2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線復(fù)習(xí)題

1、圓錐曲線復(fù)習(xí)題1.已知尸為拋物線C： P=2px (p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)Z (7. b) (6>0)在拋物線C上，且 4MF|=3.(1)求以線段1/為直徑的圓的方程；(2)不過原點(diǎn)。且斜率為1的直線交拋物線C于M, N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，T->且|OP|=|MP|,求直線肋V的方程.【分析】(1)由的值即拋物線的性質(zhì)可得p的值，進(jìn)而求出拋物線的方程，將4的點(diǎn) 的只能代入拋物線的方程可得b的值,即A的坐標(biāo)，由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)， 進(jìn)而求出/尸的中點(diǎn)的坐標(biāo)，求出以尸為直徑的圓的方程；(2)由題意設(shè)直線的方程，由題意可得OM_LCW,可得M, N的坐標(biāo)的關(guān)系，將直

2、 線A/N與拋物線的方程聯(lián)立可得兩根之積，再由垂直可得橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而求出參 數(shù)的值，即求出直線的方程.【解答】解：(1)由題意，及拋物線的性質(zhì)可得：AF=3=l + l，解得：p=4,所以拋物線的方程為：f=8'；4由點(diǎn)/在拋物線上，所以廬=8-，b>0,4可得：6=2&：所以力(1, 2V2),由拋物線的方程可得焦點(diǎn)尸(2, 0)3所以力尸的中點(diǎn)坐標(biāo)(1 V2),所以以線段/尸為直徑的圓的方程：(X2)2+ (y-y/2) 2=-(2)因?yàn)槭荕V的中點(diǎn)，S.OP=MP,可得。M_LOM由題意設(shè)直線MV的方程為*=尹用，則mWO,設(shè) A/ (xi, y), N(X

3、2，”)，聯(lián)立；2=*",整理可得：/ -歲-8m=0,貝UZ=64+32加>0,可得：m> - 2,且yi+”=8, yyi= - 8w»m.|（y/2）22貝U xm=m ,64由 OALLON,所以 xix2+yiy2=0，即-8加=0,可得m=8或m=0 （舍），所以直線MN的方程為：x=y+8,即直線MV的方程：x-y-8=0.【點(diǎn)評】本題考查求拋物線的方程及圓的方程的求法及立線與拋物線的綜合，屬于中檔 題./ y22.已知雙曲線方程為丁一三=1, Fi，尸2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，離心率為2,點(diǎn)P為雙 a2 爐曲線在第一象限上的一點(diǎn)，且滿足pp%2 =

4、0，|朋|尸產(chǎn)2尸6.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過點(diǎn)尸2作宜線1交雙曲線于Z、8兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)0 （機(jī)，0）使 得區(qū)1m為定值，若存在，請求出機(jī)的值和該定值，若不存在，請說明理由.【分析】（1）由離心率及a, b, c之間的關(guān)系可得a, b的關(guān)系，再由=0,尸卅刑=6,可得a, b的值，進(jìn)而求出雙曲線的方程；（2）分直線/的斜率為0和不為0兩種情況討論，直線與雙曲線的方程聯(lián)立可得兩根之和及兩根之積，求出數(shù)量積區(qū)1 誦的代數(shù)式，由其值為定值可得加的值及定值.【解答】解：（1）由題意可得e=；=2,可得c=2a, b2=c2 - =3,所以6= V3a,> >又因?yàn)?/p>

5、PF1PF2=O,門|尸2|=6.在Rt/XPAFz中，由門|尸2|=6.由- |尸乃| = 2。，所以可得乃|2+|尸尸2|2 - 2尸1|尸尸2| = 442,而尸尸1+|尸冏2=42,所以 4c2- 12=4。2,可得/=3, a2=l>所以雙曲線的方程為：?-=1；（2）由（1）可得彷（2, 0）,當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，/： y=0,此時(shí)力(-1, 0), B (1, 0),由M (用，0),則1誦=”2-1,當(dāng)/的斜率不為0時(shí)，設(shè)/： x=ty+2, A (xi，/)，B (x2, ”)，聯(lián)立整理可得：(3? - 1) /+12ry+9=o,(3xz yz = 3,m si 2

6、112t9因?yàn)閺V彳可 yi+y2= y= > >因?yàn)镼4QB = (xi - m, y )*(x2 - m, y2)= (“i+2 - zw) (tyi-2 - m) +yiy2= (r+1)yyi(2-加)t+ (2 -) 2(12S-15)/+92=nF k2 - m) ,3tz-l一 t -12m159要使Q4Q8為定值，則一;=,解得加=-1, 31所以 ° (-1, 0).【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的求法及直線與雙曲線的綜合，數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔 題.3.如圖，已知點(diǎn)Q ( - 2, 0), Fi (2, 0),以線段尸2G為直徑的圓內(nèi)切于圓O： ,+爐=8,

