面向上的方向更為簡便,此時(shí)x、y軸方向的運(yùn)動均為勻變速直線運(yùn)動。2速度關(guān)聯(lián)(1)對于用不可伸長的繩連接的質(zhì)點(diǎn):通過分解成沿繩方向和垂直繩方向的兩個(gè)分運(yùn)動。在同一時(shí)刻兩質(zhì)點(diǎn)沿繩方向的分運(yùn)動的速度大小相等,加速度大小也相等。(2)固定在同一剛體上的兩質(zhì)點(diǎn)：通常將它們的運(yùn)動分解為沿它們連線方向和垂直它們連線方向的兩個(gè)分運(yùn)動。在同一時(shí)刻，它們在沿連線方向的分運(yùn)動的各運(yùn)動學(xué)量大小相等，垂直連線方向上角速度及角加速度相等。(3) 始終保持接觸的兩物體：將兩物體接觸處的運(yùn)動沿接觸面法線方向和切線方

3、向分解，則它們在同一時(shí)刻沿法線方向的分速度相等。(4) 對于線狀物的交叉點(diǎn)：在求兩線狀物的交叉點(diǎn)的速度時(shí)，將兩線狀物的運(yùn)動沿雙方切線方向分解，則交叉點(diǎn)的速度就是兩線狀物沿對方切向分量的矢量和。3.萬有引力定律的兩個(gè)推論(1) 質(zhì)量為m半徑為R的均勻球殼對距球心為尸、質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為0F=Gmm(r<R)r2(r>R)(2) 質(zhì)量為m半徑為R的均勻球體對距球心為r、質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為Gmm<F=r3m亶2（r<R）其中叫”=肓。4萬有引力勢能Gmm質(zhì)量為m半徑為R的均勻球殼對距球心為r（>R）、質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn)，相互作用的引力勢能為Ep=Gmm

4、（r>R）。Gmm對放置在球內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)，相互作用的引力勢能為一常量，等于質(zhì)點(diǎn)放置在球面時(shí)的勢能，即E=-GmRm2（r<R）,就像球體質(zhì)量全部集中在球心一樣。1. （“卓越”自主招生）一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以速度v0運(yùn)動，在Z=0時(shí)開始受到恒力F0作用，速度大小先減小后增大，其最小值為v1=2v0o質(zhì)點(diǎn)從開始受到恒力作用到速度最小的過程中的位移為（）43mv.20-8F0C3mv026mVa2B.04F0=0D/21mv0208F0【答案】D【解析】根據(jù)題述，質(zhì)點(diǎn)做類斜拋運(yùn)動。由質(zhì)點(diǎn)最小值v1=|v0，可知質(zhì)點(diǎn)初速度方向與恒力F0方向夾角F為150°。可把質(zhì)點(diǎn)的初速度沿力F0方向

5、和垂直力F0方向分解，質(zhì)點(diǎn)加速度0=才，沿力F0方向的反方向位移y=（v0s護(hù)=帶。質(zhì)點(diǎn)速度減小到最小值需要時(shí)間&嚴(yán)嚴(yán)=髡,垂直力F0方向位移,=v0cos60°t="瀘。質(zhì)點(diǎn)從開始受到恒力作用到速度最小的過程中的位移為s=第石2=逬嚴(yán),選項(xiàng)D正確。4F08F02. （“華約”自主招生）如圖所示，AB桿以恒定角速度繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動，并帶動套在水平桿OC上的小環(huán)M運(yùn)動。C.先增大后減小D.逐漸減小【答案】Ah【解析】令ZOAB=rnt，則AB=C0藥，環(huán)的速度由M指向C，M相對于AB桿速度為M指向B,桿上的M繞A點(diǎn)做圓周運(yùn)動。所以vM=ABcosst®hCOS2S

