5單自由度系統(tǒng)在簡諧激勵下的受迫振動ppt課件

1、2.1.1 振動微分方程振動微分方程2.1.2 受迫振動的振幅受迫振動的振幅B、相位差的討論、相位差的討論2.1.3 受迫振動系統(tǒng)力矢量的關(guān)系受迫振動系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 2.1.4 受迫振動系統(tǒng)的能量關(guān)系受迫振動系統(tǒng)的能量關(guān)系 2.1.5 等效粘性阻尼等效粘性阻尼 2.1.6 簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 )()(21txtxx2.1.1 振動微分方程振動微分方程 thxptxntxnsindd2dd22200(0)(0)vvxx和00(0)(0)vvxx和thxptxntxnsindd2dd22200(0)(0)vvxx和0dd2dd222xptxntxn2

2、.1.1 振動微分方程振動微分方程 簡諧激振力簡諧激振力tFFsin0S以平衡位置以平衡位置O為坐標原點，為坐標原點，x軸鉛直向軸鉛直向下為正，物塊運動微分方程為下為正，物塊運動微分方程為 tFkxtxctxmsindddd022thxptxntxnsindd2dd222，mFhmcnmkpn022具有粘性阻尼的單自由度受迫振動微分方程，是二階常系數(shù)線性非齊次常微分方程。 )()(21txtxx微微分分方方程程的的解解：有有阻阻尼尼自自由由振振動動運運動動)(1tx tpAxtpd1sinentBtxsin)(22.1.1 振動微分方程振動微分方程 簡諧激勵下的全解、瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動簡諧激勵

3、下的全解、瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動By substituting the particular solution to be determined into the differential equation of motion We arrive at Using the trigonometric relations tBtxsin)(2thxptxntxnsindd2dd222thtntpBnsin)cos(2)sin()(22sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(ttttttEquating the coefficients of and onboth side

4、s of the resulting equation, we obtaintsintcos0sin)(cos2sin2cos)(2222nnpnBhnpBSolution of the above equation gives the amplitude and phase angle of the steady state response of the damped mass-spring system under harmonic excitation:B2.1.1 振動微分方程振動微分方程 ,穩(wěn)態(tài)受迫振動的振幅滯后相位差2222)2()(nphBn 222tanpnn 振幅放大因子0

5、BB22221122220222224)1 ()()(4)(1 / BppnpphBnnnneqnkFphB020 nnnpmcpnpeqeq2,212arctan曲曲線線族族相相頻頻特特性性曲曲線線曲曲線線族族幅幅頻頻特特性性曲曲線線2.1.2 受迫振動的振幅受迫振動的振幅B、相位差、相位差 的討論的討論 在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng)在低頻區(qū)和高頻區(qū)，當(dāng) 1的區(qū)域的區(qū)域(高頻區(qū)或慣性控制區(qū)高頻區(qū)或慣性控制區(qū))， ， ，響應(yīng)，響應(yīng)與激勵反相；阻尼影響也不大。與激勵反相；阻尼影響也不大。03、 1的附近區(qū)域的附近區(qū)域(共振區(qū)共振區(qū))， 急劇增大并在急劇增大并在 1略為略為偏左處有峰值。通常將偏左處有峰值

6、。通常將1，即，即 pn 稱為共振頻率。阻稱為共振頻率。阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭，峰值越大。尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應(yīng)曲線愈陡峭，峰值越大。4、在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小，、在相頻特性曲線圖上，無論阻尼大小， 1時，總有，時，總有， /2 ,這也是共振的重要現(xiàn)象。這也是共振的重要現(xiàn)象。2.1.2 受迫振動的振幅受迫振動的振幅B、相位差、相位差 的討論的討論 5 品質(zhì)因子與半功率帶寬共振(仍按 考慮)時的放大因子稱為品質(zhì)因子。由前面的公式得np21Q品質(zhì)因子與半功率帶寬在1兩側(cè)，幅頻特性曲線可以近似地看成是對稱的。放大因子為 的兩個點稱為半功率點。對應(yīng)于這兩個點的激勵

7、頻率分別為 和 ，它們的差 稱為半功率帶寬。利用放大因子的表達式，可以求得兩個半功率點對應(yīng)的頻率比，即外激勵頻率，注意到 可得2Q1212np221npQ21品質(zhì)因子反映了系統(tǒng)阻尼的強弱和共振峰的陡峭程度。利用上式，可以根據(jù)試驗估算品質(zhì)因子或阻尼比。例題例題. . 質(zhì)量為質(zhì)量為M M 的電機安裝在彈性基礎(chǔ)的電機安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為為e e，偏心質(zhì)量為，偏心質(zhì)量為m m。轉(zhuǎn)子以勻角速。轉(zhuǎn)子以勻角速w w轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動如圖示，試求電機的運動。彈性基礎(chǔ)的作如圖示，試求電機的運動。彈性基礎(chǔ)的作用相當(dāng)于彈簧常量為用相當(dāng)于彈簧常量為k k的彈簧

