彈性力學(xué)全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)習(xí)題全解

1、 1-7 試畫出題1-7圖中的的矩形薄板的正的體力，面力和應(yīng)力的方向。注意：（1）無論在哪一個(gè)位置的體力，在哪一個(gè)邊界面上的面力，均為沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，反之為?fù)。（2）邊界面上的應(yīng)力應(yīng)是以在正坐標(biāo)面上，方向沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，反之為?fù)，在負(fù)坐標(biāo)面上，方向沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎?，反之為?fù)。1-8 試畫出題1-8圖中的三角形薄板的正的面力和體力的方向。2-7 在導(dǎo)出平面問題的三套基本方程時(shí)，分別應(yīng)用了哪些基本假設(shè)這些方程的適用條件是什么【解答】（1）在導(dǎo)出平面問題的平衡微分方程和幾何方程時(shí)應(yīng)用的基本假定是：物體的連續(xù)性，小變形和均勻性。 在兩種平面問題（ 平面應(yīng)力、平面應(yīng)變問題）中，平衡微分方程和幾

2、何方程都適用。（2）在導(dǎo)出平面問題的物理方程時(shí)應(yīng)用的基本假定是：物體的連續(xù)性，完全彈性，均勻性，小變形和各向同性，即物體為小變形的理想彈性體。 在兩種平面問題（平面應(yīng)力、平面應(yīng)變）中的物理方程不一樣，如果將平面應(yīng)力問題的物理方程中的E換位，就得到平面應(yīng)變問題的物理方程。2-8 試列出題2-8圖（a），題2-8圖（b）所示問題的全部邊界條件。在其端部邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件?！窘狻浚?）對(duì)于圖（a）的問題在主要邊界上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件： 在小邊界（次要邊界）y=0上，能精確滿足下列邊界條件： 在小邊界（次要邊界）上，有位移邊界上條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南

3、原理，改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚時(shí)，（2）對(duì)于圖（b）所示問題在主要邊界上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件： 在次要邊界上，應(yīng)用圣維南原理列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚時(shí)，在次要邊界上，有位移邊界條件：這兩個(gè)位移邊界條件可以改用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件來代替2-9 試應(yīng)用圣維南原理，列出題2-9圖所示的兩個(gè)問題中OA邊的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否靜力等效【解】（1）對(duì)于圖（a），上端面的面力向截面形心簡(jiǎn)化，得主矢和主矩分別為，。應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚時(shí)，（2）對(duì)于圖（b），應(yīng)用圣維南原理，列出三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件，當(dāng)板厚時(shí)，所以，在小邊界

4、OA邊上，兩個(gè)問題的三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件相同，這兩個(gè)問題為靜力等效的。2-10檢驗(yàn)平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么【解】（1）用位移表示的平衡微分方程（2）用位移表示的應(yīng)力邊界條件（3）位移邊界條件2-11檢驗(yàn)平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么【解】（1）平衡微分方程（2）相容方程。（3）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件，） /. （4）若為多連體，還須滿足位移單值條件。2-13檢驗(yàn)下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：（a）題2-13圖（a），。（b）題2-13圖（b），由材料力學(xué)公式，（取梁的厚度b=1），得出所示問題的解答：。又根據(jù)平衡微分方程和邊界條件得出。

5、試導(dǎo)出上述公式，并檢驗(yàn)解答的正確性?！窘狻堪磻?yīng)力求解時(shí)，（本題體力不計(jì)），在單連體中應(yīng)力分量必須滿足：平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件（假設(shè)）。（1） 題2-13圖（a）， 相容條件：將應(yīng)力分量代入相容方程，教材中式（2-23），不滿足相容方程。 平衡條件：將應(yīng)力分量代入平衡微分方程顯然滿足。 應(yīng)力邊界條件：在邊界上，。在邊界上，。滿足應(yīng)力邊界條件。（2） 題2-13圖（b），由材料力學(xué)公式，（取梁的厚度b=1），得出所示問題的解答：。又根據(jù)平衡微分俄方程和邊界條件得出。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗(yàn)解答的正確性。 推導(dǎo)公式：在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲變形，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對(duì)

