2006年江蘇高考數(shù)學(xué)解析版

1、絕密啟用前2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江蘇卷)注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1、本試卷共4頁，包含選擇題(第1題第10題，共10題)、填空題(第11題第16題，共6題)、解答題(第17題第21題，共5題)三部分。本次考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。2、答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考試證號用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆填寫在試卷及答題卡上。3、請認(rèn)真核對監(jiān)考員所粘貼的條形碼上的姓名、考試證號是否與您本人的相符。4、作答非選擇題必須用書寫黑色字跡的0.5毫米簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效。作答選擇題必須

2、用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案。5、如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚。一組數(shù)據(jù)的方差參考公式：+(X-X)2nS2=i(X-X)2+(X-X)2+n12其中X為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的。(1) 已知aeR，函數(shù)f(x)=sinx-1aI,xgR為奇函數(shù)，則a=(A)0(B)1(C)1(D)±1(2) 圓(x-1)2+(y+J3)2=1的切線方程中有一個是(A)xy=0(B)x+y=0(C)x=0(D)y=0(3)

3、某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2,貝xy丨的值為(A)1(B)2(C)3(D)4(4) 為了得到函數(shù)y=2sin(-+-),xgR的圖像，只需把函數(shù)y=2sinx,xgR的圖像上所有的點36(A) 向左平移-個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1倍(縱坐標(biāo)不變)63(B) 向右平移-個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的-倍(縱坐標(biāo)不變)63(C) 向左平移-個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)6(D) 向右平移-個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)6(5

4、)(辰-丄)1啲展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)幕的項數(shù)是3x(A)0(B)2(C)4(D)6(6)已知兩點M(-2,0)、N(2,0),點P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，滿足IMNI-1MPI+MN-NP=0,則動點P(x，y)的軌跡方程為(A)y2=8x(B)y2=-8x(C)y2=4x(D)y2=-4x(7) 若A、B、C為三個集合，AoB=BcC，則一定有(A)AoC(B)CoA(C)A豐C(D)A=Q(8) 設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是(A)IabKIacI+1bcI(C)IabI+->2ab11(B)a2+>a+a2a9)兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，

5、可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上,則這樣的幾何體體積的可能值有A)1個(B)2個(C)3個(D)無窮多個信號源10)右圖中有一個信號源和五個接收器。接收器與信號源在同一個串聯(lián)線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號。若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導(dǎo)線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是41(A)(B)丄4536C)415(D)15(D)a+3、a+1弋a(chǎn)+2a二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。不需要寫出解答過程，請

6、把答案直接填空在答題卡相應(yīng)位置上。(11)在厶ABC中，已知BC=12,A=60°,B=45°，貝VAC=2x一y<2(12) 設(shè)變量x、y滿足約束條件<x-y>-1，則z=2x+3y的最大值為、x+y>1(13) 今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個球排成一列有種不同的方法(用數(shù)字作答)。(14) cot20°cos10°+心3sinl0°tan70°-2cos40°=(15) 對正整數(shù)n設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為a，則數(shù)列-乩的前nnn+1

7、項和的公式是(16) 不等式log2(x+-+6)<3的解集為2x三、解答題：本大題共5小題，共70分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分，第一小問滿分5分，第二小問滿分7分)已知三點P(5，2)、F(6，0)、F(6，0).12(I)求以F、F為焦點且過點P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；12求以F'、F'為焦點且過點P'(II)設(shè)點P、F、F關(guān)于直線y=x的對稱點分別為P'、F'、F'，1212的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。18)(本小題滿分14分)請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，

8、上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心0的距離為多少時，帳篷的體積最大？19)(本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分5分，第三小問滿分5分)在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如圖1)將AEF沿EF折起到AAEF的位置，使二面角AEFB成直二面角，連結(jié)A”、A1P(如圖2)(I)求證：A1E丄平面BEP；(II) 求直線AE與平面ABP所成角的大??；(III) 求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函數(shù)表示)(20)(本小題滿分16分，第一小問4分，第二小問滿分6分，第

9、三小問滿分6分)設(shè)a為實數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)=a1-x2+T1+x+i；1-x的最大值為g(a)。(I)設(shè)t=J1+x+v'1-x，求t的取值范圍，并把fx)表示為t的函數(shù)m(t)(I)求&(。)(III)試求滿足g(a)=g(丄)的所有實數(shù)aa(21)(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列a、b、c滿足：b=a-a，c=a+2a+3annnnnn+2nnn+1n+2(n=1,2,3,),證明a為等差數(shù)列的充分必要條件是c為等差數(shù)列且b<b(n=1,2,3,)nnnn+11【思路點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性，三角函數(shù)sinx的奇偶性的判斷，本題是一道送分的概念題【正確解答】解法1由題意可

