成都市近十年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題(含規(guī)范標準答案)

1、12為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c與直線二次函數(shù)中考壓軸題【2018成都中考】如圖，在平面直角坐標系xOy中，以直線x=l:y=kx+m（k0）交于A（1,1），B兩點，與y軸交于C（0,5），直線l與y軸交于D點.（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）設直線m=與拋物線的對稱軸的交點為F、G是拋物線上位于對稱軸右側的一點，若蘭=3，且ABCG與FB4ABCD面積相等，求點G的坐標；（3）若在x軸上有且僅有一點P，使ZAPB=90。，求k的值.1b_52a2解：(1)由題可得：c=5,解得a=1，b=一5，c=5.a+b+c=1.:二次函數(shù)解析式為：y=x2-5x+5.（2）作AM丄x軸，B

2、N丄x軸，垂足分別為M，n，則嘗=MQ=33(9QMQ=-，:.NQ=2，B-2k2k+m=1,k=12同理，yBC2x+5-QS二SABCDABCG:DG/BC（G在BC下方），y=x+，DG221 13：一一x+x25x+5，即2x29x+90，:x,x3.2 2122Qx-，：x3，:G（3,-1）.2G在BC上方時，直線GG與DG關于BC對稱.2311 19119:y=x+，：一一x+x25x+5，：2x29x90.G2222八5.9+3歷.?。?+3府673歷）Qx，.x，2 4綜上所述，點G坐標為G1(3,-1)；G,（9+3府673佰）2(3) 由題意可得：k+m=1：m1k，:

3、ykx+1k，:kx+1k=x25x+5，即x2（k+5）x+k+40.：x11，x2k+4，:B（k+4,k2+3k+A設AB的中點為O,QP點有且只有一個，以AB為直徑的圓與x軸只有一個交點，且P為切點.:0P丄x軸，：P為MN的中點，：PQAAMPsAPNB，PN，：AMBNPNPM，PMBN：1x（k2+3k+1）=k+5、了k+5-1，即3k2+6k-5=0，A=960.丿Qk0，:k-6+%61+型63【2017成都中考】如圖1,在平面直角坐標系xOy中，拋物線C:y二ax2+bx+c與x軸相交于A,B兩點，頂點為D(0,4),AB=4迓，設點F(m，0)是x軸的正半軸上一點，將拋

4、物線C繞點F旋轉180，得到新的拋物線C.1)求拋物線C的函數(shù)表達式；(2)若拋物線C與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，求m的取值范圍.(3)如圖2，P是第一象限內拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C上的對應點P,設M是C上的動點，N是C上的動點，試探究四邊形PMPN能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請解：(1)由題意拋物線的頂點C(0,4),A(2.邁，0)設拋物線的解析式為y=ax2+4,把A(2遷，0)代入可得a二詩，拋物線C的函數(shù)表達式為y=詩X2+4.(2)由題意拋物線C的頂點坐標為(2m,-4),設拋物線C的解析式為y二寺(x-m)2-4,(12由

5、丿，消去y得到X2-2mx+2m2-8=0,y=-_(x-2in)-4由題意，拋物線C與拋物線C在y軸的右側有兩個不同的公共點，I佢口)-n/-或0則有0，解得2m0滿足條件的m的取值范圍為2m0,3k2-4=0,解得k=卑工vk0, k=3.k,aP(-1,6),M(-1,2),N(-1,1)PM二DN=2T,.PMllDN,四邊形DMPN是平行四邊形，DM二DN,四邊形DMPN為菱形，以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時點N的坐標為(-2七-1,1).【2015成都中考】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y二ax2-2ax-3a(a0)與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側)

