MATLAB在導(dǎo)熱問題中的應(yīng)用

1、分類號密級UDC編號G覘卅劣二仰鈔境呢本科畢業(yè)論文（設(shè)計）題目MATLAB在導(dǎo)熱問題中的運用所在院系數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院專業(yè)名稱信息與計算科學年級05級學生姓名朱赤學號0515180004指導(dǎo)教師周瑾二00九年四月文獻綜述1、概述MATLAB是一個為科學和工程計算而專門設(shè)計的高級交互式的軟件包。它集數(shù)值分析、矩陣運算、信號處理和圖形顯示于一體，構(gòu)成了一個方便的、界面友好的用戶環(huán)境。在這個環(huán)境下，對所要求解的問題，用戶只需簡單的列出數(shù)學表達式，其結(jié)果便以數(shù)值或圖形方式顯示出來。MATLAB中有大量的命令和事先定義的可用函數(shù)集，也可通稱為MATLAB的M文件，這就使得用它來求解問題通常比傳統(tǒng)編程快得

2、多；另外一點，也是它最重要的特點，易于擴展。它允許用戶自行建立完成指定功能的M文件。從而構(gòu)成適合于其它領(lǐng)域的工具箱。MATLAB既是一種編程環(huán)境，又是一種程序設(shè)計語言。它與其它高級程序設(shè)計語言C、Fortran等一樣，也有其內(nèi)定的規(guī)則，但其規(guī)則更接近于數(shù)學表示，使用起來更為方便，避免了諸如C、Fortran語言的許多限制，比方說，變量、矩陣無須事先定義；其次，它的語句功能之強大，是其它語言所無法比擬的，再者，MATLAB提供了良好的用戶界面，許多函數(shù)本身會自動繪制出圖形，而且會自動選取坐標刻度。傳熱學是一門研究由溫差引起的熱能傳遞規(guī)律的科學，其理論和技術(shù)在生產(chǎn)、科學研究等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

3、在能源動力、建筑建材及機械等傳統(tǒng)工業(yè)部門中，傳熱學理論的應(yīng)用解決了這些部門生產(chǎn)過程的熱工藝技術(shù)，而在新能源利用、軍事高科技等新技術(shù)領(lǐng)域中，它甚至對一些關(guān)鍵技術(shù)起到了決定性作用。傳熱過程是傳熱學研究最基本的過程之一，傳統(tǒng)的數(shù)學分析解法只能解決相對簡單的傳熱問題，而在解決復(fù)雜的實際傳熱問題時，數(shù)學描述和求解都很困難。隨著計算機技術(shù)的興起，解偏微分方程組等早期不能被很好解決或模擬的部分已逐漸被人們完成。同時，計算機技術(shù)的發(fā)展，尤其是MATLAB的出現(xiàn)，不但解決了很多較復(fù)雜的問題，也大大促進了傳熱學理論的發(fā)展。本文就介紹目前在該領(lǐng)域的研究狀況，以及存在的問題。2、主題2.1什么是導(dǎo)熱兩個相互接觸的且溫

4、度不同的物體，或同一物體的各不同溫度部分間，在不發(fā)生相對宏觀位移的情況下所進行的熱量傳遞過程稱為導(dǎo)熱。求解導(dǎo)熱問題的思路主要遵循“物理問題f數(shù)學描寫f求解方程f溫度分布f熱量計算”，這一方法對分析方法和數(shù)值方法都適用，且后者結(jié)合MATLAB，則易于求解復(fù)雜的導(dǎo)熱問題。2.2用MATLAB處理導(dǎo)熱問題目前的研究現(xiàn)狀I(lǐng).V.Singh結(jié)合MATLAB和其他數(shù)學工具無網(wǎng)格化求解了綜合傳熱問題。作者采用了無網(wǎng)格Galerkin方法，基于拉格朗日綜合法建立導(dǎo)熱過程模型并確定基本邊界條件，利用MATLAB快速地解出方程，得到數(shù)值解。研究發(fā)現(xiàn)，相對于如有限元法等一般分析方法，通過該軟件能提高解題效率及解的精

5、度。LamartineNogueiraFrutuosoGuimaraes等研究了一個U型管的蒸汽發(fā)生器的模型推導(dǎo)。U型管蒸汽產(chǎn)生器是壓力水發(fā)生器的重要部件，作者分析了其內(nèi)有效導(dǎo)熱過程為一個二維導(dǎo)熱過程，從而推導(dǎo)出所要的模型后，結(jié)合MATLAB軟件求解了問題，完成了模型的建立、求解及驗證，并通過該軟件完成了更完善的模擬和仿真分析。FatemehEsfandiariNia等對空調(diào)系統(tǒng)中的除濕轉(zhuǎn)輪的熱力過程進行了建模和仿真。文章分析了除濕轉(zhuǎn)輪上的除濕機綜合傳熱及轉(zhuǎn)輪絕熱除濕過程。得到其模型后，通過MATLAB的SIMULINK工具箱得到所要的數(shù)值解，并對結(jié)果仿真和可視化分析。研究發(fā)現(xiàn)，這種研究方法是