10、知，f(x)=-f(-x)得a=0解法2：函數(shù)的定義域為R,又f(x)為奇函數(shù),故其圖象必過原點即f(0)=0,所以得a=0,解法3由f(x)是奇函數(shù)圖象法函數(shù)畫出fC)=sinx-|a|,xeR的圖象選A【解后反思】對數(shù)學(xué)概念及定理公式的深刻理解是解數(shù)學(xué)問題的關(guān)健,討論函數(shù)的奇偶性,其前提條件是函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點對稱.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)of(-x)=-f(x)oy=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱.若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)of(-x)=f(x)oy=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.2【思路點撥】本題主要考查圓的切線的求法，直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑.【正確解答】直線ax+

11、by=0與(x-1)2+(y+石)2=1相切，則"-些3|=1,由排除法，選C,本題也可數(shù)形結(jié)合，畫出他們的圖象自然會選C,用圖象法解最省事?！窘夂蠓此肌恐本€與圓相切可以有兩種方式轉(zhuǎn)化(1)幾何條件:圓心到直線的距離等于半徑(2)代數(shù)條件:直線與圓的方程組成方程組有唯一解,從而轉(zhuǎn)化成判別式等于零來解.3【思路點撥】本題考查統(tǒng)計的基本知識，樣本平均數(shù)與樣本方差的概念以及求解方程組的方法【正確解答】由題意可得：x+y=20,(x-10)2+(y-10)2二8,解這個方程組需要用一些技巧，因為不要直接求出x、y，只要求出|x-y，設(shè)x=10+t,y=10-t,x-y=2=4，選D【解后反思

12、】4【思路點撥】本題主要考三角函數(shù)的圖象變換，這是一道平時訓(xùn)練的比較多的一種類型。亠.?！菊_解答】先將y=2sinx,xeR的圖象向左平移丁個單位長度，6兀得到函數(shù)y=2sin(x+),xeR的圖象，再把所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)6x兀得到函數(shù)y=2sin(+),xeR的圖像36【解后反思】由函數(shù)y=sinx,xeR的圖象經(jīng)過變換得到函數(shù)y=Asin(x+Q),xeR(1) .y=Asinx,xeR(A>0且Ah1)的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍得到的-(2) 函數(shù)y=sin3x,xe

13、R(3>0且3H1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標(biāo)縮短(3>1)或伸長(0<3<1)到原來的丄倍(縱坐標(biāo)不變)(3) 函數(shù)y=sin(x+P)，xR(其中p工0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當(dāng)P0時)或向右(當(dāng)PV0時=平行移動丨p丨個單位長度而得到(用平移法注意講清方向：“加左”“減右”)可以先平移變換后伸縮變換，也可以先伸縮變換后平移變換，但注意：先伸縮時，平移的單位把x前面的系數(shù)提取出來。5【思路點撥】本題主要考查二項式展開通項公式的有關(guān)知識.【正確解答】匚-丄。的展開式通項為Cr(仮)r(亠)10-r=C(£)10rx芍如，因此含

14、x的正整數(shù)次I3x丿123x103幕的項共有2項.選B【解后反思】多項式乘法的進位規(guī)則.在求系數(shù)過程中,盡量先化簡,降底數(shù)的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當(dāng)注意令值法的運用，例如求常數(shù)項，可令x=0.在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別.6【思路點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，拋物線的定義.【正確解答】設(shè)P(x,y)，x>0,y>0，M(-2,0),N(2,0)，MN=4則MP=(x+2,y),NP=(x一2,y)由(MN|-|Mp+MNaP=0，則4”'(x+2)2+y2+4(x-2)=0,化簡整理得y2=-8x所以選B【解后反思】向

15、量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的性質(zhì)在平面向量中的應(yīng)用是學(xué)習(xí)的重點和難點.也是高考常?？疾榈闹匾獌?nèi)容之一.在平時請多多注意用坐標(biāo)如何來表示向量平行和向量垂直,既要注意它們聯(lián)系,也要注意它們的區(qū)別.7【思路點撥】本題主要考查.集合的并集與交集運算，集合之間關(guān)系的理解。【正確解答】因為A匸AJB且CB匸CAjB=C"B由題意得A匸C所以選A【解后反思】對集合的子、交、并、補運算，以及集合之間的關(guān)系要牢固掌握。本題考查三個抽象集合之間的關(guān)系，可以考慮借助與文氏圖。8【思路點撥】本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論?！菊_解答】運用排除法，C選項

16、|a-b+厶>2，當(dāng)a-b<0時不成立。ab【解后反思】運用公式一定要注意公式成立的條件如果a,bgR,那么a2+b2>2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"="號）如果a,b是正數(shù)，那么°:"><ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"="號）.9【思路點撥】本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積【正確解答】由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD中心，有對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，問題轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方形的內(nèi)接正方形有多

