2022年高考數(shù)學復習新題速遞之導數(shù)（2021年9月）

1、2022年高考數(shù)學復習新題速遞之導數(shù)(2021年9月)一.選擇題(共io小題)I . ( 2021春樂山期中)曲線y = /(x)在點(X。，%)處切線為y = 2x + l ,則lim /(/)-/(%-2 等于()aXA. -4B. -2C. 4D. 22. (2021春樂山期中)已知函數(shù)/(x)導函數(shù)為廣(x),且滿足關系式f(x) = /nx+Nf (1)+/,則/' (1)的值等于( )e2g2A -2 - eB 2C D. -c 1223. (2021春樂山期中)已知函數(shù)y = /(x),其導函數(shù)y = /，(x)的圖像如圖所示，則下列對 函數(shù)y = /(x)表述不正確的是

2、()yA.在x = 0處取極小值B.在x = 2處取極小值C.在(0,2)上為減函數(shù)D.在(2,4)上為增函數(shù)4. (2021春古城區(qū)校級期中)已知定義在R上的函數(shù)/(x), /'(X)是其導函數(shù)，且滿足/'a)-/(x)>0, f (1) =e,則不等式x)>e* 的解集為( )A. (-oo,l)B. (l,4-oo)C. (-00,e)D. (e，田)5. (2021春大竹縣校級期中)已知函數(shù)/()=(/以+ 1-公2)(/-2,“一以2),若存在實數(shù)。使得f(x)<0恒成立，則實數(shù)，的取值范圍是()1 1A. (1 -Z/j2) > +oo)B.

3、 (-00 , (1 -/«2)C. (1 /n2),l)D. (-1,-(1 /n2)6. (2021春大竹縣校級期中)函數(shù)/(x)在定義域(0,+oo)內恒滿足f(x)才(x)<3f(x), 其中/'(x)為/(x)的導函數(shù)，貝4()A.B, 2<Z(3)<316 /(4) 6416 f(4) 427 /(3) 3,64 /(4) 47. （2021春岑溪市期中）曲線y = xe-在點（1,1）處的切線方程為（ ）A. y = 2x 1B. y = 2x +1C. y xD. y = x-28. （2019春思明區(qū)校級期中）設曲線/（x） = l + c

4、osx在點（工J（馬）處的切線與直線 44x-歐+ 1=0平行，則實數(shù)a等于（）A V2A.29.曲線y = gxB. -C. &D. -y/223-2在點（1,-3處切線的傾斜角為（）A. 1B. -C. D.-44410. （2021春電白區(qū)期中）一輛汽車按規(guī)律$ = 4r+1做直線運動，若汽車在，=1時的瞬時速度為4,貝Ua = （）A. -B. -C. 2D. 323二.多選題（共3小題）11. （2021春順德區(qū)校級期中）已知）=也，下列說法正確的是（）XA. 7（x）在x = l處的切線方程為y = x-B.單調遞增區(qū)間為（to,e）C. f（x）的極大值為1 eD. /（

5、x）的極小值點為x = e12. （2021春電白區(qū)期中）已知函數(shù)/（）=0?+以2+5,其導函數(shù)y = /'（x）的圖象經過點（1,0）, （2,0）,如圖所示，則下列說法中正確的是（）B. /(x)在(-00,1)上單調遞增C.當x = 2時，函數(shù)/(x)取得極小值D.當x = l時，函數(shù)f(x)取得極大值13. (2021春徐州期中)已知定義在R上的函數(shù)f(x),其導函數(shù)r(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述錯誤的是()A. f (b) >f (a) >f (c)B.函數(shù)/(x)在x = c,處取得極小值，在x = e處取得極大值C.函數(shù)/(x)在x = c處取得極大

6、值，在x = e處取得極小值D.函數(shù)f(x)的最小值為了 (d)三.填空題(共4小題)14. (2021春安徽期中)已知實數(shù)a與b是函數(shù)f(x) = x-L + /優(yōu)的兩個極值點，且awe, xe2,則f (b) -f (a)的最小值為.15. (2021春樂山期中)若曲線/(x) = -e* + 2的一條切線與直線/:x-ey + 5 = 0互相垂直,則該切線方程為.16. (2021春宜興市校級期中)已知函數(shù)/(x) = /ar + V + x-3的極小值大于零，則實數(shù)k的X取值范圍是7，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若17. (2021春邯鄲期中)已知函數(shù)f(x) = Y-4x + 2/-彳