6、有用的，且其結(jié)果對HVAC系統(tǒng)的效率測定有很好的指導(dǎo)意義。李萍等采用MATLAB中的PDE工具箱求解了一般的導(dǎo)熱問題，給出了平壁點熱源導(dǎo)熱的算例。分析表明，使用MATLAB中的PDE工具箱可以不需編程，直接進人用戶圖形界面(GUI)操作，快捷靈活地對點熱源導(dǎo)熱模型進行求解。在GUI上還可以處理復(fù)雜幾何形狀的導(dǎo)熱問題，這是MATLAB有別于其他軟件的地方。同時因為有了網(wǎng)格的精化，使得模型中的有限元數(shù)值解的精度大大提高。熱合買提江依明江等基于MATLAB對由用EXCEL得到的矩形薄片的熱傳導(dǎo)問題的計算數(shù)值進行了仿真研究。作者對薄片的二維導(dǎo)熱問題進行了離散化研究，分別得到薄片邊界和內(nèi)部節(jié)點的差分方程

7、，用MS.Excel求得節(jié)點溫度，用MATLAB軟件對計算結(jié)果仿真。研究表明，可視化處理不但求出了與實際想吻合的圖形，還便于理解和深人研究及利用。王平等明對芯層為秸桿的復(fù)合材料傳熱特性進行了研究。復(fù)合材料從外到內(nèi)分別為聚丙烯纖維等組成的抗壓外層，石灰/發(fā)泡劑等組成的保溫層，秸桿層。經(jīng)分析復(fù)合材料芯部傳熱方式只能為導(dǎo)熱。實驗測量得到數(shù)據(jù)后，由MATLAB對其處理和仿真，得到秸桿密度和濕度與整體導(dǎo)熱系數(shù)的曲線，研究結(jié)果可以作為該產(chǎn)品生產(chǎn)的參考意見。艾元方等研究了蜂窩蓄熱體內(nèi)溫度分布。作者建立了蜂窩蓄熱體傳熱數(shù)學模型，利用拉普拉斯變換法求解得到的傳熱偏微分方程組，由于求得的精確解較復(fù)雜，因此對其進行

8、有限差分，編寫MATLAB程序，利用其符號運算功能，運行后獲得方程的半精確解。和有關(guān)文獻的結(jié)果吻合，但借用MATLAB軟件后，使得獲取蜂窩蓄熱體傳熱半精確解的過程高效而經(jīng)濟。ChaoChen等對一種用于墻體儲能的新相變材料(PCM)進行了實驗和模擬仿真。作者建立了有新新相變材料的墻體的一維非線性導(dǎo)熱模型，利用MATLAB求解，該問題很快得到結(jié)果，并可以繪制節(jié)能效果圖，研究發(fā)現(xiàn)，相變點設(shè)置在23度墻厚30毫米時，能節(jié)能17%或更高。王金良研究了復(fù)合墻內(nèi)外保溫的傳熱過程。內(nèi)外保溫墻體材料從內(nèi)到外分別依次為水泥、磚墻、空氣層、聚苯乙烯泡沫板和石膏板和水泥砂漿、聚苯乙烯泡沫板、磚墻和抹灰。兩種情況的傳

9、熱分析在相同的總熱阻和室內(nèi)冷負荷環(huán)境下進行，得到溫度場的表達式后，采用MATLAB仿真計算得到了各個交界面溫度隨時間的變化曲線，對比發(fā)現(xiàn):外保溫可以延長主墻使用壽命，不易出現(xiàn)表面結(jié)露和內(nèi)部結(jié)露，不易產(chǎn)生冷熱橋，內(nèi)保溫方式則相反，因此，外保溫方式是值得推廣和利用的復(fù)合墻節(jié)能保溫方式。借助MATLABX具，兩種保溫方式結(jié)果對比明顯、直觀。李燦等利用MATLAB解決了三個難以用解析方法求解的算例。研究包括:一長方體鋼錠的無內(nèi)熱源三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題;一圓柱形核電站用燃燒棒的有內(nèi)熱源的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題;一正方形內(nèi)嵌一菱形的有內(nèi)熱源的復(fù)雜邊界熱傳導(dǎo)問題，利用MATLAB及其PED工具箱分別得到了三個算例的5

10、h時刻溫度分布圖和溫度梯度分布圖、10h時刻溫度分布云圖、OAS時刻的等穩(wěn)圖和熱流密度圖。羅靜麗研究了土壤源熱泵垂直埋管的溫度場。作者建立了土壤源熱泵(垂直埋管）U型埋管的傳熱模型，得到導(dǎo)熱微分方程，借助一個算例，利用MATLAB對其數(shù)值模擬，利用其強大的PED工具箱獲得U型管周圍的非穩(wěn)態(tài)溫度場，并對管的設(shè)計和鋪就提供了參考意見。正是MATLAB的強大功能使復(fù)雜幾何形狀和復(fù)雜邊界條件的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題得到迅速解決，而利用其圖形可視化功能則使得計算結(jié)果形象、直觀而且便于理解。JoydeepBarman等研究了管殼式換熱器內(nèi)的最佳肋片高度。利用了MATLAB仿真工具箱來測定限制條件數(shù)值變化規(guī)律，研究

11、不同形狀（三角形和圓形）肋片換熱變化方式和規(guī)律。發(fā)現(xiàn)肋片的最佳高度能使換熱熱流密度最大，且最佳肋片高度變化和換熱器外徑增大成線性關(guān)系。閡劍青利用MATLAB對直肋導(dǎo)熱進行了數(shù)值模擬。對一個等截面直肋算例，建立了其導(dǎo)熱的一維和二維的數(shù)學模型，利用PDEtool工具箱，采用有限元法求解導(dǎo)熱偏微分方程，求出兩模型的數(shù)值解并模擬了肋片溫度分布云圖和溫度梯度分布圖，分析發(fā)現(xiàn)兩種模型是等價的，但二維模型更符合實際，而且PDEtool工具箱解決二維PDE問題非常方便;文章最后根據(jù)繪制的溫度圖象對算例中肋片的參數(shù)設(shè)計提供了改進意見，使肋片的導(dǎo)熱系數(shù)提高了近34%。結(jié)果表明運用MATLAB/PDE數(shù)值計算方法是