17、少種，所以選D.【解后反思】正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化。10【思路點撥】本題主要考查平均分組問題及概率問題.【正確解答】將六個接線點隨機地平均分成三組，共有C6£；£2=15種結(jié)果，五個接收器能同時接收到A33信號必須全部在同一個串聯(lián)線路中，有q&idC:=8種結(jié)果，這五個接收器能同時接收到信號的概率是815，選D【解后反思】概率問題的難點在于分析某事件所有可能出現(xiàn)的結(jié)果及其表示方法，而運用概率部分的性質(zhì)、公式求某事件概率只是解決問題的工具而已11【思路點撥】本題主要考查解三角形的基本知識A

18、CBC【正確解答】由正弦定理得，二解得AC=4.6sin45sin60oo解后反思】解三角形：已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理12【思路點撥】本題主要考查線性規(guī)劃問題,由線性約束條件畫出可行域,然后求出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【正確解答】畫出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-l的交點A(3,4)處，目標(biāo)函數(shù)z最大值為18【解后反思】本題只是直接考查線性規(guī)劃問題，是一道較為簡單的送分題。近年來高考線性規(guī)劃問題高考數(shù)學(xué)考試的熱點，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要手段之一,是連接代數(shù)和幾何的重要方法。隨著要求數(shù)學(xué)知識從書本到實際生活的呼聲不斷升高,線性規(guī)劃這一類新型數(shù)學(xué)應(yīng)用問題

19、要引起重視。13【思路點撥】本題考查排列組合的基本知識.【正確解答】由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實際上是一個組合問題，共有Cjf；®；=1260【解后反思】分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是排列組合中解決問題的重要手段,也是基礎(chǔ)方法,在高中數(shù)學(xué)中,只有這兩個原理,尤其是分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通之處,當(dāng)遇到比較復(fù)雜的問題時,用分類的方法可以有效的將之化簡,達(dá)到求解的目的.14【思路點撥】本題考查三角公式的記憶及熟練運用三角公式計算求值cot2OocoslOo+J3sinlOotan7Oo-2cos4Oocos2OocoslOo3sinlOosin7Oo+-2cos4Oo正確解答】

20、sin2OOcos7OOcos2OocoslOo+、3sinlOocos2Oo“-2cos4Oosin2OOcos2Oo(cos1Oo+J3sinlOo)二-2cos4Oosin2Oo_2cos2Oo(cos1Oosin3Oo+sinlOocos3Oo)2cos4Oosin2OO2cos2Oosin4Oo2sin2Oocos4Oosin2Oo_2【解后反思】方法不拘泥，要注意靈活運用，在求三角的問題中，要注意這樣的口決“三看”即(1)看角,把角盡量向特殊角或可計算角轉(zhuǎn)化，(2)看名稱,把一道等式盡量化成同一名稱或相近的名稱，例如把所有的切都轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的弦，或把所有的弦轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的切，(3)看式

21、子,看式子是否滿足三角函數(shù)的公式.如果滿足直接使用,如果不滿足轉(zhuǎn)化一下角或轉(zhuǎn)換一下名稱,就可以使用.15【思路點撥】本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率，數(shù)列通項公式以及等比數(shù)列的前n項和的公式【正確解答】y'二nxn-1-(n+1)xn，曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n-1-(n+1)2naaaI切點為(2,-2n)，所以切線方程為y+2n=k(x-2),令x=0得a=(n+1)2n，令b=一匸=2n.數(shù)列5一豊>的前nn+1n+1J項和為2+22+23+2n=2n+1-2【解后反思】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率時，要首先判定所經(jīng)過的點為切點。否則容易出錯。16

22、【思路點撥】本題考查對數(shù)函數(shù)單調(diào)性和不等式的解法x+-<2丄1x【正確解答】log(x+x+6)<3二log8，0x+6<8，十X.22x1x+-+6>0、x解得xg(-32*2,3+2)o1【解后反思】在數(shù)的比較大小過程中，要遵循這樣的規(guī)律，異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分,再去比較它們剩余部分,就會很輕易啦.一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法：(1)作差比較法和作商比較法,前者和零比較,后者和1比較大??；(2)找中間量,往往是1,在這些數(shù)中,有的比1大,有的比1小；,(3)計算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫出相應(yīng)的圖形；(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等

23、等.17本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運算能力。x2y2解：(1)由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+1=1(ab0),其半焦距c=6a2b22a=PF+PF=J112+22+>j12+22=65/.a=3頁,b2=a2-c2=9.12x2y2所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為忘+2=1459(2)點P(5,2)、片(-6,0)、F2(6,0)關(guān)于直線y=x的對稱點分別為點P，(2，5)、片，(0,-6)、F2,(0，6).x2y2設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為一-=1(a>0,b0)由題意知，半焦距c=6a2b2111112a=P'F'+P