7、f(2a2) + f(-a,0,則實數(shù)a的取值范圍為四.解答題(共5小題)18. (2021 思明區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(x) = x/nx-av , a&R .(1)若/(x) + ±.0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；X(2)當。=一1 時，證明：/(x)>4x + -519. (2021 雞冠區(qū)校級三模)已知函數(shù)/。)=加 +。(12-幻+ 2 .(1)當a = T時，求/(幻函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當0時，若/(x)的極大值點為八 ,求證：f(xx)-2ln2 + .20. (2021南明區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(x) = ld-Lox2(aeR)在0, 1上的最小值為

8、.326(1)求的值；(2)討論函數(shù)g(x) = /(x)-2x+bSeK)的零點個數(shù).7V221. (2021 孟津縣校級模擬)定義在(0,+oo)上的關于x的函數(shù)f(x) = (x-l)e、-.(1)若a = e ,討論f(x)的單調性；(2) /(X), 3在(0, 2上恒成立，求”的取值范圍.22. (2021孟津縣校級模擬)函數(shù)/(x) = 2/(x + 2) + 日一+ x 2。一2).x + 2(1)討論/*)的極值點的個數(shù)；(2)設g(x) = e"(x),若g(x)2恒成立，求。的取值范圍.e2022年高考數(shù)學復習新題速遞之導數(shù)（2021年9月）參考答案與試題解析選

9、擇題（共10小題）1. . （ 2021春樂山期中）曲線y = /（x）在點（看 , %）處切線為y = 2x + l ,則 lim /（%）-/（/2«）等于（）AXA. -4B. -2C. 4D. 2【答案】C【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】轉化思想；定義法；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運算【分析】由題意可得/'（x0） = 2,再由導數(shù)的極限定義，可得所求值.【解答】解：y = /（x）在點（. , %逸切線為y = 2x + l,可得了'（%） = 2,則 lim /（/）-玉-2聞=2Hm /（%）-/（%-2® = 2/,（%） = 4.

10、 aX732aX故選：C.【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，以及導數(shù)的極限定義，考查轉化思想和運算 能力，屬于基礎題.2. （2021春樂山期中）已知函數(shù)/（x）導函數(shù)為J"（x）,且滿足關系式/（x） = M+2j（1）+/,則尸（D的值等于（）/g2A. -2 cB 2C D. -c122【答案】D【考點】導數(shù)的運算【專題】函數(shù)思想；定義法；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運算【分析】利用基本初等函數(shù)的求導公式求出尸（x），然后令x = l,求解/（1）即可.【解答】解：因為/。）=加+ 2口，（1） +ex,則/>'。）=+ 2/（1） + /, X所以 f (1)

11、 =1 + 2/' (1) +e,則/(1) =-e-l.故選：D.【點評】本題考查了導數(shù)的運算，主要考查了基本初等函數(shù)的求導公式的運用，考查了化簡 運算能力，屬于基礎題.3. (2021春樂山期中)已知函數(shù)y = /(x),其導函數(shù)y = _f(x)的圖像如圖所示，則下列對 函數(shù)y = /(X)表述不正確的是()A.在x=0處取極小值B.在x = 2處取極小值C.在(0,2)上為減函數(shù)D.在(2,4)上為增函數(shù)【答案】A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】數(shù)形結合；數(shù)形結合法；導數(shù)的概念及應用；邏輯推理【分析】根據導函數(shù)圖像，利用導數(shù)與函數(shù)單調性和極值的關系，即可求得答案.【解答】

12、解：由圖像可知，當x<0, 2Vx<4時，f'(x)>0,函數(shù)x)單調遞增，當0<x<2, x>4時，/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調遞減，所以，當x = 0, x = 4時，/(x)取極大值，當x = 2時，/(x)取極小值，所以A不正確，88正確，故選：A.【點評】本題考查導致的應用，考查導數(shù)與單調性和極值的關系，屬于基礎題.4. (2021春古城區(qū)校級期中)己知定義在/?上的函數(shù)/*),廣(x)是其導函數(shù)，且滿足f (1) =e,則不等式/(x)>e* 的解集為( )A. (-oo,l)B. (1,-w)C. (-00,e)

13、D.【答案】B【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性【專題】函數(shù)思想；構造法；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算【分析】令g(x) = 4D,依題意可得g'(x)>0, g(x)為R上的增函數(shù)，又/ (1) =e, exf(x)>e'o/電>半，即g(x)>g (1),從而可得答案.ex e【解答】解：令g(x) = /, exv/Xx)-/(x)>0,.g，(x) Jxfx)>0,ex.g(x)為R上的增函數(shù)，又/ (1) =e,即 g(x)>g( 1).一、, fx) , /(I) f(x) > ex <=> 娛/>1 =中