8、。設(shè)電機運的彈簧。設(shè)電機運動時受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為動時受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c c。 解：取電機的平衡位置為坐標原點O，x軸鉛直向下為正。作用在電機上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。 轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動根據(jù)達朗貝爾原理，有0sindd)(dd222sttmetxMxkMgtxctmekxtxctxMsindddd222)sin(dd2dd2222teMmxptxntxn,22McnMkpn ，= h2eMm轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動電機作受迫振動的運動方程為)sin(tBx222

9、22222224)1 (4)1 (bMmeB212arctgbB222224)1 (Mmeb 當(dāng)激振力的頻率即電機轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率pn時，該振動系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時電機的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。 阻尼比z 較小時，在l=1附近，b值急劇增大，發(fā)生共振。由于激振力的幅值me2與2成正比。當(dāng)0時，0，B0；當(dāng)1時，1，Bb，即電機的角速度遠遠大于振動系統(tǒng)的固有頻率時，該系統(tǒng)受迫振動的振幅趨近于 。 Mme轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動簡諧力和轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動的比較簡諧力和轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動的比較The form of this equation is identica

10、l to that of Eq., where z replaces x and replaces . the differential equation of motion is)dddd()(dd22tytxcyxktxmMaking the substitutionyxzEq. becomestYmtymkztzctzmsindddddd22222where y = Y has been assumed for the motion of the base. tsinYm22meThus the solution can be immediately written as )sin(tZ

11、z2222)()(cmkYmZ2tanmkcResponse of a damped system under the harmonic motion of the base 222224)1 (MmeB2tanmkc)sin(tZz2222)()(cmkYmZIf the absolute motion x of the mass is desired, we can solve for x = z + y. Using the exponential form of harmonic motion givestiYeytiitieZeZez)()(Substituting into Eq.

12、, we obtaincimkYmZei22andtitiiYecimkcikeYZex)()(2Response of a damped system under the harmonic motion of the base 22222)()()(cmkckYX223)()(tancmkkmcThe steady-state amplitude and phase from this equation areand2222)2()1 ()2(12223412arctanResponse of a damped system under the harmonic motion of the

13、base tiitieXeXex)()(Response of a damped S.D.O.F. system under the harmonic motion of the base Stop here after 100 minutes 也可以不按相對運動求解見鄭兆昌機械振動），而直接求解質(zhì)量塊的絕對運動。此時的運動微分方程為即相當(dāng)于質(zhì)量塊受到了兩個簡諧激勵的作用。不論是利用三角函數(shù)關(guān)系還是利用復(fù)指數(shù)函數(shù)，所得結(jié)果與上述結(jié)果相同。tyckytxckxtxmdddddd222.1.3受迫振動系統(tǒng)力矢量的關(guān)系受迫振動系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 tHFsinSxBtsin()sin(dd),cos(d

14、d222tBtxtBtx已知簡諧激振力穩(wěn)態(tài)受迫振動的響應(yīng)為0sindddd22tHkxtxctxm現(xiàn)將各力分別用 B、 的旋轉(zhuǎn)矢量表示。kBc BHmB、 、2應(yīng)用達朗貝爾原理，將彈簧質(zhì)量系統(tǒng)寫成式不僅反映了各力間的相位關(guān)系，而且表示著一個力多邊形。慣性力阻尼力彈性力激振力（a力多邊形 (b) z 1 (c) z = 1 (d) z 12.1.3受迫振動系統(tǒng)力矢量的關(guān)系受迫振動系統(tǒng)力矢量的關(guān)系 2.1.4受迫振動系統(tǒng)的能量關(guān)系受迫振動系統(tǒng)的能量關(guān)系 從能量的觀點分析，振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動的實現(xiàn)，是從能量的觀點分析，振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動的實現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果。現(xiàn)將討論簡諧

15、輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果?，F(xiàn)將討論簡諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動中的能量關(guān)系。激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動中的能量關(guān)系。受迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為受迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為)sin()(tBtx周期 2T1. 激振力tHFSsinsindsin)2sin(2d)cos(sindd)(d000BHttHBttBtHtttxFWTTTSH在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差 ，激振力在，激振力在一周期內(nèi)做功為一周期內(nèi)做功為 ，做功最多。，做功最多。 2BHWH對于無阻尼系統(tǒng)對于無阻尼系統(tǒng)( (除共振情況外除共振情況外) )相位差相位差 。因而，。因而，

16、每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動。每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動。 0或2. 粘性阻尼力粘性阻尼力 做的功做的功 txcFRddTTRRttBctttxFW02220d)(cosd)(dd上式表明，在一個周期內(nèi)，阻尼做負功。它消耗系統(tǒng)的能量。上式表明，在一個周期內(nèi)，阻尼做負功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負功和振幅而且做的負功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動在共振的平方成正比。由于受迫振動在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動的方法是用消耗系統(tǒng)的能量控制振幅的大小。這種減小