12、方便而高效的，MATLAB是換熱器工程結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化分析的有利工具。牛天況等采用MATLAB軟件對描述H型鰭片中傳熱過程的偏微分方程進行了求解，得出H型鰭片管在煙氣中的傳熱過程是對流何導(dǎo)熱的綜合過程，導(dǎo)熱在過程中有重要作用，可以采用鰭片效率何綜合傳熱能力來評價H型鰭片管的傳熱特性;不同外形尺寸何厚度的鰭片對傳熱均有顯著影響。必須將鰭片的導(dǎo)熱過程的計算分析和對流換熱的試驗研究相結(jié)合，才能揭示H型鰭片管的傳熱規(guī)律，借助MATLAB強大的數(shù)值計算和圖像功能，可以方便地得到結(jié)果。葉長桑研究了MATLAB在肋片傳熱特性分析和最輕設(shè)計上的應(yīng)用。主要內(nèi)容是:分析肋片傳熱特性，建立數(shù)學模型，獲得溫度分布、散熱

13、量、肋效率等重要參數(shù);利用MATLAB的微分方程求解器快速、方便、準確地模擬了肋片導(dǎo)熱過程，直觀地獲得了數(shù)值解，借助MATLAB繪制了肋片厚度、高度、形狀對散熱量影響的規(guī)律曲線;對肋片結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供了思路，即對薄肋采用矩形肋片優(yōu)于三角形肋片，而對于厚肋則采用三角形肋片的散熱量高于矩形肋片。2.3目前存在的問題幾乎所有的工程問題都能轉(zhuǎn)化成數(shù)學模型來解，而且借助MATLAB，大多數(shù)的模型的數(shù)值解的精確度均能滿足要求。但是，存在的問題也不少。首先，數(shù)值解法存在許多局限性，一個解只能適用于一個或幾個模型，或者一個或幾個方程。而解析解的得到能使我們得出所有同類問題的通解，并且精確度高于數(shù)值解。這是由于

14、數(shù)學的發(fā)展程度還不足以滿足自然科學的發(fā)展要求，數(shù)值解法只是一個權(quán)宜之計。其次，MATLAB雖然能處理大量的數(shù)學問題，但其命令繁多，再加上各種工具箱，要完全學會和很好的使用MATLAB不是一件容易的事情，在編輯和閱讀程序時通常要借助工具書查詢相關(guān)命令，這樣就增加了使用難度，使得MATLAB不能廣泛的普及。再者，要合理的使用MATLAB來解決數(shù)學問題，必需是建立在良好的數(shù)學基礎(chǔ)之上的，這就勢必要求MATLAB的使用者有扎實的數(shù)學功底，這又給MATLAB的普及帶來了挑戰(zhàn)。最后，由于工程中的導(dǎo)熱問題的數(shù)學模型并不一都能很順利的建立，這就給使用MATLAB解決導(dǎo)熱問題增加了難度。3.小結(jié)MATLAB在數(shù)

15、值計算中的應(yīng)用十分廣泛，處理問題也是十分有效。其作為數(shù)學軟件有其強大的圖形用戶界面操作、數(shù)據(jù)和函數(shù)的可視化和數(shù)值計算功能，且自帶很多現(xiàn)有的函數(shù)和工具包，這使紛繁復(fù)雜的工程問題能一一化解。MATLAB在工程計算和數(shù)據(jù)處理中具備如下優(yōu)點：(1) 較其它高級程序設(shè)計語言，MATLAB程序語言的規(guī)則更為接近數(shù)學表示。.(2) 語句簡潔明了，表意卻出乎意料的豐富。出現(xiàn)了“一句頂幾百句其它語言”的生動場面，這一點是C、Fortran等程序設(shè)計語言所無法比擬的。(3) 在有大量數(shù)據(jù)的處理過程當中，避免變量、矩陣的事先定義，MATLAB會自動獲取所需的存儲空間。(4) 提供了良好的用戶界面，許多函數(shù)本身會自動

16、繪制出圖形，而且會自動選取坐標刻度可以使用戶大大節(jié)約設(shè)計時間，提高設(shè)計質(zhì)量。此外，本文由于討論問題所限，還未涉及到其它易于擴展的功能。這一功能可以方便地構(gòu)造出專用函數(shù)，從而大大地擴展MATLAB的應(yīng)用范圍。綜上所述MATLAB工具軟件在數(shù)據(jù)的處理和結(jié)果成圖方面都是極具潛力的。不光在導(dǎo)熱問題中，通過MATLAB，幾乎所有的工程問題都能迎刃而解。參考文獻：1 I.V.Singh.Anumericalsolutionofcompositeheattransferproblemsusingmeshlessmethod.InternationalJournalofHeatandMassTransfer,

17、2004,47,47(10-11):2123-2138.2 JoydeepBarmana,andA.KGhoshal.Performanceanalysisoffinnedtubeandunbaffledshell-and-tubeheatexchangersJ.InternationalJouralofThermalSciences,2007,46,46(12):1311-1317.3 LamartineNogueiraFrutuosoGuimares,NiltondaSilvaOliveira,Jr.,andEduardoMadeiraBorges.Derivationofaninevar