14、不等式f(x)> e'的解集為(l,+oo),故選：B.【點評】本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，考查等價轉化思想，考查了邏輯推理能力 與數(shù)學運算能力，屬于中檔題.5. (2021春大竹縣校級期中)已知函數(shù)/。) = (/心+1-奴2)(/口，一"2),若存在實數(shù)。使得了(x)<0恒成立，則實數(shù)，"的取值范圍是()A. (；(1一/2), +oo)B. (-co, ；(1-歷2)C. (1 /n2), 1)D. (-1,-(1 /zi2)【答案】B【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值【專題】函數(shù)思想：轉化法：導數(shù)的綜合應用；邏輯推理【分析】將問題轉化為存在實

15、數(shù)”使得加+1<52</-2m恒成立，即可求解.【解答】解：要存在實數(shù)。使得/(x)<0恒成立，山+ 1-如2,一加一正一負恒成立,檢驗當xw(02)時，lnx+<0, e*H>0, e"2n> >/nx + l , e所以存在實數(shù)使得/依+1 < ar2 V恒成立，先考慮存在實數(shù)a使得勿r +1 v ar2恒成立，Inx +1 < ax2,<a，lnx + 二口 /、 /nr + 1，/ .記 g(x) = -丁-, g'(x) =rx 2x(Jnx +1)2lfvc 1所以xw(0,e2), gx) >0

16、, g(x)單調遞增, xe(e 2 , +oo), g<x)vO, g(x)單調遞減，所以 g(x)g = g(”)= (所以a.£2x-2ni再考慮存在實數(shù)。使得依2/為恒成立，即4<一，X只需芻<二，工<2e3”T恒成立，設“x) =工，x>0,2 x exexf(x)=VA , xg(0,2), eAzr(x)>0, f(x)單調遞增，xg(2,+oo) , tr(x) < 0, «x)單調遞減，所以=4，-<2e-2m-',解得xe(-oo，-(l-/n2), e e2故選：B.【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用

17、，解題中需要理清思路，屬于中檔題.6. (2021春大竹縣校級期中)函數(shù)在定義域(0,+oo)內恒滿足/(x)'(幻v3/(x),B.D.9 < / < 316 7(4) 4，3<14 /(4)其中r(x)為/(%)的導函數(shù)，則( )a.16 /(4) 64c區(qū)出<3 ,64 /(4) 4【答案】C【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 【專題】導數(shù)的綜合應用；邏輯推理；數(shù)學運算；計算題；函數(shù)思想；構造法【分析】分別構造函數(shù)g(x) = &t xw(0,e), a(x) =華，xg(0,-kx>),利用導數(shù)研究XX其單調性，即可求得的取值范圍./(4)【

18、解答】解：令g(X)= AW，XG(0,-KO), Xg,“)=的雪上，JCV Vx G (0, +oo) , f(x)< xff(x) < 3/(x)恒成立，/./(x)>0,則 g<x)>0,函數(shù)g(x)在xe(0,+oo)上單調遞增，,.g (3) vg (4), BP4/ (3) <3f (4),/(4) 4令人(x) = , xe(0,+oo), x(加礦(x)'W(x),x4v Vxg(0,-k») , /(x)<jr(x)<3/(x)恒成立，h'(x) < 0，.函數(shù)萬在x e (0,小)上單調遞減，

19、：.h (3) >h (4),即幽純，2764/(3) ? 27/(4) 64,綜上可得，2幽364 /(4) 4故選：C.【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，構造法的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.7. (2021春岑溪市期中)曲線y = xeI在點(草)處的切線方程為()A. y = 2x-1 B. y = 2x +1C. y = xD. y = x-2【答案】A【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】計算題；方程思想；綜合法；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運算【分析】先求出導數(shù)，然后求出切線的斜率，最后利用點斜式求出切線方程.【解答】解:由已知得y' =

20、ei(x + l),故斜率為無=川八產2,故 y-l = 2(x-l),即 y = 2x-L故選：A .【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義及應用，屬于基礎題.8. （2019春思明區(qū)校級期中）設曲線f（x） = l+cosx在點（工,/（乙）處的切線與直線 44x-ay + l = 0平行，則實數(shù)。等于（）A. B. -C.五D.22【答案】D【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】方程思想；數(shù)學模型法：導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運算【分析】求出/（x）的導函數(shù)，求得切線的斜率，利用曲線在點（生,/（工）處的切線與直線 44冗-砂+1=0平行，即可求得值.【解答】解：由曲線/（x） = l+co

21、sx,可得r（x） = -sinx，當了=工時，嗚）=-4,.曲線在點（2,為）處的切線與直線x-做+1=0平行， 44-=,貝Ia = -0 a 2故選：D.【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查兩直線平行與斜率的關系，屬于基礎題.9.曲線y = gx3-2在點（1,-|）處切線的傾斜角為（）A. 1B. -C. D.-444【答案】B【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】方程思想；數(shù)學模型法；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運算【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x = l處的導數(shù)，再由斜率等于傾斜角的正切值求切線的傾斜角.【解答】解：由丫 =/-2,得y' = r, 3.九=產1，

