03線性變換及其矩陣(精)

1、第三講線性變換及其矩陣第三講線性變換及其矩陣一、線性變換及其運算一、線性變換及其運算定義：設 V V 是數(shù)域 K K 上的線性空間，T T 是 V V 到自身的一個映射，使得對于 V V 中的任意元素 x x 均存在唯一的 y yeV V與之對應，則稱 T T 為 V V 的一個變換變換或算子算子，記為Tx=y稱 y y 為 x x 在變換 T T 下的象，x x 為 y y 的原象若變化 T T 還滿足T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)Vx,yx,ye匕匕 k,lk,leK K 稱 T T 為線性變線性變換換。=k(Tx)+1(Tz)-T T 是線性變換。例 2 2次數(shù)不超過n的全體實

2、多項式Pn構(gòu)成實數(shù)域上的一個n+1維的線性空間，其基可選為例 1 1證明x=H1H2Vx=xz1z=1xz22kx+lz=kxlzkx+lzi+1iikx2lz2kx+lz22T(kx+lz)=cos0-sin0sin0kx+lzcos0IIkx+lz22cos0sin0-sin0cos0cos0-sin01g25 5)線性變換的數(shù)乘kT:VxeV(kT)x_k(Tx)n_dx丿，微分算子D_dx是Pn上的一個線性變換。證明顯然D對七而言是變換，要證明D滿足線性變換的條件Vf，g&P，k，戶R2nD(kf+Ig)_k(Df)+1(Dg)D是P上的線性變換。n2.2.性質(zhì)(1)線性變換把

3、零元素仍變?yōu)榱阍?2)負元素的象為原來元素的象的負元素(3)線性變換把線性相關的元素組仍變?yōu)榫€性相關的元素組證明線性變換T(kx+1y)=k(Tx)+1(Ty)(1)T(0 0)=T(0 x)=0(Tx)=0 0(2)T( (-x)=()=(-1)()(Tx)=)=-( (Tx) )(3 3)元素組X1,X2，X線性相關，即存在一組不全為零的數(shù)k1,k2，k使12m12m遲kx_0ii線性相關。得證應該注意，線性無關的元素組經(jīng)過線性變換不一定再是線性無關的，變換后的情況與元素組和線性變換有關。若線性變換T將所有的元素組仍變換為線性無關的元素組，則稱之為滿秩的線性變換,其變換矩陣為滿秩矩陣。3

4、.3.線性變換的運算變換的相等：、T2是#的兩個線性變換，VxeV，均有Tx_T2x，則稱=T2線性變換的和：+T:VxeV，(T+T2)x_Tix+Tx2(Tx)_T(0)_0i1 1)恒等變換TeVxeV,Tx_xe2 2)零變換T：VxeV,Tx_03 3)負變換：（-T）x=（Tx）線性變換的乘積:VXGV，（込）X=TI（T2X）（7 7）逆變換T-1:Fx& &V，若存在線性變換S使得（ST）X-X，則稱S為T的逆變換S=T-18 8）線性變換的多項式:需要說明的是:3 3）和矩陣的乘積一樣，線性變換的乘積不滿足交換律；4 4）不是所有的變換都具有逆變換，只有滿秩變

5、換才有逆變換，ST=Te5 5）恒等變換、零變換、線性變換的和、乘積多項式及逆變換（若存在）均為線性變換。二、線性變換的矩陣表示二、線性變換的矩陣表示線性變換用矩陣表示，將抽象的線性變換轉(zhuǎn)化為具體的矩陣形式。一的坐標表示X=x,X,12g11g22+gXnnTX=T(gX+g12+gX)nn=(TX1TX2TX)nf(T)=oTn-nn=0f(T)X=為aTnXnn=01 1)也稱為單位變換，它的矩陣表示為單位矩陣I2 2)T0對應的矩陣表示為零矩陣設T是線性空間Vn的一個線性變換，且（X，X2,Xnn的一個基，F(xiàn)XGVn存在唯n個，并規(guī)定x)門1g2因此，要確定線性變換T，只需確定基元素在該

6、變換下的象就可以了。inaa1121aa1n2n對于任意元素x，在該基下，變換后Tx的坐標表示為nggTx=T(xxx)g2=x,x,xAg212n12ngn gn對比可知：Tx-x,xi12xnai1ai2Tx,x,12xnaa1222x,x,12,xAnnnan1annxnn1n同時g1g2g11g2推論 1.1.設f()-蘭at為純量t的 m m 次多項式,i0的基現(xiàn)，x2，x下的矩陣為A，則12nf(T)Lx,x,xx,x,12n12苴中f(T)aT水a(chǎn)T+aT2+aTn其中0e12nf(A)aI+aA+aA2+.+aAn012n推論 2.2.設線性變換T在Vn的基xi,xj，x下的矩

7、陣為A，元素x在該基下的坐標為12n(勺，勺，gn)，則Tx在該基下的坐標(叫9)滿足1.1.2.2.定義：定理：1 1)2 2)3 3)4 4)把A稱為T在基,xn下的矩陣。設x,x,x12n(T+T)x,x,xx,x,1212n12kTx,x,112(TT)Lx,x.,1212T-ix,x,112T2在該基下的矩陣分別為A,x(A+B)n,x,x,x(kA)n的一個基，TB。則有n12n,x=L,x9,x(AB)n12n,xx,x,xA_1n12nnn即：TxAT為線性空間卩的一個線性變換，且在Vn,xnR(T)和N(T)均為Vn的子空間。-1-y*-y*-y*I兒，兒，兒 LV12nB=

8、C-iAC即A和B為相似矩陣。Txx ,，x =xx ,，x BL1212nL1212Tx,x,xC=x,x,xCB12n12nx,x,xAC=x,x，xCB12n12nnAC=CB即B=C-1ACn階方陣A和B相似的充要條件是A和B為同一線性變換在不同基下的矩陣。必要性：已知A和B相似，即存在可逆矩陣P使B=P-1AP選取一個基x,x,x，定義Tx,x,x=x,x,xA12n12n12n,x=Tx,x，,xPn12n=x,x,xAP12nx,x，,xP-iAP12x,x，xB12n二A和B為同一線性變換在不同基下的矩陣。 充分性的證明由相似矩陣定義的證明給出。3.3.相似矩陣設T在Vn的兩個

9、基 k k，x2,x及（n11,x2,Xnl的矩陣分別為A和B，且證明Ix,x,x-=L12n-x,x,12,xnA考慮x,x,12可作為基，且，則定理：證明，定義Tx,x:,12R(T)和N(T)均為Vn的子空間。三、線性變換及矩陣的值域和核三、線性變換及矩陣的值域和核1.1.定義：設T是線性空間Vn的線性變換，稱R(T)=仏1xeVn為T的值域；N(T)=h1xGVn，Tx=稱為T的核。設A為mn階矩陣，稱R(A)=lAxIxeRnorxeCndimR(T)、dimN(T)稱為T的秩和零度;dimR(A)、dimN(A)稱為A的秩和零度。2定理.dimR(T)+dimN(T)=dimVn(2)dimR(A)=rank(A)(3 3)dimR(A