18、iablemodelofaU-tubesteamgeneratorcoupledwithathree-elementcontrollerJ.AppliedMathe-maticalModelling,2007,22,22(2):191-202.4 FatemehEsfandiariNia,DolfvanPaassen,andMohamadHassanSaidi.ModelingandsimulationofdesiccantwheelforairconditioningJ.EnergyandBuildings,2006,38,38(10):1230-1239.5 ChaoChena,Haife

19、ngGuo,YuningLiu,HailinYue,andChendongWang.Anewkindofphasechangematerial(PCM)forenergy-storingwallboardJ.EnergyandBuild-ings.2007,.6 李萍,張薇.MATLAB在求解溫度場中的應(yīng)用.工業(yè)爐,2005,(03).7 艾元方,孫英文,黃國棟,張燦.用拉普拉斯變換法求解蜂窩蓄熱體氣固溫度分布.工業(yè)加熱,2006,(02).8 牛天況，王振濱.H型鰭片管傳熱過程的研究鍋爐技術(shù),2007,(04).9 王金良.復(fù)合外墻內(nèi)外保溫的傳熱分析與應(yīng)用探討.能源技術(shù),2004,(06).

20、10 葉長燊.基于MATLAB的肋片傳熱特性分析與優(yōu)化設(shè)計.化工設(shè)計,2005,(06).11 熱合買提江依明江，買買提明艾尼.基于EXCEL和MATLAB的矩形薄片熱傳導(dǎo)計算與仿真研究.佳木斯大學學報(自然科學版),2007,(04).12羅靜麗.土壤源熱泵垂直埋管溫度場的數(shù)值模擬.制冷與空調(diào)(四川),2007,(02).13王平,張雙喜,生曉燕,張劍平,余才銳.芯層為秸桿的復(fù)合材料熱工性能研究.新型建筑材料,2007,(07).摘要:MATLAB在工程中應(yīng)用很廣，尤其是在計算復(fù)雜的算式中，顯得尤為重要。例如，在研究傳熱學里關(guān)于熱流量的計算時，對于復(fù)雜幾何形狀的物體和非線性邊界條件下的導(dǎo)熱問

21、題，應(yīng)用分析法是不可能的。在這種情況下，建立有限差分法，有限元和邊界法基礎(chǔ)上的數(shù)值計算法是求解問題的十分有效而準確性很高的方法。現(xiàn)在，許多復(fù)雜的導(dǎo)熱問題都可以用MATLAB來處理，得到滿意的數(shù)值解。另一方面，MATLAB軟件在傳熱學研究中已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用，同時促進了傳熱學自身的發(fā)展。本人認為，MATLAB在傳熱學中的應(yīng)用與深化對于傳熱學的發(fā)展有著深遠的意義。關(guān)鍵詞:MATLAB傳熱學導(dǎo)熱Abstract:MATLABiswidelyusedinengineering,especiallyinthecalculationofcomplexformula,appearparticularlyi

22、mportant.Forexample,inthestudyofthetheoryaboutthechain,forcomplexgeometricobjectsandnonlinearboundaryconditions,theapplicationofthermalanalysisisimpossible.Insuchcircumstances,establishfinitedifferencemethod,thefiniteelementmethodbasedontheborderofnumericalcalculationmethodisveryeffectiveandsolvethe

23、problemofhighaccuracy.Now,manycomplexthermalproblemscanuseMATLAB®tohandle,numericalsolutionsatisfactory.Ontheotherhand,intheheatofMATLABsoftwareresearchhasbeenwidelyapplied,andpromotethedevelopmentofheattransfer.Ithink,intheapplicationofheattransferonMATLABforthedevelopmentofdeepeningtheheatiso

24、fprofoundsignificance.Keywords:MATLABheattransfertheoryheatconducting目錄1. MATLAB簡介12. MATLAB在簡單的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題中的應(yīng)用23. MATLAB在穩(wěn)態(tài)與動態(tài)導(dǎo)熱過程分析中的應(yīng)用63.1 MATLAB在穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析中的應(yīng)用63.2 MATLAB在動態(tài)傳熱分析中的應(yīng)用94. 小結(jié)14參考文獻151MATLAB簡介MATLAB(MATrixLABoratory)具有用法簡易、可靈活運用、程式結(jié)構(gòu)強又兼具延展性。以下為其幾個特色：功能強的數(shù)值運算-在MATLAB環(huán)境中，有超過500種數(shù)學、統(tǒng)計、科學及工程方面的

25、函數(shù)可使用，函數(shù)的標示自然，使得問題和解答像數(shù)學式子一般簡單明了，讓使用者可全力發(fā)揮在解題方面，而非浪費在電腦操作上。先進的資料視覺化功能-MATLAB的物件導(dǎo)向圖形架構(gòu)讓使用者可執(zhí)行視覺數(shù)據(jù)分，并制作高品質(zhì)的圖形，完成科學性或工程性圖文并茂的文章。高階但簡單的程式環(huán)境-做為一種直譯式的程式語言，MATLAB容許使用者在短時間內(nèi)寫完程式，所花的時間約為用FORTRAN或C的幾分之一，而且不需要編譯(compile)及聯(lián)結(jié)(link)即能執(zhí)行，同時包含了更多及更容易使用的內(nèi)建功能。開放及可延伸的架構(gòu)-MATLAB容許使用者接觸它大多數(shù)的數(shù)學原使碼，檢視運算法，更改現(xiàn)存函數(shù)，甚至加入自己的函數(shù)使M