22、即曲線y = gd2在點（1,-|）處切線的斜率為1,則曲線y = gd-2在點（1,-|）處切線的傾斜角為故選：B.【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義及應用，考查直線的傾斜角與斜率的關系，是基礎題.10. (2021春電白區(qū)期中)一輛汽車按規(guī)律s = a+i做直線運動，若汽車在，=1時的瞬時 速度為4,則“=()A. -B. -C. 2D. 323【答案】C【考點】變化的快慢與變化率；導數(shù)的運算【專題】函數(shù)思想；定義法；導數(shù)的概念及應用；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】求出s',由題意建立等式，求解。的值即可.【解答】解：因為s = a/ + l,則 s' = 2at >因為汽車

23、在t = 1時的瞬時速度為4,所以2a = 4,解得a = 2.故選：C.【點評】本題考查了導數(shù)在物理中的應用，解題的關鍵是掌握位移的導數(shù)即為瞬時速度，考 查了邏輯推理能力，屬于基礎題.二.多選題(共3小題)11. (2021春順德區(qū)校級期中)已知/*)=如，下列說法正確的是()XA. f(x)在x = l處的切線方程為y = x-lB.單調遞增區(qū)間為(to,e)C. /(x)的極大值為1 eD. 7(x)的極小值點為x = e【答案】AC【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究曲線上某點 切線方程【專題】函數(shù)思想；轉化法；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運算【分析】對/X

24、x)求導，結合導數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，可判斷選項A：利用導數(shù)分析函數(shù)f(x)的單調性，極值可判斷選項B, C, D.【解答解：/")=上空，f (1) =1, f (1) =0,./(x)的圖象在點(1,0)處的切線方程為y-0 = / (1) (x-1),即y = l-(x-l) = x-l,故A正確：在(0,e)上，f(x)>0, f(x)單調遞增，在(e,+oo)上，f'(x)<0 , /(x)單調遞減，x = e是f(x)的極大值點，故B,。錯誤，/(x)的極大值也是最大值為/ (e) = = 1,故C正確； e e故選：AC

25、.【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，單調性，最值，切線方程，屬于中檔題.12. (2021春電白區(qū)期中)已知函數(shù)/(x) = o?+以?+cx,其導函數(shù)y = /'(x)的圖象經過點(1,0), (2,0),如圖所示，則下列說法中正確的是()B. /(x)在(70,1)上單調遞增C.當x = 2時，函數(shù)f(x)取得極小值D.當x = l時，函數(shù)f(x)取得極大值【答案】BCD【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】計算題；轉化思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】根據極值的定義及圖形，便能看出函數(shù)分別在x=l,和x = 2處取得極值，從而能 判斷說法正確的個數(shù).【解答】解

26、：通過圖形知道，f(x)在(-oo,l)上單調遞增，x = l是函數(shù)f(x)的極大值點，x = 2是函數(shù)f(x)的極小值點，;.B、C > O 正確.故選：BCD.【點評】本題考查極大值和極小值的概念，以及對函數(shù)圖象觀察的能力，是中檔題.13. (2021春徐州期中)已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導函數(shù)_f(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述錯誤的是()A. f (b) >f (a) >f (c)B.函數(shù)/1(外在=。處取得極小值，在x = e處取得極大值C.函數(shù)/(x)在x = c處取得極大值，在x = e處取得極小值D.函數(shù)/(x)的最小值為/ (d)【答案】ABD【考

27、點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】函數(shù)思想；定義法；導數(shù)的綜合應用；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】利用/'(X)的圖象，確定r(x)的正負，從而得到了(x)的單調性，再確定/'(x) = 0的 根，結合函數(shù)極值的定義，分析四個選項即可.【解答】解：由導函數(shù)的圖象可知,函數(shù)/(x)在區(qū)間(-8,c) , (e,+8)內，fx) >0 ,則f(x) 單調遞增，在區(qū)間(c,e)內，r(x)<0,則單調遞減，所以/ (c) > f (a),故選項A錯誤；函數(shù)f(x)在x = c處取得極大值，在x = e處取得極小值，故選項5錯誤，選項C正確：函數(shù)/(x)沒有最小值，故選項

28、O錯誤.故選：ABD.【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)極值的應用，解 題的關鍵是掌握函數(shù)/(X)與/'(幻圖象的關系，考查了邏輯推理能力，屬于中檔題.三.填空題(共4小題)14. (2021春安徽期中)已知實數(shù)a與6是函數(shù)=+ 的兩個極值點，且ase,Xe2,則/ (b) -f (a)的最小值為一e【答案】e【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】函數(shù)思想；轉化法；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運算【分析】結合二次函數(shù)的性質求出b = L , t = -a-,得到/ (b) -f (a) aa=2( + )/na - ci H 9 a w e ,，令 g(x)

