(完整版)流體力學(xué)雷諾方程的推導(dǎo)

1、主要參數(shù)R=20mm,L=40mm,n=1000rpm,e=0.3,c=2mm.各種流體潤滑問題都涉及在狹小間隙中的流體粘性流動，描寫這種物理現(xiàn)象的基本方程為雷諾方程，他的普遍形式是£（匹空）+£（匹空）=6（U竺+V型+2迥）dx耳Qxdy耳dydxdydt這個橢圓形的偏微分方程僅僅對于特殊的間隙形狀才可能求得解析解，而對于復(fù)雜的幾何形狀或者工況條件下的問題，無法用解析方法求得精確解。隨著迅速發(fā)展的點(diǎn)算技術(shù)，數(shù)值算法成為求解潤滑問題的有效途徑。數(shù)值法師講偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組的變換方法。它的一般原則是：首先將求解域劃分成有限個數(shù)的單元，并使每一個單元充分的微小。以至于

2、可以認(rèn)為在各單元內(nèi)的未知量（本人畢業(yè)設(shè)計中設(shè)油膜壓力為P）相等或者依照線性變化，而不會造成很大的誤差。然后，通過物理分析或數(shù)學(xué)變換方法，將求解的偏微分方程寫成離散形式，即使將它轉(zhuǎn)化成一組線性代數(shù)方程。該代數(shù)方程組表示了各個單元的待求未知量于周圍各單元未知量的關(guān)系。最后根據(jù)消去法或者迭代法求解代數(shù)方程組，從而求得整個求解域上的未知量。用來求解雷諾方程的數(shù)值方法很多，最常用的是有限元差分方法、有限元法和邊界元法這些方法都是將求解域劃分成許多個單元，但是處理方法各不相同。在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函數(shù)在求解域內(nèi)是近似的，但完全滿足邊界條件。而邊界元法所用的函數(shù)在求解域內(nèi)完全滿足基本方程

3、，但是在邊界上則近似的滿足邊界條件。一、雷諾方程的數(shù)值解法根據(jù)邊界條件求解雷諾方程，這在數(shù)學(xué)上稱為邊值問題。首先將所求解的偏微分方程無量綱化。這樣做的目的是減少自變量和因變量的數(shù)目，同時用無量綱參數(shù)表示的解具有通用性。然后，將求解域劃分成等距的或者不等距的網(wǎng)格，如圖1-1為等距網(wǎng)格。沿軸向?qū)劃分為8個等距區(qū)間，沿周向從8=0到0=2兀劃分為12個等距區(qū)間。這樣在Y方向有13個節(jié)點(diǎn)，0方向有9個節(jié)點(diǎn)，總計13x9=117個節(jié)點(diǎn)。則A0=丄兀，AY=-68有限差分法如果用P代表所求的未知量例如油膜壓力,則變量P在整個域中的分布可以用各節(jié)點(diǎn)的P值來表示。根據(jù)差分原理，任意節(jié)點(diǎn)0(i,j)的一階和二

4、階偏導(dǎo)數(shù)都可以由其周圍的節(jié)點(diǎn)變量值來表示。如圖1-2所示，如果采用中差分公式，則變量P在0(i,j)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)為圖.1-2(蟲)50i，j201-1)5p)pi,j+1-pi,j-1)i,j+1i,j15yi,j2Ayp+p-2pi+1ji-1jij(A0)21-2)已)dy2i,jj(Ay)2以P為潤滑膜壓力，雷諾方程的二維二階偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：1-3)A竺+B空+C竺+D竺二E502dY250dY其中A,B,C,D和E都為已知量。然后將上述方程應(yīng)用到各個節(jié)點(diǎn)，根據(jù)中差分公式(1-1)和(1-2)用差商代替偏導(dǎo)數(shù)，即可求得各個節(jié)點(diǎn)的變量p于相鄰各個節(jié)點(diǎn)變量的關(guān)系。這i.j種關(guān)系可以寫成