26、ATLAB成為使用者所須要的環(huán)境。豐富的程式工具箱-MATLAB的程式工具箱融合了套裝前軟體的優(yōu)點，與一個靈活的開放但容易操作之環(huán)境，這些工具箱提供了使用者在特別應(yīng)用領(lǐng)域所需之許多函數(shù)?，F(xiàn)有工具箱有：符號運算(利用MapleV的計算核心執(zhí)行)、影像處理、統(tǒng)計分析、訊號處理、神經(jīng)網(wǎng)路、模擬分析、控制系統(tǒng)、即時控制、系統(tǒng)確認、強建控制、弧線分析、最佳化、模糊邏輯、mu分析及合成、化學計量分析。MATLAB有幾種在不同電腦作業(yè)系統(tǒng)的版本，例如在視窗3.1上的MATLABforWindows,SIMULINK，在麥金塔上的MATLABforMacintch，另外還有在Unix上的各種工作站版本?；旧?/p>

27、這些版本主要是提供方便的操作環(huán)境，采用圖形介面。以下針對前述的幾種在PC上的MATLAB版本做簡要說明：MATLABforWindows，此版本須要在PC電腦的中英文視窗3.1下執(zhí)行。與舊的DOS版本不同的是對圖形顯示有大幅改善，使得軟體更合適做信號處理及影像處理的分析。此外一些重要的設(shè)定指令也改為由視窗中選擇。目前308是安裝的是4.0版，不過較新的版本為4.2，而最新版的5.0也剛剛上市。4.0和4.2的差異不是很大，而5.0未用過所以其功能如合并不清楚。有興趣了解者請到MathWorks網(wǎng)站一探究竟。 SIMULINK,此軟體必須在中英文視窗3.1下執(zhí)行，是給控制領(lǐng)域的使用者做分析線性/

28、非線性、離散系統(tǒng)。此外也提供很方便的示波器輸出，做為訊號的監(jiān)控。 StudentEditionofMATLAB，除了上述各類的MATLAB專業(yè)版本，在1995年Mathworks公司又推出學生專用的StudentEdtionofMATLAB，這個版本為4.2，而它的功能與專業(yè)版幾乎相同，但是多了一些限制。其限制簡述如下：(1)每個向量能能使用的元素個數(shù)上限為8192(2)每個矩陣的元素總數(shù)上限也為8192，此外不論行或列向量的個數(shù)上限為32(3)程式不能和C或是Fortran的副程式作動態(tài)連結(jié)。但是它附了二個工具箱：符號運算和訊號處理。2MATLAB在簡單的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題中的應(yīng)用常微分方程有

29、時很難求解，MATLAB提供了功能強大的工具，可以幫助求解微分方程。函數(shù)dsovle計算常微分方程的符號解。因為我們要求解微分方程，就需要用一種方法將微分包含在表達式中。所以，dsovle句法與大多數(shù)其它函數(shù)有一些不同,用字母D來表示求微分，D2,D3等等表示重復(fù)求微分，并以此來設(shè)定方程。任何D后所跟的字母為因變量。由此，常微分方程y+2y丄y在MATLAB中應(yīng)寫為D2y+2Dy=y。方程孕=0用符號表達式D2y=0來表示。獨立變量可以指定或由symvar規(guī)則選定為dx2缺省。dsolve(diff_eqution','condition1','conditio

30、n2','condition3',.,'var')算例:通過平壁的導(dǎo)熱：微分方程：字=0dx2邊界條件：x=0:t=t;x=6:t=t12dt對微分方程積分兩次可得：dX=C1t=c1x+c2由邊界條件可得：這樣平壁的溫度分布為：ttt=T1x+t61熱流量：o=qA=糾弋t2)算例：已知內(nèi)壁溫度一鍋爐爐墻采用密度為300kg/m3的水泥珍珠巖制作，壁厚6=100mm,t=500°C，外壁溫度t=50°C,求爐墻單位面積、單位時間的熱損失。12解：材料的平均溫度為t=500旦=275C2查表得入=0.0651+0.000105tCw/

31、(mK)于是廠=0.0651+0.000105x275=0.0940W/(m-K)q申1-4喘0&0-50)=423W加程序:y>>y=dsolve('D2y=0','y(0)=500','y(0.1)=50')y=-4500*t+500繪圖:>>=-4500*t+500;t=linspace(0,0.1,50);plot(t,y)內(nèi)熱源問題：考慮一具有均勻內(nèi)熱源e的大平壁，厚度為26，平壁的兩側(cè)均為第三類邊界條件,周圍流體的溫度為t，f表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。由于對稱性，這里考慮平壁的半。問題的數(shù)學描述如下。微分方程：

32、d2t4c+=0dx2九考慮邊界條件時，x=0處可認為是對稱條件，這樣兩個邊界條件為：x=0,=0;x=5，九=h(tt)dxdxf對微分方程積分得：dt4)=x+cdx九1將x=0的邊界條件代入上式可得c=0。再將c=0代入上式，并再次積分得:114t=_x2+C22最后將x=6的邊界條件代入上式可求出c,得出具有均勻內(nèi)熱源的平壁內(nèi)溫度分布2為：4Q)45t=、B2x2丿+t2Xhf由傅里葉定律得任一位置處的熱流密度為q=4x由結(jié)果可知，具有均勻內(nèi)熱源的平壁溫度分布為拋物線，而不是線性的。同時，熱流密度不再是常數(shù)，而是與x成正比。上面我們分析的是第三類邊界條件下的結(jié)果，當h時，tTt，這時第