6、toM點(diǎn)的加速度aM等于速度對時(shí)間的變化率，所以aM=2(mhCOS3Stsinst。st變大，角速度s不變，加速度變大。3. （浙江大學(xué)自主招生）假定地球?yàn)榫鶆蚯蝮w，其半徑為人°，在地球表面測得重力加速度為g0，設(shè)&為離開地球表面的高度達(dá)h時(shí)的重力加速度。當(dāng)h比坨小得多時(shí)，g和&可能的變化關(guān)系近似式為（有數(shù)學(xué)近似公式：當(dāng)X1時(shí)，（l+x）nul+nx。）（）A.C.B.D.【答案】C【解析】根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有=mg°,GRm.=mgo解得g=g06RT2=g0（1+R）rugoQR）。4平面上兩直線夾角為0（0<90°）,若

7、它們各以垂直于自身的速度V、v2在該平面上作如圖所示的橫向運(yùn)動，求交點(diǎn)相對于紙平面的速率及交點(diǎn)相對于每一直線的速率?！窘馕觥苛顃時(shí)刻兩直線的交點(diǎn)為O點(diǎn)，經(jīng)一小段At時(shí)間直線1移動vQt,兩直線交點(diǎn)由O移到O,表示交點(diǎn)O的運(yùn)動方向沿l2。V'=¥¥=SN。在At時(shí)間直線12移動v2At，兩直線交點(diǎn)由O移到O2，速度v2f=°A°3=Sb。這樣，交點(diǎn)相對于紙平面的速度從圖中看出，原交點(diǎn)在1的位置運(yùn)動到A點(diǎn)，在12上的位置運(yùn)動到B點(diǎn)，所以交點(diǎn)O相對于1速度vA=VCot3+琵，交點(diǎn)°相對于12速度VB=V2COt3+sih。='V，2

8、+v2,2+2vV2'cos3=V2+v22+2v嚴(yán)cos8sin3【答案】見解析5.（浙江大學(xué)自主招生）如圖所示，連通器有三根豎直開口的細(xì)管A、B、C,兩管之間的距離為厶。現(xiàn)向連通器中注入適量的水，并讓它繞中間的細(xì)管B轉(zhuǎn)動起來，當(dāng)轉(zhuǎn)動角速度為s時(shí)，中間細(xì)管B內(nèi)的水面恰與橫管內(nèi)水面相齊。則A管中水面的高度h為多大？其中m=pSL，且水平面中各處水mm2L【解析】取O點(diǎn)右側(cè)水平管中水為研究對象，貝0pgh)S-p0S,的向心力與該處離O點(diǎn)的距離成正比，所以才可以用L代替這部分水作圓周運(yùn)動向心力中的半徑，解得h=32L2石?！敬鸢浮縨L6在仰角«=30。的雪坡上舉行挑臺滑雪比賽，

9、如圖所示。運(yùn)動員從坡上方A點(diǎn)開始下滑，到起跳點(diǎn)O時(shí)借助設(shè)備和技巧，保持在該點(diǎn)的速率而以與水平成e角的方向起跳。最后落在坡上B點(diǎn)，坡上OB兩點(diǎn)距離L為此項(xiàng)運(yùn)動的記錄。已知A點(diǎn)高于O點(diǎn)h=50m,不計(jì)摩擦和阻力，則最遠(yuǎn)可跳多少米？此時(shí)起跳角為多【解析】運(yùn)動員在O點(diǎn)速度v0=p2gh=10；10m/s。起跳后運(yùn)動員做斜上拋運(yùn)動。法一：以O(shè)為原點(diǎn)，建立水平向右和豎直向上的xOy坐標(biāo)系，把運(yùn)動分解為水平向右的勻速運(yùn)動和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動。x=v°coset,y=v0sinetgt2，令y=xtana”口2v2cos0sin(a+e)v2sin(2e+a)+sina,r解得x=0gcosa1

