幾種時頻分析方法綜述2——希爾伯特黃變換

1、幾種時頻分析方法綜述2希爾伯特一黃變換夏巨偉(浙江大學(xué)空間結(jié)構(gòu)研究中心)摘要：希爾伯特一黃變換由經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(empiricalmodedecomposition,簡稱EMD)和Hilbert譜分析兩部分組成。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法是一種自適應(yīng)的、高效的數(shù)據(jù)分解方法。由于這種分解是以局部時間尺度為基礎(chǔ)，因此，它適應(yīng)于非線性、非平穩(wěn)過程。通過經(jīng)驗?zāi)Ｐ头纸?，任何?fù)雜的數(shù)據(jù)集都可以被分解為個數(shù)有限的、而且常常是為數(shù)不多的幾個固有模函數(shù)(intrinsicmodefunctions,簡稱IMF)的線性疊加。通過分解得到IMF后，就可以對每一個分量做希爾伯特變換，得到其瞬時頻率和幅度。本文詳細(xì)對Hilbert

2、-HuangTransform的過程進行了闡述，并用算例分析指出了其優(yōu)勢所在。關(guān)鍵詞：希爾伯特一黃變換；時頻分析技術(shù)；1 希爾伯特一黃變換(Hilbert-HuangTransform)1.1 希爾伯特變換與瞬時頻率(HilbertTransformandinstantaneousfrequency對于任意一個時間序列X(t),它的希爾伯特變換具有如下形式：1 ：X()Y(t)=-PXd.,二-二t-其中，P積分的柯西主值；希爾伯特變換對于任何屬于Lp空間中的函數(shù)都存立，即上式中X(t)Lp(一oo,+OO)。通過上述定義，X(t)和Y(t)成為一組復(fù)共腕對，同時能夠構(gòu)造一個實部和虛部分為X(

3、t)和Y(t)的解析信號(AnalyticSignal)Z(t),Z(t)表示為:Z(t)=X(t)iY(t)=at$力，其中,a(t尸X2(t)+Y2(t)1/2Y(t)，二t=arctan.X(t)理論上講有無數(shù)種方式去定義虛部，但是希爾伯特變換是唯一能夠得到解析信號結(jié)果的方法。X(t)的Hilbert變換實質(zhì)上是將X(t)與函數(shù)1/t在時域上做卷積，這就決定了通過X(t)的Hilbert變換能夠考察其局部特性。得到X(t)的瞬時相位函數(shù)后，其瞬時頻率為：dNt)dt1.2 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解與固有模態(tài)函數(shù)(Empiricalmodedecomposition/EMDandIntrinsicmo

4、defunction/IMF)固有模態(tài)函數(shù)需要滿足兩個條件：(1)極值與零點的數(shù)量必須相等或最多相差一個；(2)由局部極大值包絡(luò)和局部極小值包絡(luò)定義的平均包絡(luò)曲線上任何一點的值為0;1.2.1 EMD一篩選過程(Siftingprocess)x(t)-m1-h1,h1-m2=h2,hk_imkx(t)-Ci=ri,rn_1cn=rn-n二x(t)-XCj=rn.j11.3 Hilbert譜與Hilbert邊際譜經(jīng)過篩選過程后，X(t)可以表示為IMF與殘差量的和：nniln:Uin：DlX(tCjrn=X2(t)-C2(t)2-Cj(t)Ck(t)j=1j=1j=1k=1n10=X2(t)八C

5、；(t)j=1Trn書n書IO=£ZZCj(t)Ck(t)/X2(t)t=QjMkM對X(t)的每一個IMF進行Hilbert變換可以得到X(t)的Hilbert譜:HHTCj(t)=aj(t)ei鯉)=aj(t)e"jt¥=X(t)=SCj(t)=£aj(t)e，同&Hj(m,t)j1j+jT''=s='HilbertSpectrumHilbertSpectrumnFT:X(t)='aj(t)ei1tji得到Hilbert譜后可以進一步定義Hilbert邊際譜：Th()=0H(,t)dtHilbertMagrin

6、alSpectrum1.4 算例分析1.4.1 一個有跳變的余弦信號工cos(6二t)t10syuTOftAovmwvwwm/mIlliIIIIII-502468101214161820時間/s圖1:跳變信號及其分量oooooooo4321位相時瞬1.4.2法方值數(shù)一率頻時瞬2法方值數(shù)O00率頻時瞬圖2:跳變信號頻率發(fā)生改變的余弦信號X6Y:19.02EMD分量的瞬時相位與頻率t<10st10scos(6二t)y=cos(4t)位相時瞬號信始原1C法方值數(shù)一率頻時瞬2法方值數(shù)一率圖3:頻率改變余弦信號及其EMD分解分量4003002001000201816141202468101214161820時間/s02468101214161820時間/s20181614212瞬02468101214161820時間/s圖4:頻率改變余弦信號IMF分量瞬時相位與瞬時頻率1.4.3余弦掃頻信號420號信始原4201C圖5:余弦掃頻信號及其EMD分解分量位相時瞬1法方值數(shù)一率頻時瞬圖6：余弦掃頻信號IMF分量瞬時相位與瞬時頻率1.4.4兩個不同頻率的正弦信號的疊加10R圖7:兩個不同頻率疊加的正弦信號及其IMF分量數(shù)一率頻時瞬2法方值數(shù)一率頻時瞬位相時瞬60402080604020X:4.26Y:10