33、三類fw邊界條件變?yōu)榈谝活愡吔鐥l件。令h時，tTt可得到第一類邊界條件時的溫fw度分布為：算例：厚度為10cm的大平壁，通過電流時發(fā)熱率為3x104W/m3,平壁的一個表面絕熱，另一表面暴露于25°C的空氣之中。若空氣與壁面?zhèn)鳠釘?shù)為50W/(m?協(xié)，壁的導(dǎo)熱系數(shù)為3W/(mK),試確定壁中的最高溫度。解：由題意：x=0,d=0;x=5，一九d=h(t)dxdxft=2XL)083x104()3x104x0.1n2一x2丿+1一x012-x2丿+25hf2x350當x=0;t=135Cmax程序：>>dsolve('D2y=-10"4','

34、Dy(0)=0','y(0.1)=3*104*0.1/50+25')ans=-5000*t“2+135繪圖：>>t=linspace(0,0.1,50);y=-5000.*t.“2+135;plot(t,y)以上能看出，MATLAB中有特定的函數(shù)，便于我們解決簡單的邊值問題，以減少較多計算量，使繁瑣的計算變得簡潔、明了，并且其強大的繪圖功能也便于我們直觀的看到溫度分布曲線。3MATLAB在穩(wěn)態(tài)與動態(tài)導(dǎo)熱過程分析中的應(yīng)用熱傳遞過程主要分為穩(wěn)態(tài)傳熱與動態(tài)傳熱兩大類。描述傳熱過程的數(shù)學模型多為微分方程，要對傳熱過程進行分析研究，必須求解這些微分方程。但是只有在個別

35、簡單的情形下可以獲得解析解；如一維穩(wěn)態(tài)傳熱過程可以獲得形式較為簡單的解析解。一維動態(tài)傳熱過程在某些簡單邊界、初始條件下能獲得無窮級數(shù)解，而多數(shù)的傳熱過程則無法獲得解析解。因此對于傳熱過程的模擬研究則需要利用有限差分法、正交配置法、有限元法等數(shù)值方法求解描述傳熱過程的微分方程，這使得研究過程重復(fù)編程工作量大，效率低。隨著計算技術(shù)的發(fā)展，尤其MATLAB的發(fā)展為傳熱過程的研究分析提供了一個強有力的數(shù)值與求解工具。利用MATLAB中的PDETOOL工具箱、BVP4C、PDEPE等命令能夠很好地求解一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱、二維穩(wěn)態(tài)、二維動態(tài)導(dǎo)熱等傳熱問題。3.1MATLAB在穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱分析中的應(yīng)用在傳熱過程的分析

36、研究中，為了工程應(yīng)用必須要達到兩個基本目的，即確定所研究傳熱問題的溫度分布和傳遞的熱流量；所以對傳熱過程的分析研究中必然要求解傳熱微分方程。對穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，在直角坐標系中其導(dǎo)熱微分方程為：對一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，當邊界條件較為復(fù)雜或者微分方程只能用柱坐標、球坐標系表示時，難以獲得解析解，如在直徑為20mm的圓管外安裝環(huán)形肋片，其表面溫度t0為260°C，肋片導(dǎo)熱系數(shù)入為45W/mK，置于環(huán)境溫度t必16°C、對流傳熱系數(shù)h為150W/m?K的氣流中;要求確定肋高H為0.01m，肋厚6為0.0003m環(huán)肋的溫度分布及單個環(huán)肋的散熱量。這一問題是導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)的一維穩(wěn)定熱傳導(dǎo)，柱坐標表

37、示的導(dǎo)熱微分方程為：1d(dt、hp(t-1)2h(t-1)rI丄gogordt(dr丿兀XAC局C邊界條件為：r=r1時，t0=26O°C(肋根)r=r2=r+H時,dtdrr=r2=0(肋端絕熱)。可見這是兩點邊值的常微分方程求解問題，常規(guī)方法是利用肋效率曲線圖進行計算，讀圖誤差大其計算繁瑣；若利用MATLAB求解，需將其轉(zhuǎn)化為常微分方程y；=y2,2h(y-y)y組的形式：3)vy=12-2X5xy(r)=260,y(r)=0,r<x<r112212其中，y1表示溫度，x表示半徑；在MALTAB中建立兩個函數(shù)huanleifun.m和huanleibc.m分別確定以

38、上常微分方程組和邊界條件。Function/=huanleifun(x,y)/(i)=y(2)；/(2)=2*150/45/0.0003*(y(1)-16)-y(2)./x;/=/(1);/(2)；function子=huanleibc(a,b)/=a(1)-260;b(2);其中，a(1)代表常微分方程組中第一個因變量y1的左邊界，b(2)代表常微分方程組中第二個因變量y2的右邊界;那么在MATLAB命令窗口中輸入以下命令:solinit=bvpinit(0.01:0.001:0.02,1,1);sol=bvp4c(huanleifun,huanleibc,solinit);plot(sol

39、.x-0.01,sol.y(1,:)q=-45*2*pi*0.01*0.0003*sol.y(2,1);bvpinit是對常微分方程邊值問題先劃分初始網(wǎng)格，其中第一個參數(shù)是對x坐標進行的分割，第二個參數(shù)為因變量的初值，而后利用邊值問題的求解器bvp4c求解，結(jié)果賦值給變量sol,sol.x為自變量，sol.y為因變量，sol.y(l,:)則為y值，sol.y(2,:)則為y2值，所以sol.y(1,:)即為肋片上對應(yīng)于不同肋片位置sol.x-0.01的溫度分布,繪圖命令為plot(sol.x-0.01,sol.y(1,:),所得溫度分布如圖1所示；而肋片的散熱量都必須要通過肋根向外傳遞,所以在