24、F'=J112+22-sj12+22=4厲112x2y2a1=2：5,b2=c2-a2=36-20=16.所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為寸-二7=1111201618.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。解：設(shè)00為xm,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為(單位：m)32+(x-1)2=8+2x-x2于是底面正六邊形的面積為(單位：m2)+2x-x2)帳篷的體積為(單位m3)(8+2x-x2)1(x-1)+1(16+12x-x3)求導(dǎo)數(shù)，得V'(x(-22x3令)22V3二0解得x=-2(不合題意，舍去)，x=2.當(dāng)lx2時，V

25、'(x)>O,V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2x4時,V'(x)<0,V(x)為減函數(shù)。所以當(dāng)x=2時,V(x)最大。答當(dāng)00為2m時，帳篷的體積最大。19本小題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，以及空間線面位置關(guān)系的證明角和距離的計算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算能力。解法一：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3(1) 在圖1中，取BE中點D，連結(jié)DF.AE：EB=CF：FA=1：2：AF二AD=2而ZA=60q,.ADF是正三角形，又AE=DE=1,EF丄AD在圖2中，丄EF,BE丄EF,.ZA1EB為二面角A_EFB的平面角。由題設(shè)條件知此二面

26、角為直二面角，AE丄BE，又BE.EF=EAA1E丄平面BEF,即AfE±平面BEP(2) 在圖2中，A1E不垂直A1B,AA1E是平面A1BP的垂線，又A1E丄平面BEP，AE丄BE.從而BP垂直于A1E在平面AfBP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理)設(shè)Af在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q，且A1Q交BP于點Q,則ZE1AQ就是Af與平面AfBP所成的角，且BP丄AQ.在EBP中,BE=EP=2而ZEBP=60o,EBP是等邊三角形.又A1E丄平面BEP,.山衛(wèi)=片卩，Z.Q為BP的中點，且EQ=J3，又EQ廠AE=1,在RtAAEQ中，tanZEAQ=,AZEAQ=60o,.直線AE與

27、平面ABP所成的角為60。111AE1111在圖3中，過F作FM丄A1P與M，連結(jié)QM,QF,TCP=CF=1,ZC=60。FCP是正三角形，PF=1.有PQ=2BP=1.PF=PQ，乙AE丄平面BEP,EQ=EF=AAE=AQ,AFPAQP從而ZAPF=ZAPQ，由及MP為公共邊知FMPAQMP,ZQMP=ZFMP=90o,且MF=MQ,從而ZFMQ為二面角BA1PF的平面角.在RtAQP中,AQ=AF=2,PQ=1,又:.A1P-5-2'52：5TMQ丄AP：MQ=二-:MF=在厶1A1P55FCQ中,FC=1,QC=2,ZC=60。，由余弦定理得QF=、運cosZFMQ=MF2+

28、MQ2-QF22MFMQ面角B-A1P-F的大小為7兀-arccos8【解后反思】在立體幾何學(xué)習(xí)中,我們要多培養(yǎng)空間想象能力,對于圖形的翻折問題,關(guān)健是利用翻折前后的不變量,二面角的平面角的適當(dāng)選取是立體幾何的核心考點之一.是高考數(shù)學(xué)必考的知識點之一.作,證,解,是我們求二面角的三步驟.作:作出所要求的二面角,證:證明這是我們所求二面角,并將這個二面角進行平面化,置于一個三角形中,最好是直角三角形,利用我們解三角形的知識求二面角的平面角.向量的運用也為我們拓寬了解決立體幾何問題的角度,不過在向量運用過程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托題目的圖形,坐標(biāo)才會容易求得.20本小題主要考查函

29、數(shù)、方程等基本知識,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題解決問題的能力。要使有t意義，必須l+x20且l-x20,即TWxWl,：.12=2+2、：1x2e2,4,t20t的取值范圍是巨2.由得、：'1-x2=212-1：.m(t)=a(t21)+t二at2+1a,t&<2,2(2)由題意知g(a)即為函數(shù)m(t)=a2+1a,te22的最大值。11注意到直線t=-是拋物線m(t)=at2+1-a的對稱軸，分以下幾種情況討論。a2當(dāng)a>0時，函數(shù)y=m(t),te&2,2的圖象是開口向上的拋物線的一段,由t=<0知m(t)在v'2,2.上單調(diào)遞增，：.g(a)=m(2)=a+2a當(dāng)a=0時，m(t)=t,te22,：.g(a)=2.則g(a)=m(、=邁當(dāng)a<0時，函數(shù)y=m(t),teh2,2的圖象是開口向下的拋物線的一段,若t=e0,、'2