6、經(jīng)過點A的直線ly=kx+b與y軸交于點C與拋物線的另一個交點為D且CD=4AC.(1) 直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式(其中k,b用含a的式子表示);(2) 點E是直線l上方的拋物線上的一點，若ACE的面積的最大值為5,求a的值；4(3) 設P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A,D,P,Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若(2)過點E作EFiiy軸，交直線l于點F設E(x，ax22ax3a)，則F(x，axa)EF二ax2-2ax-3a-(ax+a)二ax2-3ax-4aS二S-SACEAFECFE11二y(ax2-3ax-4a)(x+1)-y(ax2-3ax-4a)x1

7、1325y(ax2-3ax-4a).ya(x-)2-a25.ACE的面積的最大值為-8a5.ACE的面積的最大值為2558a二才，解得a-_(3)令8乂2-2ax-3a二ax+a,即ax2-3ax-4a=0解得x廣-1,x2二4D(4,5a)y二ax2-2ax-3a,拋物線的對稱軸為x=1設P(1，m)若AD是矩形的一條邊，則Q(-4,21a)m二21a+5a二26a，則P(1,26a)四邊形ADPQ為矩形,azADP=90AD2+PD2二AP2.52+(5a)2+(1-4)2+(26a-5a)2=(-1-1)2+(26a)2a0,.a二P1(1,若AD是矩形的一條對角線3 5a則線段AD的中

8、點坐標為（2,2），Q（2，-3a）m二5a-(-3a)二8a,則P(1,8a)四邊形APDQ為矩形,.zAPD=90AP2+PD2二AD2(-1-1)2+(8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=52+(5a)214a0）與x軸從左至右依次交于A,B8兩點，與y軸交于點C,經(jīng)過點B的直線y一害x+b與拋物線的另一交點為D（1）若點D的橫坐標為-5,求拋物線的函數(shù)表達式;（2）若在第一象限的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與ABC相似，求k的值;（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點）連接AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段

9、FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？解:拋物線尸弊+2）尺4）,令y=0,解得x=-2或x=4,.A(-2,0),B(4,0).直線BD解析式為：y二3當x=-5時，y=4玄D(-5,3込).直線y二-二!x+b過點B(4,0).-33丿OX點D(-5,3込)在拋物線y二上(x+2)(x-4)上，上(-5+2)(-5-4)=3,.k二；.89(2)由拋物線解析式，令x=0,得y=k,AC(0,-k),OC=k.因為點P在第一象限內的拋物線上，所以zABP為鈍角.因此若兩個三角形相似，只可能是ABC-APB或aABCABP.若aABCAPB，

10、則有zBAC=zPAB，如答圖2-1所示.設P(x,y),過點P作PN丄x軸于點N,則ON二x,PN=y.tanzBAC=tan/PAB，即,.y二上x+k.2-k+22D(x，雖+k)，代入拋物線解析式y(tǒng)二上(x+2)(x-4)2A：彳敲(x+2)(x-4)二上x+k，整理得:x2-6x-16=0,S2解得:x=8或x=2(與點A重合，舍去).P(8,5k).ABCAPB,.，即，解得：k二:.扭-按625k2+1005若aABCABP，則有zABC=zPAB，如答圖2-2所示.與同理,可求得：k二邁綜上所述,k=或k=巨.（3）由（1）知：D（-5,3；引，如答圖2-2,過點D作DN丄x軸

11、于點N,則DN=3iE，ON=5,BN=4+5=9,tan/DBA二理二=衛(wèi),azDBA=30.BN93過點D作DKllx軸，則zKDF=zDBA=30.過點F作FG丄DK于點G,則FG二丄DF.2由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t二AF+丄DF,2t=AF+FG,即運動時間等于折線AF+FG的長度.由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段.過點A作AH丄DK于點H,則t最小=AH,AH與直線BD的交點，即為所求之F點.A點橫坐標為-2，直線BD解析式為：y=,3 3y=lx（-2）+-3，aF（-2,3）.綜上所述，當點F坐標為（-2,2運）

