大學物理平面簡諧波波動方程

1、§4-2平面簡諧波的波動方程振動與波動振動研究一個質(zhì)點的運動。區(qū)別,波動研究大量有聯(lián)系的質(zhì)點振動的集體表現(xiàn)。.三振動是波動的根源。聯(lián)系.；波動是振動的傳播。最簡單而又最基本的波動是簡諧波！簡諧波：波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點的振動都是簡諧振動。任何復雜的波都可看成是若干個簡諧波的疊加。對平面簡諧波，各質(zhì)點都在各自的平衡位置附近作簡諧振動，但同一時刻各質(zhì)點的振動狀態(tài)不同。需要定量地描述出每個質(zhì)點的振動狀態(tài)。波線是一組垂直于波面的平行射線，可選用其中一根波線為代表來研究平面簡諧波的傳播規(guī)律。一、平面簡諧波的波動方程設平面簡諧波在介質(zhì)中沿x軸正向傳播，在此波線上任取一參考點為坐標原點hyuPO&#

2、39;>xOx參考點原點的振動方程為Vo二Acost0任取一點P,其坐標為x,P點如何振動？A和切與原點的振動相同，相位呢？沿著波的傳播方向，各質(zhì)點的相位依次落后，波每向前傳播九的距離，相位落后2二現(xiàn)在，O點的振動要傳到P點，需要向前傳播的距離為x,因而P點的相位比O點落后2=x九九P點的振動方程為2二yP=Acosto-xIk)由于P點的任意性，上式給出了任意時刻任意位置的質(zhì)點的振動情況，將下標去掉2二y=Acos-t0-xIk)就是沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波動方程。如果波沿x軸的負向傳播，P點的相位將比O點的振動相位超前x沿x軸負向傳播的波動方程為2二y=Acos't一x

3、0利用沿x軸正向傳播的平面簡諧波的波動方程又可寫為.2二y=Acos't-x0=Acost-u原點的振動狀態(tài)傳到P點所需要的時間xJuP點在t時刻重復原點在,'t-I時刻的振動狀態(tài)u波動方程也常寫為2二y=Acost-一x：。=Acos，t-kx02其中k=波數(shù)，物理意義為2n長度內(nèi)所具有完整波的數(shù)目。波動方程的三個要素：參考點，參考點振動方程，傳播方向二、波動方程的物理意義1、固定x,如令x=X0振動方程.2二yt二AcosI.t0xl九%處質(zhì)點的振動方程該質(zhì)點在x0處的振動曲線t1和t2兩時刻的相位差J='12T2、固定t,如令t=t0y(x)=AcosJt。+Q-

4、空xI波形方程IJt。時刻各質(zhì)點離開各自平衡位置的位移分布情況，即t。時刻的波形方程。波形曲線3、x和t都在變化2二y(tX=Aos：為中0_各個不同質(zhì)點在不同時刻的位移，各個質(zhì)點的振動情況，不同時刻的波形，反映了波形不斷向前推進的波動傳播的全過程二行波t時刻，x處的某個振動狀態(tài)經(jīng)過N的時間，傳播了Ax=gt的距離，傳到了x+Ax處，顯然y(t+At,x+Ax)=y(t,x)行波必須滿足此方程其中x=uLt波是振動狀態(tài)的傳播！習題類型(1)由某質(zhì)元的振動方程(或振動曲線)=求波動方程(2)由某時刻的波形曲線=求波動方程例4.2:一平面波在介質(zhì)中以速度u=20m/s沿直線傳播，已知在傳播路徑上某

5、點A的振動方程為yA=3cos(4nt),如圖4,8所示。(1)若以A點為坐標原點，寫出波動方程，并求出C,D兩點的振動方程；(2)若以B點為坐標原點，寫出波動方程，并求出C,D兩點的振動方程。mi5m學9m解：(1)振幅A=3m,圓頻率。=4nrad/s,頻率乂=必=2Hz,2二波動方程為y=3cos二4t3co：s445C點坐標為xC=-13m,振動方程為jiyc=3cos.4nt一一xI5)113n)=3cos4nt+I5)D點坐標為xD=9m,振動方程為jiyD=3cos二4一一xD59ncos45(2)A點坐標為xA=5m,波動方程為y=3cos二4t-二L九Ax二o：s-45C點坐

6、標為h=4m,振動方程為rnyc=3cosI4二t-xC二513二=3cos14二t5D點坐標為xD=14m,振動方程為yD=3coji二4-xD,二5例4.3:平面簡諧橫波以u=400m/s的波速在均勻介質(zhì)中沿+x方向傳播。位于坐標原點的質(zhì)點的振動周期為0.01秒，振幅為0.1m,取原點處質(zhì)點經(jīng)過平衡位置且向正方向運動時作為計時起點。(1)寫出波動方程；(2)寫出距原點2m處的質(zhì)點P的振動方程；(3)畫出t=0.005秒和0.007秒時的波形圖；(4)若以距原點2m處為坐標原點，寫出波動方程。解：(1)由題意A=0.1m,T=0.01秒，u=400m/s-uT=4m可得圓頻率©=-

7、=200nrad/s,波長T由旋轉(zhuǎn)矢量圖知，原點處質(zhì)點的初相位故原點處質(zhì)點的運動方程為c,-3二y0=0.1cos2t00ym波動方程為33nn)y=0.1cos2t040xm<22J(2)冷=2m處質(zhì)點的振動方程為3 3兀n)(nyP=0.1cos2tD0y-xP01c©ts-200n(3)匕=0.005秒時，波形方程為3冗冗)，5n冗)y=0.1cos.200nti十-x=0.1cos.-xI22J122J=0.1cosx=0.1-sxn2221因為t2-t1=0.0025=T,故由t1時刻的波形向+x萬向平移一即可得t2時刻4 4的波形。如圖所示(4)Ex.4:y=0.1

8、cos(兀ji.)0.1cost-20-0x22已知t=2秒的波形曲線如圖所示，波速u=0.5m/s,沿-x方向傳播（m）.求：（1）O點的振動方程；（2）波動方程解：（1）由t=2s時的波形圖可知A=0.5m,九=2m,二T=&=4s,=-=uT2利用旋轉(zhuǎn)矢量圖法得出t=2秒時O點振動相位i0金20點的初相位J、？O點的振動方程為(JTJI)=0.5co§t-(2)波動方程=0.5cost-xEx:一列機械波沿x軸正向傳播，t=0時的波形如圖所示，已知波速為10ms-1,波長為2m,求：波動方程；（2）P點的振動方程及振動曲線；P點的坐標；解：(1)由題5-13圖可知A=0.1m,t=0時,原點處質(zhì)點振動的初始條件為yo由題知九=2m,u=10m，s,U10L一=5Hz2圓頻率.=2短)=10二原點O的振動方程為fH1y=0.1cos.10nt+-I3J波動方程為y=0.1cosi10二t一-二x3A一(2)由圖知，t=0時，yp=£,VpC0,二4(P點的相位應落后于0點,3故取負值)P點振動