5、：其中p二Cp+Cp+Cp+Cp+Gi,jNi,j+1Si,j-1Ei+1,jWi-1,jC=BDK(一-+-)/NAy22ayC=BDK(-)/SAy22AyC=ACK(+-)/EA022A0C=ACK(J/WA022A0G=EKK=AB2(-+）A02Ay21-4)1-5)式（1-4）中各系數(shù)值隨節(jié)點(diǎn)位置而改變。方程（1-4）是有限差分法的計算方程，對于每個節(jié)點(diǎn)都可以寫出一個方程，而在邊界上的節(jié)點(diǎn)變量應(yīng)滿足邊界條件，它們的數(shù)值是已知量。這樣，就可以求得一組線性代數(shù)方程。方程與未知量數(shù)目相一致，所以可以求解。采用消去法或者迭代法求解代數(shù)方程組，并使計算結(jié)果滿足一定的收斂精度，最終求得整個求解

6、域上各節(jié)點(diǎn)的變量值。求解代數(shù)方程使用迭代法求解。1、雷諾方程的無量綱化定常雷諾方程(2-1)Qh6u-Qx將軸承表面沿平面展開，如圖1-1所示，并代入x=R0,dx=Rd9.得Qh3QpQ2ph3Qh()+=6u-RQ0HRd0Qy2耳Rd0等式兩邊同時乘以耳R2則雷諾方程變?yōu)?h3Q2ph3Qy2dhd0(2-2)若令y二YL2,u=(2R/L)2,h二c(1+£coS9)二Hcp二P6UHRc2代入后得(H3c3dHd0化簡得dH70將a-QR/Q2代入得dHT02-3)hc(1+£coS0)Hc得H1+8cos0代入（2-3）式，得&2P&Y2&

7、;P&2P3(8sin0)H2麗十H2麗十H3a_d(1+8cos0)d0再次化簡得無量綱雷諾方程（2-4）采用有限-3(8sin0)&P&2P&2P8sin0+a1+8cos0&0&02&Y2(1+8cos0)3R為軸承半徑，L為軸承長度，8為偏心8e/c率，e為偏心距，'為半徑間隙,元差分法進(jìn)行迭代計算。式（1-4）為標(biāo)準(zhǔn)形式，參考標(biāo)準(zhǔn)式（1-3）可求得標(biāo)準(zhǔn)式中A,B,C,D,E的值。A-1，B-a,C-38sin0,D-0,E-8血1+8cos0（1+8cos0）3將以上各值代入式（1-5）求得aA622(A62+aAY2)

8、aA622(A62+aAY2)2(1+8cos6)一3A68sin62A62(1+8cos6)2(1+8cos6)+3A68sin62A62(1+8cos6)38sin6A62AY2(1+8cos6)32(A62+aAY2)2(a62+aAY2)A62AY2將已知值代入式（1-4）OA12p+(2A62+aAY2)i,j+1aA622(A62+aAY2P)i,j-1+2(1+8于6)-3a68sin6pi+1j2A62(1+8cos6)2(1+8cos6)+3A68sin6+2A62(1+8cos6)Pi1,j38sin6+(1+8cos6)32(A62+aAY2)2-5)a=(2R/L)2=

9、(2x20/40)2=1,8=0.3代入式2-5）得迭代方程:P=A2P+Ai,j(2A62+AY2)i,j+1(2A62+AY2)2A62(1+0.3cos6)+2(1+°3cos6)-°.9A6sin6+2(1+0.3cos6)+0.9a6sin2A62(1+0.3cos6)A62AY20.9sin6(1+0.3cos6)32(A62+AY2)將a6=6兀,AY=1代入上式中，得8P=0.9P+0.9Pi,ji,j+1i,j-12(1+0.3cos0)-0.47sin0p0.54(1+0.3cos0)i+1.j2(1+0.3cos0)+0.47sin0p0.54(1+0.3cos0)i+1.j2-6)0.012sin0(1+0.3cos0)3上式為最終迭代方程。邊界問題：將軸承表面沿平面展開，如圖2-1圖.2-1對于徑向軸承，方程（2-