40、肋根處的傳熱量可以根據(jù)傅里葉定律計算,即：Q=九A方rr=r1(4)MATLAB命令為：q=-45*2*pi*0.01*0.0003*sol.y(2,1),結(jié)果為35.7581W對于二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,無論在何種坐標系中其導(dǎo)熱微分方程通常無法得到解析解,只能采用有限差分法、正交配置法、有限元法等數(shù)值方法求解,但采用這些方法需要進行大量的編程工作,并且對于不同的導(dǎo)熱問題,重復(fù)編程,效率低；而MATLAB則為偏微分方程的求解提供了一功能強大的PDETOOL工具箱。如圖2所示的偏心環(huán)形空間內(nèi)表面溫度為100°c，外表面溫度為20°C；試給出其溫度分布。0.64302科爭2Tempera

41、turedislnbutionoftwo-dimensionalheat圖2二堆儘態(tài)溫度井布在MATLAB命令窗口中輸入PDETOOL命令，啟動PDETOOL工具箱，其主界面如圖3所示，利用PDETOOL工具箱求解偏微分方程的方法步驟如下：(1)在此界面中利用Draw菜單在坐標系中畫出所研究的導(dǎo)熱物體的形狀，其形狀可由方形、橢圓形、圓形及任意折線組成,所以對于不規(guī)則形狀的導(dǎo)熱物體均可以在PDETOOL中繪制出來；（2）在PDETOOL窗口中選擇相應(yīng)的邊界，由Boundary菜單中的SpecifyBoundaryCondition選項輸入邊界條件，其邊界可以是Neumann、Dirichlet和

42、混合邊界條件；針對本問題選擇Neumann邊界條件，其格式為Ht=R;其中在內(nèi)表面處溫度為100°C,則設(shè)置H=1、R=1OO;相應(yīng)在外表面邊界上則設(shè)置H=l、R=20;此處的H、R可以是自變量和因變量的函數(shù)，所以可適用于復(fù)雜的邊界條件；（3）在PDE菜單PDESpecification選項中定義偏微分方程的形式包括橢圓形、拋物型、雙曲型、特征型偏微分方程；對于本問題來說是二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱為橢圓型偏微分方程；（4）PDETOOL是利用有限元法來求解偏微分方程的，所以要對其求解區(qū)域分割三角形網(wǎng)絡(luò)，這由Mesh菜單來實現(xiàn)，分割后的網(wǎng)絡(luò)圖如圖3所示；由于三角形網(wǎng)格的大小形狀是任意的，所以它可適

43、用于各種形狀的求解區(qū)域；5）由Solve菜單求解偏微分方程；（6）利用plot命令將求解結(jié)果以各種類型圖（包括等值線圖矢量圖、網(wǎng)格圖、三維圖、動畫等）的形式表示出來如圖2所示，圖2中的實線為等溫線圖中箭頭大小表示了其溫度梯度的大小，根據(jù)圖示等溫線的疏密程度和箭頭的分布情況即可分析其熱流密度等各傳熱特性；或者由Mesh菜單中的ExportMesh和Solve菜單中的ExportSolution選項導(dǎo)出求解網(wǎng)格的坐標和結(jié)果數(shù)據(jù)；供傳熱過程的進一步分析如傳熱量大小的分析Fig.3Maininierfoceofpdetwl.圖3PDETOOLT具主界叛3.2MATLAB在動態(tài)傳熱分析中的應(yīng)用MATLA

44、B還可以應(yīng)用于動態(tài)過程，對動態(tài)導(dǎo)熱過程，在直角坐標系中導(dǎo)熱微分方程為：+5)dtaaatpc=人dzIdz丿axIax丿ay(ay丿<對于一維動態(tài)導(dǎo)熱，其解析解為無窮級數(shù)，十分不利于應(yīng)用。如厚度為20cm鋼板溫度為20°C,平壁導(dǎo)熱系數(shù)為34.8W/m°C,現(xiàn)將其置于1000V的爐中加熱,對流傳熱系數(shù)h=174W/m?°C,導(dǎo)溫系數(shù)為a=0.555X10-5mN；試分析溫度分布隨時間的變化及鋼板表面溫度達到500C時所需的時間和傳熱量。其導(dǎo)熱微分方程為：ata2t=aax2(6)初始條件為：t(x,0)=20(7)邊界條件為：毬0(平壁中心坐標為0,絕熱)a

45、xht(0.1,t)-1=九at(0.1,T)(8)gax以上拋物型微分方程的解析解為一無窮級數(shù),根據(jù)傳熱過程溫度分布的變化情況分為正規(guī)階段和非正規(guī)階段。在正規(guī)階段可以用無窮級數(shù)的第一項作為近似解,但其計算涉及到求解隱式的超越方程,過程十分繁瑣；故工程上利用哈斯勒圖進行計算,但結(jié)果誤差很大；而對非正規(guī)階段,則必須依次計算無窮級數(shù)中的各項直至達到精度為止,計算量大。若采用MATLAB求解該問題則十分快捷方便。根據(jù)拋物型微分方程的標準式：au1a()c=*m,f+Sdtax(9)式中u=u(t,x)與t=t(T,x)對應(yīng)，m為形狀因子，m=0丄2分別為對應(yīng)無限大平板、柱形和球形;建立偏微分方程函數(shù)