12、時，點M在整個運動過程中用時最少.1【2013成都中考】在平面直角坐標系中，已知拋物線y一x2+bx+c（b,c為常數(shù)）的頂點為P等腰直角三角形ABC的頂點A的坐標為（0,-1）,C的坐標為（4,3）,直角頂點B在第四象限。（1）如圖，若該拋物線過A,B兩點，求拋物線的函數(shù)表達式；（2）平（1）中的拋物線，使頂點P在直線AC上滑動，且與AC交于另一點Q.i）若點M在直線AC下方，且為平移前（1）中的拋物線上點，當以M,PQ三點為頂點的三角形是等腰三角形時，求出所有符合條件的M的坐標；）取BC的中點N,連接NPBQ。試探究npPQbq是否存在最大值？若存在，求出該最大值；所不存解：（1）v等腰直

13、角三角形ABC的頂點A的坐標為（0,-1）,C的坐標為（4,3）點B的坐標為（4,-1）.拋物線過A（0,-1）,B（4,-1）兩點，rc=-l1，解得：b=2,c=-1,-yX16+4b+c=-l拋物線的函數(shù)表達式為：y二X2+2X-1.22）方法一：i)vA(0,-1),C(4,3),直線AC的解析式為：y=x-1.設平移前拋物線的頂點為P0,則由（1）可得P0的坐標為（2,1）,且P。在直線AC上.點P在直線AC上滑動，可設P的坐標為（m,m-1）,則平移后拋物線的函數(shù)表達式為：y二（x-m）2+m-1.2解方程組：x-id)+曠1解得P(m,m-1),Q(m-2,m-3).過點P作PE

14、llx軸，過點Q作QFlly軸，則PE=m-(m-2)=2,QF=(m-1)-(m-3)=2.PQ=2邁二AP0.若以M、P、Q三點為頂點的等腰直角三角形，則可分為以下兩種情況:當PQ為直角邊時：點M到PQ的距離為卜邁（即為PQ的長）由A(0,-1),B(4,-1),P(2,1)可知，ABP為等腰直角三角形，且BP丄AC,BP。二邁如答圖1,過點B作直線JAC,交拋物線y二x2+2x-1于點M,則M為符合條件的點.丄2可設直線-的解析式為：y=x+b1,B(4,-1).-1=4+b丄，解得b1=-5,直線I丄的解析式為：y=x-5.M丄(4,-1),M2(-2,-7).4答圏1當PQ為斜邊時：

15、MP=MQ=2，可求得點M到PQ的距離為左.如答圖2,取AB的中點F，則點F的坐標為(2,-1).由A(0,-1)F(2,-1)P0(2,1)可知:AFP0為等腰直角三角形，且點F到直線AC的距離為立過點F作直線l2llAC,交拋物線y=x2+2x-1于點M,則M為符合條件的點.22可設直線l2的解析式為：y=x+b2,F(2,-1),a-1=2+b2，解得b2=-3,直線l2的解析式為：y=x-3.M3(1+：號，-2+.引，M4(1-：號，-2-可.綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：m1(4,-1)，m2(-2，-7)，m3(1+污，-2+叮亍),M4(1_：號,-2污).方法二：A(

16、0,1),C(4,3),ac:y=x-1，拋物線頂點P在直線AC上,設P(t,t-1),拋物線表達式：,2lAC與拋物線的交點Q(t-2,t-3),M、P、Q三點為頂點的三角形是等腰直角三角形,P(t,t-1), 當M為直角頂點時,M(t,t-3),吐二1士T5，M(1+：號，.號-2)川2(1-0-2- 當Q為直角頂點時，點M可視為點P繞點Q順時針旋轉90而成，將點Q(t-2,t-3)平移至原點Q,(0,0)/則點P平移后Pf(2,2),將點P繞原點順時針旋轉90,則點Mf(2,-2),將Q(0,0)平移至點0(t-2,t-3),則點M平移后即為點M(t,t-5),1二t-5，t1=4，t2