29、= 2(xi)lnx xh , e，根據函aax x數(shù)的單調性求出函數(shù)的最小值即可.【解答】解：/(x) = x - - + tlnx,定義域是(0,+oo),xrt.、 1 t X2 4- /X 4-1y/(x)=i+-=；， X X 廠方程f+戊+ 1=0的兩根正根分別是a, b,貝lj ' 4 > ° ,解得：t <2 f 且 a + b = T, ab = l,貝(jb=- , r = -6r, aa則/ (b) -f (a) = 2(a + )lna-a + , aee 9 e2, aa.112- g(x) = 2(x4)lnx - x H , x w

30、e , ,XXr2-l貝|J g'(x) = -z-lnx.x當時，g，(x)>0恒成立，.g(x)在e, 上單調遞增，n=g (e)=一，e則/ (b) f (a)的最小值是3 ,e故答案為：e【點評】本題考查了函數(shù)的單調性，最值問題，考查導數(shù)的應用，是中檔題.15. (2021春樂山期中)若曲線/(x) = -e*+ 2的一條切線與直線/:x-ey + 5 = 0互相垂直，則該切線方程為_ex + y-2 = 0_.【答案】ex + y-2 = 0.【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】方程思想；數(shù)學模型法；導數(shù)的概念及應用；數(shù)學運算【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函

31、數(shù)在切點處的導數(shù)，由題意求得切點的坐標，則切線 方程可求.【解答】解：由y = -，+2,得了 = -6，設切點為(%, %)，則y'U1c = -*,由題意，e* = e 得/ = 1 ,切點坐標為(1,2-e),切線方程為y-2 + e = -e(x-l),即ex + y 2 = 0.故答案為：ex+ y -2 = 0.【點評】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，關鍵是熟記基本初等函數(shù)的導 函數(shù)，是中檔題.16. (2021春宜興市校級期中)已知函數(shù)f(x) = /nx + A + x-3的極小值大于零，則實數(shù)k的 X取值范圍是_(2,+oo)_.【答案】(2,*8).【

32、考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】分類討論；方程思想；轉化法；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算bV k 4 c【分析】函數(shù)/(x) = /nr + + x-3 , xg(0,+oo) , fx) -:, x2 +x-k = 0 » XX= 1 + 43對于及其女分類討論，即可得出函數(shù)/(%)的單調性極值，根據函數(shù)/。)的極小 值大于零及其根與系數(shù)的關系即可得出實數(shù)2的取值范圍.【解答】解：函數(shù)/(x) = /nr +二+ %-3 , xg(0,4-oo),、1 k . X1 +x-kf(x) = 7 + 1=X JCX令犬+工一女二。， = 1 + 43令,（）,解得匕-2，此時Y+x-A

33、.O, r（x）.O,函數(shù)f（x）在8（0,轉）上的單調遞增， 4函數(shù)f（x）無極值.-1<Z,0 時，V+x-A>0, r（x）>0,函數(shù)/（x）在 X6（0,+oo）上的單調遞增，函數(shù)73）無 4極值.人>0時，A>0,設方程f+工一攵=0的兩個實數(shù)根為 , x2, Xj <x2,解得:-1-V1 + 4A:x.=12<0,>0,因此可得：函數(shù)/（X）在（0,公）上單調遞減，在（石，+8）上單調遞增.二天=工2時函數(shù)/3）取得極小值,kx + x>f(x2) = lnx2 d+ x2 3 = lnx2 + 工 + x2 - 3 = ln

34、x)+ 2x, -2 , f (1) =0 »x2x2又/(%)在(0,y)上單調遞增，/. x2 > 1 .四口>1,解得>2.2實數(shù)&的取值范圍是（2,”）.故答案為：（2,+oo）.【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了 了推理能力與計算能力，屬于難題.其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若717. (2021春邯鄲期中)已知函數(shù)f(x) = x3-4x + 2e，- f（2a2） + f（-l-a,O,則實數(shù)。的取值范圍為- 【答案】號,1.【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性【專題】函數(shù)思想；轉化法：導數(shù)的綜合應用；邏輯推

35、理；數(shù)學運算【分析】先求得函數(shù)x)是R上的奇函數(shù)，把不等式轉化為/(2/K-f(a + l),利用導數(shù)判斷函數(shù)Ax)的單調性，進一步將不等式轉化為2a2,a +1,求解即可.【解答】解：由題意可得，函數(shù)/(x) = xJ4x + 2e“-£的定義域為R,2,2又 /(X)= x + 4x H2/ = -(T - 4x + 2/) = 一/(x)，exex故函數(shù)是A上的奇函數(shù)，又因為 /'(X)= 3/ -4 + 2, + 二度'-4 + 2小2, 、= 3x2。，當且僅當x = 0時取等號，所以f(x)在定義域R上為單調遞增函數(shù)，則不等式 /(2a2) + /(-1-