46、pdefun.m及初始條件與邊界條件函數(shù)icbun.m與bcfun.mfunctionc,f,s=pdefun(x,t,u,dudx)c=1/0.555e-5;f=dudx;s=0;functionu0=icbun(x)Fi吞4TemperaturiidistributinnofoiLe-dimensionalunaieAdy-alateh&stconduction,圖4一堆幼態(tài)視度分布FigL5TemperaturedifitTibution.圖攻溫度分布圖u0=20;functionpl,ql,pr,qr=bcfun(xl,ul,xr,ur,t)pl=0,ql=1;pr=174*(

47、ur-1000);qr=34.8而后對空間和時間劃分網(wǎng)格，應(yīng)用pdepe命令求解該偏微分方程，其解結(jié)果存放在sol中，命令如下：x=linspace(0,0.1,20);t=0:60:2160;sol=pdepe(0,pdefun,icfun,bcfun,x,t);mesh(x,t,sol)對一個偏微分方程sol為mXnXl矩陣，其中第一維與時間網(wǎng)格對應(yīng)，第二維與空間網(wǎng)格對應(yīng)；用mesh(x,t,so1)命令可以繪出空間、時間與偏微分方程解(對本問題來講就是不同時刻不同位置的溫度)的關(guān)系如圖4所示。而用p1ot(x,so1(m,:,1)可以畫出在60m-60(60為時間網(wǎng)格步長)時刻導(dǎo)熱物體的

48、溫度分布，如圖5所示。以上時間網(wǎng)格設(shè)置為t=0:60:2160,所以在圖4中x方向的各條線與不同的時刻0、60s、120s、2100s、2160s共37個時刻對應(yīng)；從圖中可知當傳熱時間達到500°C；而60s-60時刻x0處的溫度可用uout,duoutdx=pdeval(0,x,sol(m+l,:,:),x0)命令求解，其中uout為溫度，duoutdx為對應(yīng)的溫度梯度；如加熱時間達到2160s時，執(zhí)行命令uout,duoutdx=pdeva1(0,x,so1(37,:,:),0)可得鋼板中心溫度為371.2850C。而從圖5可知鋼板加熱時間小于240s時，其溫度分布曲線隨時間而變

49、化，故該階段傳熱的非正規(guī)階段；當加熱時間大于240s后，溫度分布形狀不再變化,進入了正規(guī)階段。將鋼板的表面溫度加熱到500C整個傳熱過程為動態(tài)的，但是鋼板得到的熱量均是通過表面?zhèn)鬟f到內(nèi)部，所以只要將每一時間網(wǎng)格內(nèi)的表面?zhèn)鳠崃肯嗉蛹纯傻玫娇倐鳠崃浚恳粫r間網(wǎng)格內(nèi)的傳熱量只要時間間隔足夠短就可用下式計算：10)Q=hAsol(m,n,l)一tAt其中，m為時間網(wǎng)格數(shù)，n應(yīng)為鋼板表面處的網(wǎng)格節(jié)點，由于空間網(wǎng)格劃分為x=linspace(0,0.1,20)共有21個節(jié)點，節(jié)點n=21即代表鋼板表面；由以下程序即可求得總傳熱量Q=-2.4797X108J。q=0;form=1:36%36為時間網(wǎng)格數(shù)(

50、不含零時刻)q=q+174*(sol(m,21,1)+sol(m+1,21,1)/2-1000)*60;end對于二維動態(tài)導(dǎo)熱，同樣可用PEDTOOL工具箱求解。如有一磚砌變長為1m煙氣通道，其中心有一直徑為0.5m的管道。已知煙氣通道原溫度為25°C，零時刻開始內(nèi)外壁溫分別維持在80C、25C,磚的導(dǎo)熱系數(shù)為1.5W/mC,導(dǎo)溫系數(shù)為0.00001W/mC,試確定：(1) 該通道的溫度分布隨時間的變化;(2) 傳熱穩(wěn)定后距離任意相鄰兩直角邊各0.1m處的溫度；(3) 傳熱穩(wěn)定后每米長煙道上的散熱量。本問題為二維動態(tài)導(dǎo)熱過程，其微分方程為：d21d21'+dx2dy2丿dt1

51、1)=a通過solve菜單parameters選項可對時間網(wǎng)格及初始條件進行設(shè)置，時間網(wǎng)格設(shè)置為0：100：8000即從零時刻開始計算到8000s，時間間隔為100s；初始溫度設(shè)置為25C。將PDETOOL計算的網(wǎng)格數(shù)據(jù)p,e,t和因變量即溫度結(jié)果(保存于u矩陣中)導(dǎo)出，其中u為nXm矩陣,其中第一維與網(wǎng)格節(jié)點對應(yīng)，第二維與時間網(wǎng)格對應(yīng);由命令pdemesh(p,e,t,u(:m)即可繪制出100m-100s時刻的溫度分布圖，如圖6所示。其中x、y為煙道界面的坐標，t為溫度；圖6中分別是t=0s、100s、300s、600s、1000s、2000s、5000s、8000s時刻的溫度分布圖，從圖中可看出溫度分布的變化情況，可見在5000s之后溫度分布已不再隨時間變化。若將8000s的溫度分布視為穩(wěn)定的溫度分布，則2000s時的溫度分布與之相對誤差為2.44%，而5000s后的溫度分布完全可以認為進入穩(wěn)定傳熱階段。那么要求其中任一點