17、=-2，M1(4，-1)，M2(-2，-7)，當P為直角頂點時，同理可得M1(4，-1)，M2(-2，-7)，綜上所述，所有符合條件的點M的坐標為：M1(4，-1)，M2(-2,-7)，M3(15,-25)/M4(15，_25)ii）存在最大值理由如下：NP+BQ由i）知PQ乜邁為定值，則當NP+BQ取最小值時，有最大值.NP-FBQCVF/答團2如答圖2,取點B關于AC的對稱點B,易得點B的坐標為（0,3）,BQ二BQ.連接QF,FN,QB,易得FNllPQ,且FN二PQ,四邊形PQFN為平行四邊形.NP二FQ.NP+BQ二FQ+BQAFB=,=V當B、Q、F三點共線時，NP+BQ最小，最小

18、值為2兀的最大值為=NP+BQ255【2012成都中考】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點A的坐標為（-3，）,若將經(jīng)過A、C兩點的直線y=kx+b沿y軸向下平移3個單位后恰好經(jīng)過原點，且拋物線的對稱軸是直線x=-2（1）求直線AC及拋物線的函數(shù)表達式；（2）如果P是線段AC上一點，設AABPABPC的面積分別為S、S，且S:S二2:3,AABPABPCAABPABPC求點P的坐標;(3) 設eQ的半徑為l，圓心Q在拋物線上運動，則在運動過程中是否存在eQ與坐標軸相切的情況？若存在，求出圓心Q的坐標；若不存在，請說明

19、理由并探究：若設0的半徑為r，圓心Q在拋物線上運動，則當r取何值時,OQ與兩坐軸同時相切？I解：()尸莘+能經(jīng)過點(-3,0),.0二+m,解得口=英，直線解析式為尸氏艸，C(0,普).拋物線y二ax2+bx+c對稱軸為x=1,且與x軸交于A(-3,0),.另一交點為B(5,0),設拋物線解析式為y=a(x+3)(x-5),拋物線經(jīng)過C(0,英二a3(-5),解得a二,4 4拋物線解析式為y=x2+lx+;4 24(2) 假設存在點E使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則ACIIEF且AC二EF.如答圖1,(i) 當點E在點E位置時，過點E作EG丄x軸于點G,vACnEF,azCA

20、O=zEFG,又.二/EOF二9CT/ACAOEFG,1AC=ER.EG二CO二英，即yE=,E英二xE2+2xE+.,解得xE=2(xE=0與C點重合，舍去),E(2,普Zacef=普；(ii) 當點E在點E位置時，過點E作EG丄x軸于點同理可求得E(莎1,-普)忑acef字応(3)要使MCP的周長最小，只需AP+CP最小即可.如答圖2,連接BC交x=1于P點，因為點A、B關于x=1對稱，根據(jù)軸對稱性質以及兩點之間線段最短，可知此時AP+CP最小(AP+CP最小值為線段BC的長度)B(5,O),C(O,)直線BC解析式y(tǒng)=x+,444Xp=1,.yP=3，即P(1,3).令經(jīng)過點P(1,3)

21、的直線為y=kx+3-k,.y=kx+3-k,y=x2+lx+,424聯(lián)立化簡得：x2+(4k-2)x-4k-3=0,.xT+x2=2-4k,XX2二-4k-3.y1=kx1+3-k,y2=kx2+3-k,.yT-y2=k(xT-x2).根據(jù)兩點間距離公式得到：M1M2_匚皿=:l+k?m_匕）2_叫“2=門+0（屮）2-4勺二;j+宀遼_業(yè)）-4（-曲-3）_4（1+k2）.又MiP_j巧_丄+?_rl+k2-（Kj-D2；同理m2p_4k-3-2-4k）+1叫PM2P二aM1Pm2p_m1m2,【2011成都中考】如圖，在平面直角坐標系xOy中“ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸

22、的負半軸上.已矢口|OA|:0B=1:5,0B=C,ABC的面積S=15，拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)IIAABC一經(jīng)過A、B、C三點。(1) 求此拋物線的函數(shù)表達式；設E是y軸右側拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點F作FG垂直于x軸于點G,再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；(3) 在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使aMBC中BC邊上的高為7J2?若存在，求出點M的坐標;若不存在，請說明理由.解：(1).|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,設0A二m，

23、則0B=0C=5m,AB=6m,由aABC4aBx0C=15，得x6mx5m=15，解得m=1(舍去負值)A(-1,0)B(5,0),C(0,-5),設拋物線解析式為y=a(x+1)(x-5),將C點坐標代入，得a=1,拋物線解析式為y=(x+1)(x-5)即y=x2-4x-5；(2)設E點坐標為(m,m2-4m-5),拋物線對稱軸為x=2,由2(m-2)=EH,得2(m-2)=-(m2-4m-5)或2(m-2)=m2-4m-5,解得m=1.10或m=3.10,vm2,.m=1+.10或m=3+.10,邊長EF=2(m-2)=2.TC-2或2.T0+2;3）存在由（1）可知OB=OC=5，.O

24、BC為等腰直角三角形，直線BC解析式為y=x-5,依題意，直線y=x+9或直線y=x-19與BC的距離為7.2,聯(lián)立幕;二dm.M點的坐標為（-2，7），（7，16）【2010成都中考】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=5x+m（m為常數(shù)）的圖象與x軸交于點A（-3,0）,與y軸交于點C以直線x=1為對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，且a/0）經(jīng)過A,C兩點，并與x軸的正半軸交于點B.（1）求m的值及拋物線的函數(shù)表達式；（2）設E是y軸右側拋物線上一點，過點E作直線AC的平行線交x軸于點F是否存在這樣的點E，使得以A,C,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，

25、求出點E的坐標及相應的平行四邊形的面積;若不存在，請說明理由；（3）若P是拋物線對稱軸上使ACP的周長取得最小值的點，過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M(x,y),M(x,y)兩點，試探究F是否為定值，并寫出探究過程.111222MM(1)解:(1)vy=kx+b沿y軸向下平移3個單位后恰好經(jīng)過原點，xb=3，C(0,3)。將A(-3,0)代入y=kx+3，得-3k+3=0。解得k=1。直線AC的函數(shù)表達式為y=x+3。拋物線的對稱軸是直線x=-2a=1解得2過點P作PE丄x軸于點E,沖將牆=5,|pe|=5|oc|=55=x+3，解得-5.點p的坐標為(-5,)(3) (1)假設

26、OQ在運動過程中，存在圓Q與坐標軸相切的情況。設點Q的坐標為(x,y)。00 當。Q與y軸相切時，有1%|=1,即x=1。00當x=1時，得y=(1)2+4x(1)+3=0,Q(10)001當x=1時，得y=12+4x1+3=8,Q(18)002 當OQ與X軸相切時，有|y|=1，即y=100當y=1時，得1，即x2+4x+4=0，解得x=2,Q(2,1)0000003當y=1時，得1=x2+4x+3=2込，Q(2込,1),Q(2+運1)。00000045綜上所述，存在符合條件的。Q，其圓心Q的坐標分別為Q(1,0),Q(18),Q(2,1),Q(-2-血1),1234Q(2+*2,1)。5(口)設點Q的坐標為(x,y)。00當OQ與兩坐標軸同時相切時，有y=x。00由y=x，得x2+4x+3=x，即x2+3x+3=0,0000000二324x1x=30)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，其頂點為M,若直線MC的函數(shù)表達式為y=kx-3，與x軸的交點為N，且COS/BCO二10。10(1) 求此拋物線的函數(shù)表達式；(2) 在此拋物線上是否存在異于點C的點P,使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由；(3) 過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