36、«) 0 可變形為 /(2a2), -= fa +1),則2a2, a+ 1,解得一L張女1 ,2故實數(shù)a的取值范圍為-L1.2故答案為：-,1.2【點評】本題考查了函數(shù)與不等式的綜合應用，函數(shù)奇偶性的判斷，利用導數(shù)研究函數(shù)單調 性的應用，解題的關鍵是將不等式進行等價轉化，考查了邏輯推理能力、轉化化歸能力與化 簡運算能力，屬于中檔題.四.解答題(共5小題)18. (2021思明區(qū)校級模擬)已知函數(shù)f(x) = x/nx-ar , aeR.2、一(1)若/。) + 3.0恒成立，求實數(shù)4的取值范圍；X(2)當a = -l時，證明：f(x)>4x +-x【答案】(1) (-OO,歷

37、2 + J： (2)證明見解析.【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值【專題】函數(shù)思想；綜合法；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算099【分析】(1)由/(© + -.0,得區(qū),/收+二恒成立，令(x) = /ir + = ,x>0 ,利用導數(shù)求其 XXX最小值，即可得到a的取值范圍：« _ 2x(2)當 =一1時，利用導數(shù)求出= x +的最小值，g(x) = 4x +，工>0的最大 值，再由x)的最小值大于g(x)的最大值得結論.【解答】解：(1)由/(x) +.0,即x/nr-ox +.0恒成立，得a,以工+ y恒成立. XXX令/2(x) = /nr + 3，x>0

38、, 則由 hx) = -3 =，. 4 =。+ 2),?1 =。，得4 = 2 .XXX XX當xe(0,2)時，/(x)<0, (x)單調遞減；當xc(2,+oo)時，/(x)>0,力(外單調遞增，函數(shù)"X)在x = 2時取到最小值，即而,=(2)=歷2 + ；.', % /2 H，2故a的取值范圍是(-co,濟2 +，；證明：(2)當a = -l時，要證/(x)>4x + ,即要證x + x/nx>4x + '?, XX由/(x) = x + x/內，x>0 ,得/'。) = 1 + /心 + 1 = /"+2，令

39、r(X)=°，則 =，e當 xe(0,1)時，f'(x)<0, f(x)單調遞減：e當xed,E)時，/。)>0，f(x)單調遞增，e./(X)在X = !處取到極小值，也是最小值，即/(X),而=/(!) =-4. ee e人 /、 a 1 - /" n .1.1 ，/、 (2x - l)(2x +1 ex)令 g(x) = 4x +,x>0 , 則 g (x)=；,xx令 r(x) = 2x +1 -,則 «力=2 - 2e2x = 2(1- e2x),當x>0時，f(x)<0, £(x)在(0,+oo)上單調遞

40、減，.*.r(x)</(0) = 0,令 g'(x) = 0,得 x = ；,當 xe(0)時，g'(x)>0, g(x)單調遞增；當xe(g,+a>)時，g'M<0, g(x)單調遞減，從而可得g(x=g(：) = 4-2e,而 /(x)刖=-5> 4 2e = g。)/,1 /x故當 a = -1 時，/(x) >4x +.x【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯思維 能力與推理論證能力，考查運算求解能力，屬難題.19. (2021 雞冠區(qū)校級三模)已知函數(shù)/(戈)=加+ “，-x) + 2

41、.(1)當a=-l時，求/(x)函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當。>0時，若f(x)的極大值點為入，求證：/(X1)<-2/”2 + g .【答案】(1)函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為(1,+oo).(2)見證明過程.【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】方程思想；轉化法；導數(shù)的綜合應用；不等式的解法及應用；數(shù)學運算【分析】(1)當。=一1時，函數(shù)/(xM/nx-x?+x + 2 , xe(0,+oo).求導即可得出函數(shù)/(x) 的單調區(qū)間.(2)當a>0時，fx) =竺士1 .令2ax2 -ax+ =0 , = a2 -8a ,對判

42、別式與a 分x類討論即可得出函數(shù)/(x)的單調性極大值點與極大值，進而證明結論.【解答】解：(1)當a = -l時，函數(shù)/*) = /依-/+x + 2 , xg(0,+oo).廣=1-2x+1 =3 士1 = ： +,XXX可得函數(shù)/(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+00)上單調遞減.因此函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1),單調遞減區(qū)間為).(2)證明：當a>0時，fx) = + 2ax-a =幺竺把. xx令 2ar -ar + 1 =0 , = - 8。，由解得0<4,8,則r(x).O,函數(shù)/3)在xe(0,E)上單調遞增，無極值，不滿足 題意，舍去.由>(