7、點(diǎn)G的軌跡為E.(I)求點(diǎn)G的軌跡E的方程；(II)軌跡E與y軸正半軸交于點(diǎn)4 是否存在直線/與軌跡E交于M, N兩點(diǎn)，使得點(diǎn)五2為的垂心，若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理由.【分析】(I)記線段F2G的中點(diǎn)為H,由于線段F1F?的中點(diǎn)為O,連接OH,設(shè)。，的半徑為八。與。內(nèi)切于0，連接“0，說明O, H,。三點(diǎn)共線，然后利用橢圓定義求解橢圓方程.（II ）設(shè)直線/的方程為聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)點(diǎn)A/（xi，yi）, N（X2,只）， 根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合京N瓶= 0,解得機(jī)，然后求解直線/的方程.【解答】解：（I ）記線段尸2G的中點(diǎn)為H,由于線段Q尸2的中點(diǎn)為。，連接CW，則 OH

8、/FiG, 0H =!|6|,設(shè)?！钡陌霃綖閺S，。，與。內(nèi)切于。，連接則。，H,。三點(diǎn)共線，于是 IGF/ + |GF2| = 2(|H0| + HF2) = 2(|H0| + |HQ|) = 20Q = 4&.x2 y2又ia尸2尸4,根據(jù)橢圓的定義可得e的方程為盟+ = i.(II )假設(shè)存在滿足條件的宜線/,由/ (0, 2),尸2(2, 0),知直線/尸2斜率為-1，于是由知直線/的斜率為1,設(shè)直線/的方程為N y2由 目 + 彳=1，消去y 得 3x2+4/hx+2w2 - 8=0, y = x + m設(shè)點(diǎn)A/ (xi，川)，N(X2，歹2)，根據(jù)韋達(dá)定理得/ +x2 =竽，

9、x2 = 2m? 8,>>T由 4知_1杯2 知AM-NF2 = 0,因?yàn)锳M = 01，% 2), NF2 = (2-x2, -y2)，T-所以AM - NF2 =無1(2 x2) (% 2)y2 =算式2 x2)(與 + m 2)(x2 + m)=-2xix2+ (2 - m) (xi+x2) - m - 2)=-2(2m；-8)+ « - m)(一竽)-m(m 2) = 0,解得加=2 (舍)或TH = -*因此所求得直線/的方程為y = % - *【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以 及計(jì)算能力，是難題.224.如圖，橢圓晟

10、+;=1與拋物線f=4x相交于4, B兩點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為足（I ）若過點(diǎn)尸且斜率為1的直線/與拋物線和橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn)，從左至右依次 為為72.乃,74.求I，乃|+|仆儀的值;（II）若直線m與拋物線相交于M, N兩點(diǎn)，且與橢圓相切，切點(diǎn)。在直線右側(cè)， 求|炳+|叼的取值范圍.【分析】（I）寫出直線I的方程為歹=x - 1,設(shè)“（xi，yi）, Tl（X2, ”）, 73（X3，”）， Ta（X4，泗），利用拋物線的性質(zhì)推出|71乃1= &（X2 -XI）, |乃川=&（X4 - X3）»分別聯(lián) 立直線與橢圓，拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得I，乃|+|73|=

11、笠也.22（II ）聯(lián)立拋物線與橢圓的方程，求出4, 8橫坐標(biāo)，設(shè)。（刈，泗），則一+ 32求出切線？的方程，設(shè)A/ （xa/, ys/）, N （xn, yN）,聯(lián)立直線與拋物線的方程，結(jié)合韋 達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解明尸|+|即的取值范圍.【解答】解：（I ）由題意，F(xiàn) （1, 0）,直線/的方程為歹=x- 1,設(shè)八（xi，y）, T1（X2，/），乃（X3，”），T（X4，J4），則|7172|=近（X2 - XI ）,|乃|= V2（X4 - X3），所以 17ml+|乃8=a（X2+X4 - X - X3）= V2（X2+X4） -（X1+X3）»聯(lián)立直線與橢圓的方程，Sy = x

12、 1X2 y2 _ -得 5/-6x-3=0,T + T= 1聯(lián)立直線與拋物線的方程,y = x - 1 y2 4x得 x2 - 6x+l =0,所以應(yīng)+五4=6, 所以|八72|+|乃|=若2已上比_ 1(II)由 3" + 1- L 解得工=-3+2次, y2 = 4%所以=初=-3+2V3,設(shè) D (xo，/)，則今"+ =1»切線m的方程為2xox+3yoy - 6=0,其中-3+28 <xo< V3,設(shè) M （邛/, yw）, N（XN，沖），叫2毅+ 3%y - 6 = 0,得 xoV -（6因0+9泗2） x+9=0,整理得 xo22 - （ - 6/o+6