普朗克黑體輻射公式推導(dǎo)

1、量子力學(xué)結(jié)課論文：對普朗克黑體輻射公式的推證及總結(jié)7摘要：黑體輻射現(xiàn)象是指當(dāng)黑體(空腔)與內(nèi)部輻射處于平衡時，腔壁單位面積所發(fā)射出的輻射能量與它所吸收的輻射能量相等。實驗得出的平衡時輻射能量密度按波長分布的曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度有關(guān)，而與空腔的形狀和組成物質(zhì)無關(guān)。基于能量量子化的假設(shè)，普朗克提出了與實驗結(jié)果相符的黑體輻射能量公式：1ekT-18nhv3pdv=VC3普朗克的理論很好地解釋了黑體輻射現(xiàn)象，并且突破了經(jīng)典物理學(xué)在微觀領(lǐng)域內(nèi)的束縛，打開了人類認識光的微粒性的途徑1。本文主要介紹了普朗克公式的推導(dǎo)過程及其能量假設(shè)并將普朗克對黑體輻射的解釋做了總結(jié)。關(guān)鍵詞：黑體輻射能量量子

2、化普朗克公式麥克斯韋-玻爾茲曼分布1.普朗克的量子化假設(shè)：黑體以hv為能量單位不連續(xù)地發(fā)射和吸收頻率為v的光子的能量.且能量單位hv稱為能量子，h為普朗克常量(h=6.62606896XIO-34JS)2.普朗克公式的推導(dǎo)過程：2.1任意頻率v下的輻射能量：假設(shè)有一處于平衡狀態(tài)的黑體，其內(nèi)有數(shù)量為N的原子可吸收或發(fā)出頻率為V的光子，其中Ng為這些原子中處在基態(tài)的原子數(shù)，Ne為處在激發(fā)態(tài)（此處指可由基態(tài)原子受頻率為V的光子激發(fā)達到的能態(tài)）的原子數(shù)，n為頻率為V的光子平均數(shù)。則由統(tǒng)計力學(xué)中的麥克斯韋-玻爾茲曼公式2知：NaNe-eEekTNaNegNEe-EghvNe=e-kT=e-kTkT由此可

3、得Ng(2.1.1)平衡狀態(tài)下，體系內(nèi)原子在兩能級間相互轉(zhuǎn)化的速率相等，且其速率正比于轉(zhuǎn)化的概率和該狀態(tài)下的原子數(shù)目。結(jié)合愛因斯坦系數(shù)關(guān)系3可得：Ngn=Ne(n+1)(2.1.2)1結(jié)合(2.1.1)，可解得：n=hVekT-1(2.1.3)則該狀態(tài)下光子總能量為：&=nhv=hv0-ekT-12.2vv+dv頻率段中可被體系接收的頻率數(shù)目(2.1.4)設(shè)所求黑體為規(guī)整的立方體，其長，寬，高分別為LLy，x，yLz。體積z為V。不妨先討論一維情況:體系線寬為L，則L必為光子半波長的整數(shù)倍，設(shè)其波數(shù)為K，有(2.2.1)kj二匹(j為整數(shù))L卜、成立。則兩相鄰可被體系接收的頻率所對應(yīng)的

4、波數(shù)間隔為6k=k.k.=nJ+1jL(2.2.2)由此可得在Ak波數(shù)段內(nèi)，可被體系接收的頻率數(shù)目(或稱波數(shù)數(shù)目)為：AN=磐=-Ak6kn(2.2.3)因空腔內(nèi)光波為駐波(波數(shù)為K和-K的兩列波合成)，考慮K值的正負，(2.2.3)式可修正為：AN=上Ak2n(2.2.4)由此可得，在三維情況下，有AN=LxAkx2nxAkyAN=Lyy2n(2.2.5)AN=LzAkz2nz并由此得到N(k)=4NxANyANz=LxLvLzAkxAkyAkz8n3y(2.2.6)因LxLyLZ為黑體體積V0，AkxAkyAkz為K體積元d3k，考慮半徑為K,厚度為dk的球殼，則(226)式可化為:dN(

5、k)=Vod3k=Vo4nk2dk8n38n3即dN(k)=巴k2dk(2.2.7)2n2,v_2nv由k一一廠代入(227)可得dN(v)=4nx!v)dv(2.2.8)c3o因光為電磁波，對任意波矢K可有兩正交的偏振，其頻率相互獨立所以(2.2.8)應(yīng)修正為：dN(V)=V)dv(2.2.9)c3o此即為Vv+dv頻率段中可被體系接收的頻率數(shù)目。2.3vv+dv頻率段內(nèi)的黑體輻射能量由(2.14)和(229)可得vv+dv頻率段內(nèi)的黑體輻射能量為：EdN(v)二8nhv3Vdv0I丿h0c3(ekT1)繼而可得：pdv=EodN(v)一8nhN31(231)v"C3h(2.3.1丿0ekTl由此，普朗克公式已推出。結(jié)論：相較于同時提出的維恩公式及瑞利-金斯公式，普朗克提出的(2.3.1)式精確地貼合了實驗得出的黑體輻射能量分布曲線(如下圖)。普朗克對黑體輻射光譜的研究以及他對（2.3.1）的發(fā)現(xiàn)開創(chuàng)了量子力學(xué)整個學(xué)科。4推導(dǎo)過程中的不足：論證結(jié)果是在黑體為規(guī)整的立方體的前提下得出的，沒有進行更具有一般性的論證。參考資料：1周世勛，陳灝量子力學(xué)教程