43、), a>0,解得a>8,設方程2依2 - ar + l = 0的兩個實數(shù)根分別為 , x2, x, < x2.則與+毛=,，4 =、一 > 0 .則0 <西< ；v七.2ax =ax.則 /，(#= 2a(x-/)(x-w),X可得函數(shù)/(X)在(0,占)上單調遞增，在(占，X?)上單調遞減，在(芻，+00)上單調遞增.可得/(X)的極大值點為“，/(內)=/MX, + (X； % ) + 2 = /IX| - Xy 4-,令 g(x) = bixx + > tz > 8 »，/、 1 a8M=x-2,2、-a(x)q函數(shù)g(x)在(

44、o,2)上單調遞增,a在(2, 3上單調遞減x，、/2、，2423, 21c 1二. £(x) £() = Inx + < In + = -2m2 + .a a2a2822/. f (%) < 2/? 2 + .【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、方程與不等式的解法、分類討 論、轉化方法，考查了了推理能力與計算能力，屬于難題.20. (2021南明區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(AOulV-latTawR)在0, 1上的最小值為-1.326(1)求4的值；(2)討論函數(shù)g(x) = /(x)-2x+W>wR)的零點個數(shù).710710【答案】(1)

45、 « = 1； (2)當人一，或人>”時，函數(shù)g(x)有1個零點；當/? = 一,或6時,63637in函數(shù)g(x)有2個零點；當一,<6<吧時，函數(shù)g*)有3個零點.63【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系；利用導數(shù)研究函數(shù)的最值 【專題】分類討論；轉化法；導數(shù)的綜合應用；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】(1)利用導數(shù)分4,0, 0<«<1 ,。= 1和a>l四種情況求出函數(shù)的最小值，然后 列方程可求出。的值；(2 )由(1) (x) = -x3-x2-2x + fe ,可得 b =V+L2+2x ,構造函數(shù) 3232hM = -x3+-x2 +

46、 2x,利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間和極值，結合函數(shù)圖象可得答案. 32【解答】解：(1)由 f(x)uLr3-；奴2, f'(x) = x1 -ax = x(x-a),當4,0時，/'(x)在0, +oo)上恒大于等于0,所以f(x)在0, 1上單調遞增， /UU,=/(O) = O,不合題意；當 0<。<1 時,則 xeO, a時，f'(x)<0, f(x)單調遞減：xwa,時,f'(x)>0, f(x)單調遞增,所以 f(x)而“ =f(a) =-la3 = -Ifl3,所以a = l,不滿足0<a<l;當a = l時，在

47、0, 1 ±, /'(xKO且不恒為0,所以/(x)在0, 1上單調遞減,/(X)皿“=/(d適合題意； 3 26當a>l時，在0 , 1 ± , f'(x)<0 ,所以f(x)在0 , 1上單調遞減，fMinin = /(I) = a = , 所以"=1，不滿足”>1； 3 2 o綜上，a = l.(2)由(1) (x) = -x3 -x2 -2x + /?,所以6 =+2x,3232令人(幻=一§/ 4-x2 +2x,則 hx) = -x2 +x + 2 =-(x-2)(x+1),所以、(2) =0, (一1) =

48、0,且當xv1 時，hx)<0；當-1 v x v 2 時,hr(x) > 0 ；當 x > 2 時,hf(x) < 0 ,1 17所以(幻極小值=(-1) = - + -2 = -» (x)極大值= (2) =-x-+-x4 + 4 = y , 如圖：7in當或b> 時，函數(shù)g(x)有1個零點； 63當b=一：或力=與時，函數(shù)身(x)有2個零點；當-N<b<W時，函數(shù)g(x)有3個零點. 63【點評】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值，屬中檔 題.21. (2021孟津縣校級模擬)定義在(0,y)上的關于x的函

49、數(shù)/(x) = (x-l)e* -.(1) a = e,討論/(x)的單調性；(2) f(x1,3在(0, 2上恒成立，求。的取值范圍.,e2 .3【答案】(1)在xe(0,l)上，f(x)單調遞減;在xw(l,+oo)上,/'(x)單調遞增；(2) a.【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性【專題】分類討論；轉化法；導數(shù)的綜合應用；邏輯推理；數(shù)學運算【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導函數(shù)/'(X),分別令f'(x)<0和/'(x)>0即可判斷函數(shù)/(x) 的單調遞減區(qū)間和遞增區(qū)間；(2)由(1) f'M = x(ex-a)