17、振動的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實現(xiàn)的。而實現(xiàn)的。2022d)(2cos1 21BcttBcT2.1.4受迫振動系統(tǒng)的能量關(guān)系受迫振動系統(tǒng)的能量關(guān)系 3. 彈性力彈性力 做的功做的功FkxE 能量曲線 表明彈性力在一個振動周期內(nèi)做功之和為零。表明彈性力在一個振動周期內(nèi)做功之和為零。 TEEttxtFW0ddd)(WWHR在一個振動周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量在一個振動周期內(nèi)激振力做功之和等于阻尼力消耗的能量TttBtBk0d)cos()sin(0d)(2sin202TttkB2.1.4受迫振動系統(tǒng)的能量關(guān)系受迫振動系統(tǒng)的能量關(guān)系 2.1.5簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用

18、下受迫振動的過渡階段 系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵響應(yīng)是瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加。系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵響應(yīng)是瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加。先考慮在給定初始條件下無阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng)先考慮在給定初始條件下無阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵的響應(yīng), ,系統(tǒng)系統(tǒng)的運動微分方程和初始條件寫在一起為的運動微分方程和初始條件寫在一起為 00022)0( 0sinddvvxxtFkxtxm通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和通解是相應(yīng)的齊次方程的通解與特解的和, ,即即tkFtpCtpCtxsin11sincos)(20n2n1222204)1 (BB根據(jù)初始條件確定根據(jù)初始條件確定C1C1、C2 C2 。于是得到全解為。

19、于是得到全解為tkFtpppvtpxtxtxtxncos1 coscosp)()()(20nn0nn021其特點是振動頻率為系統(tǒng)的固有頻率其特點是振動頻率為系統(tǒng)的固有頻率, ,但振幅與系統(tǒng)本身的性但振幅與系統(tǒng)本身的性質(zhì)及激勵因素都有關(guān)。質(zhì)及激勵因素都有關(guān)。無激勵時的自由振動無激勵時的自由振動系統(tǒng)對初始系統(tǒng)對初始條件的響應(yīng)條件的響應(yīng)對于存在阻尼的實際系統(tǒng)對于存在阻尼的實際系統(tǒng), ,自由振動和自由伴隨振動的振幅都自由振動和自由伴隨振動的振幅都將隨時間逐漸衰減將隨時間逐漸衰減, ,因此它們都是瞬態(tài)響應(yīng)。因此它們都是瞬態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)強迫振動穩(wěn)態(tài)強迫振動伴隨激勵伴隨激勵而產(chǎn)生自而產(chǎn)生自由振動由振動, ,

20、稱為自由稱為自由伴隨振動伴隨振動2.1.5簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 , 0)0(, 0)0(vx2nn01sinsin)(tptpkFtx共振時的情況共振時的情況假設(shè)初始條件為假設(shè)初始條件為由共振的定義由共振的定義, , 時上式是時上式是 型型, ,利用洛必達法則算出共振時的利用洛必達法則算出共振時的響應(yīng)為響應(yīng)為 100tptpkFtptptpkFtptptpkFtxn2n0nnn0nnn10cos1)(2 )cos(sin22cossinlim)(tpn1arctan2.1.5簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 可見可見,

21、 ,當(dāng)時當(dāng)時 , ,無阻尼系統(tǒng)的振幅隨時間無限增大無阻尼系統(tǒng)的振幅隨時間無限增大. .經(jīng)過短暫時間經(jīng)過短暫時間后后, ,共振響應(yīng)可以表示為共振響應(yīng)可以表示為np)2sin(2cos2)(nn0nn0tptkpFtptpkFtx此即共振時的受迫振動此即共振時的受迫振動. .反映出共反映出共振時的位移在相位上比激振力滯振時的位移在相位上比激振力滯后后 , ,且振幅與時間成正比地增大且振幅與時間成正比地增大 22.1.5簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 圖 共振時的受迫振動有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應(yīng)有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵的響應(yīng). .在給定初始條件下在

22、給定初始條件下的運動微分方程為的運動微分方程為00022)0(,)0(sinddddvvxxtFkxtxctxm )sin(sin)cossin(cossine )sincos(e)(n0n00tBtppptpBtppxpvtpxtxdddtpdddtpnn全解為全解為mkp nmpcn22n1 ppdnp2220)2()1 (/kFB212arctan式中2.1.5簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 如果初始位移與初始速度都為零，則成為如果初始位移與初始速度都為零，則成為)sin(sin)cossin(cossine )(ntBtppptpBtxdddtpn可見

23、過渡階段的響應(yīng)仍含有自可見過渡階段的響應(yīng)仍含有自由伴隨振動。由伴隨振動。 2.1.5簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 過渡階段的響應(yīng)過渡階段的響應(yīng)2.1.5簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 2.1.5簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段簡諧激勵作用下受迫振動的過渡階段 2.1.6 阻尼理論阻尼理論在工程實際中，系統(tǒng)的阻尼大多是非粘性阻尼。為了便于在工程實際中，系統(tǒng)的阻尼大多是非粘性阻尼。為了便于振動分析，經(jīng)常應(yīng)用能量方法將非粘性阻尼簡化成等效粘振動分析，經(jīng)常應(yīng)用能量方法將非粘性阻尼簡化成等效粘性阻尼。等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量性阻尼。等效的原則是：粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量等于非粘性阻尼在一周期內(nèi)消耗的能量