10、gcod。當(dāng)2e+a=90°，吐30。時(shí)，Xmaxgcosav°2(1+sina)gcosa，此時(shí)OBx有極大值L=-；max-=200m。cosa法二：建立如圖甲所示坐標(biāo)系，把運(yùn)動分解為沿斜面方向的勻加速直線運(yùn)動和垂直于斜面方向的勻減速直L=v°tcos(a+e)+詈，0=v0tsin(a+e)gt2cOsa余下的計(jì)算過程同上。法三：把運(yùn)動視為v0方向的勻速運(yùn)動和自由落體運(yùn)動的合成。如圖乙所示。乙gt2sinV0L2sin(a+0)sin，消去t,同樣得到L的表達(dá)式，余下解略?！敬鸢浮?00m30°7. (“北約”自主招生)設(shè)一天的時(shí)間為幾地面上的重力

11、加速度為g,地球半徑為R0。(1) 試求地球同步衛(wèi)星P的軌道半徑RP。(2) 赤道城市A的居民整天可看見城市上空掛著同步衛(wèi)星P。 設(shè)P的運(yùn)動方向突然偏北轉(zhuǎn)過45。，試分析判斷當(dāng)?shù)鼐用褚惶靸?nèi)有多少次機(jī)會可看到P掠過城市的上空。 取消問中偏轉(zhuǎn)，設(shè)P從原來的運(yùn)動方向突然偏西北轉(zhuǎn)過105°，再分析判斷當(dāng)?shù)鼐用褚惶炷苡卸嗌俅螜C(jī)會可看到P掠過城市上空。(3) 另一個(gè)赤道城市B的居民，平均每三天有四次機(jī)會可看到某衛(wèi)星Q自東向西掠過該城市上空，試求Q的軌道半徑RQ?！窘馕觥坑杉?爺=穢和G'M=mg,解得R=f;畫丞Rp4n2。(2)取地心不動的慣性參照系。衛(wèi)星運(yùn)動方向偏北轉(zhuǎn)過45°

12、;，衛(wèi)星以半徑RP繞圓心做圓運(yùn)動，但圓運(yùn)動周期不變。同時(shí)A城居民隨地球在赤道平面內(nèi)也繞地心運(yùn)動，經(jīng)過半天，各轉(zhuǎn)過半個(gè)大圓相遇。再經(jīng)過半天，各自又轉(zhuǎn)過半個(gè)大圓，再次相遇。故當(dāng)?shù)鼐用褚惶炷苡袃纱螜C(jī)會可以看到衛(wèi)星P掠過城市上空。分析同，只是每經(jīng)過半天，各轉(zhuǎn)過半個(gè)大圓，即經(jīng)過半天就會相遇，結(jié)論仍為當(dāng)?shù)鼐用褚惶炷苡袃纱螜C(jī)會可以看到衛(wèi)星P掠過城市上空。(3) 衛(wèi)星自東向西轉(zhuǎn)動，而地球卻自西向東轉(zhuǎn)動，且地球自轉(zhuǎn)周期T地=1天，設(shè)衛(wèi)星的周期為T衛(wèi)天，則在t=3天時(shí)間內(nèi)滿足：T+T=4，得T衛(wèi)=3天=3T。衛(wèi)地另由GMfmR02GMmI,Q=Rq2，解得RQ=9gR02Tz4n2【答案】(1)：氣號(2)兩次兩次',，9gRr8. (“北約”自主招生)兩質(zhì)量均為m的小球，放在勁度系數(shù)為乩原長為/的彈簧兩端，自由靜止釋放。設(shè)兩個(gè)小球中心與整個(gè)彈簧都始終在一條直線上，小球半徑r«l。(1) 問僅在兩球間萬有引力的作用下，彈簧的最大壓縮量為多大？(2) 若體系整體繞中心以角速度旋轉(zhuǎn)，要求彈簧保持原長，應(yīng)為多大？【解析】(1)因題中只考慮兩球間的萬有引力，故兩球組成系統(tǒng)的引力勢能可以表示為E=-G-，x為兩球px球心間距。彈簧有最大壓縮量