50、,分情況討論4,1、1 <和a.",并分別利用導數(shù)研究函數(shù)的最值驗證是否滿足題意，進而得出"的取值范圍.【解答】解：(1) f'x) = xex - ax- x(ex - a), a = e 時，fx) - x(ex - e),在xw(0,l)上，/'(x)<0, f(x)單調遞減；在xw(l,+o。)上，/'(x)>0, /(x)單調遞增.(2)由(1) f'(x) = x(e' - a),若W, 1,在(0, 2±, f'(x)>0, /(x)單調遞增，f (2) =e2-2a>3,

51、不合題意；若l<a<e2,在(0,/na)上，/r(x)<0, /(x)</(0) =-1 ；在(Ina, 2±, f'(x)>0, /(x)<f (2) =e2-2a,2 o由題意，e2 - a < e2,2若 a",在(0,2)上，f'(x)<0, /(x)單調遞減，則在(0, 2上，/(x)</(0) = -l<3符合題意，綜上所述，a.-. 2【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、含參數(shù)恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思 想，屬中檔題.22. (2021 孟津縣校級模擬)函數(shù)/(x) =

52、2/(x + 2) +，一+ x-2(x>2).x + 2(1)討論/(x)的極值點的個數(shù);(2)設g(x) = e"(x),若g(x)。恒成立，求。的取值范圍.e【答案】(1)當即0時，函數(shù)f(x)的極值點的個數(shù)為0,當>0時，f(x)的極值點的個數(shù)為1;(2) 8, +oo).【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【專題】計算題；分類討論；轉化思想；綜合法；轉化法；導數(shù)的綜合應用；數(shù)學運算【分析】(1)求出/(x)的導函數(shù)，對。分類討論，利用導數(shù)即可求解極值點的個數(shù)；(2 )將 不等式 轉化為 a. 5(x + 2)e-'-x - 2(x +

53、2)/n(x + 2) - x2 + 4 恒 成立，設(x) = 5(x + 2)e- 2(x + 2)/(x + 2)-£ + 4 ,利用導數(shù)求得6(x)的最大值，從而可得a的取 值范圍.【解答】解：(1)f(x) = J + = (x + 2+2(x：2)-a ,x + 2 (x + 2)2*+2)2當4,0時，x>-2, /'(x)>0, f(x)單調遞增，函數(shù)f(x)無極值點；當 a > 0 時，fx) = ” + 3) _£ = 0 n x = -3 土 J1 + a，而 -3 - dl + a < -2 ,故 x = -3 - +

54、 a (x+2)2不是極值點，當x w (-2,-3 + Jl + a)時,f(x) < 0 ,此時函數(shù)單調遞減，當xw(-3 + VTii,+8)時，f(x)>0,此時函數(shù)單調遞增，所以f(x)有唯一的極值點x =-3 + JiTG ,綜上可得，當a,0時，函數(shù)/(x)的極值點的個數(shù)為0；當a>0時，x)的極值點的個數(shù)為1.(2)g(x) = exf(x) = ex(2/n(x + 2) 4-i-x-2).恒 成 立x+2eoa.5(x + 2)e1' -2(x + 2)ln(x + 2)-x2 + 4 恒成立，設Mx) = 5(x + 2)"i -2(x

55、 + 2)/n(x+2)-x2+4,有 hx) = -5(x + Y)e ''x -2ln(x + 2)-2(x +1) = (x + l)(5e-1 + 2)-2ln(x + 2),所以 A'(-l) = 0 ,當一2cx<-1 時，-(工 + 1)(5"1 + 2)>0, -2ln(x+2)>0, '(x)>0, (x)單調遞增；當x>1 時，一(+ 1)(5"1 + 2)<0, -2/n(x + 2)<0, A,(x)<0, (x)單調遞減, 所以當x = -l時，/l(x)取得最大值，由

56、題意a./(-l) = 8,所以。的取值范圍為8, +00).【點評】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值，考查轉化思想與運算求解 能力，屬于中檔題.考點卡片1 .函數(shù)的零點與方程根的關系【函數(shù)的零點與方程根的關系】函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與X軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一 樣的.但是，他們的解法其實質是一樣的.【解法】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不 多講了.我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法(配方法).例題：求函數(shù)f (x) =?+5? - 27? - 101X - 70的零點.解：,:f (x) =x4+5 - 27? - 101x - 70=(x - 5)*(x+7)e(x+2)e(x+l)，函數(shù)/ (x) =x4+5x3 - 27X2 - 101X - 70 的零點是：5、- 7、- 2、- 1.通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的 乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0 時的解即可.【考查趨勢】考的比較少，了解相關的概念和基本的求法即可.2 .變化的快慢與變化率【知識點的知識】1、平