6、z軸（中性軸）的慣性距，應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程分別為。所以截面內(nèi)任意點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為，。根據(jù)平衡微分方程的第二式（體力不計(jì)），得到。根據(jù)邊界條件得 ，所以 。 相容條件：將應(yīng)力分量代入相容方程。不滿足相容方程。 平衡方程：將應(yīng)力分量代入平衡微分方程顯然滿足。 應(yīng)力邊界條件：在主要邊界上，應(yīng)精確滿足下列邊界條件： 自然滿足。在x=0的次要邊界上，外力的主矢量，主矩都為零。有三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件： 在次要邊界上，。這兩個(gè)位移邊界條件可以改用積分的應(yīng)力邊界條件來代替。所以，滿足應(yīng)力的邊界條件。顯然上兩圖中的應(yīng)力分量都滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，但不滿足相容方程，所

7、以兩題的解答都不是問題的解。【解】參看圖，位移矢量是服從幾何加減運(yùn)算法則的。位移矢量為d，它在(x,y)和坐標(biāo)系中的分量分別表示為，所以 （a）寫成矩陣形式 （b）所以 （c）若寫成一般形式，則位移分量的變換關(guān)系為或。4-14設(shè)有一剛體，具有半徑為R的圓柱形孔道，孔道內(nèi)放置外半徑為R而內(nèi)半徑為r的圓筒，圓筒受內(nèi)壓力為q，試求圓筒的應(yīng)力?！窘狻勘绢}為軸對(duì)稱問題，故環(huán)向位移，另外還要考慮位移的單值條件。（1） 應(yīng)力分量引用軸對(duì)稱應(yīng)力解答，教材中式（4-11）。取圓筒解答中的系數(shù)為A,B,C,剛體解答中的系數(shù)為,由多連體中的位移單值條件，有B=0 ， (a)。 (b)現(xiàn)在，取圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為, 。

8、(c)剛體的應(yīng)力表達(dá)式。 (d)考慮邊界條件和接觸條件來求解常數(shù)和相應(yīng)的位移解答。首先，在圓筒的內(nèi)面，有邊界條件，由此得。 (e)其次，在遠(yuǎn)離圓孔處，應(yīng)當(dāng)幾乎沒有應(yīng)力，于是有，由此得 (f)再次，圓筒和剛體的接觸面上，應(yīng)當(dāng)有。于是有式(c)及式(d)得。（2） 平面應(yīng)變問題的位移分量應(yīng)用教材中式（4-12）的第一式，稍加簡(jiǎn)化可以寫出圓筒和剛體的徑向位移表達(dá)式 （h） （i）剛體的徑向位移為零，在接觸面上，圓筒與剛體的位移相同且都為零，即。將式（h）和式（i）代入，得方程在接觸面上的任意點(diǎn)都成立，取任何值都成立，方程兩邊的自由項(xiàng)必須相等，于是得簡(jiǎn)化并利用式（f），得。 （j）（3）圓筒的應(yīng)力把式

9、（j）代入式（e），得，。圓筒的應(yīng)力為，。4-15在薄板內(nèi)距邊界較遠(yuǎn)的某一點(diǎn)處，應(yīng)力分量為，如該處有一小圓孔，試求孔邊的最大正應(yīng)力。【解】（1）求出兩個(gè)主應(yīng)力，即。原來的問題變?yōu)榫匦伪“逶谧笥覂蛇吺芫祭而在上下兩邊受均布?jí)毫，如圖所示。應(yīng)力分量代入坐標(biāo)變換式，教材中式（4-7），得到外邊界上的邊界條件 （a） （b）在孔邊，邊界條件是 （c） （d）由邊界條件式（a）、（b）、（c）、（d）可見，用半逆解法時(shí)，可假設(shè)為的某一函數(shù)乘以，而為的另一函數(shù)乘以。而，。因此可假設(shè)。將式（e）代入相容方程，教材中式（4-6），得。刪去因子以后，求解這個(gè)常微分方程，得，其中A,B,C,D為待定常數(shù)，

10、代入式（e），得應(yīng)力函數(shù)，由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式將上式代入應(yīng)力邊界條件由式（a）得 (g)由式（b）得 (h)由式（c）得 (i)由式（d）得 (j)聯(lián)立求解式（g）（j），并命，得。將各系數(shù)值代入分量的表達(dá)式，得沿著孔邊，環(huán)向正應(yīng)力是。最大環(huán)向正應(yīng)力為。6-2如題6-2圖所示一平面平應(yīng)狀態(tài)下的三結(jié)點(diǎn)等邊三角形單元，其邊長(zhǎng)為。（1）試求出應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S及單元?jiǎng)哦染仃噆。（2）試求出k中的每行之和及每列之和，并說明原因。（3）設(shè)單元發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移或發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移，試求單元中的應(yīng)力，并說明其原因。(4)設(shè)該單元在jm邊上受有線性分布的壓力，其在j點(diǎn)及m點(diǎn)的集度分別為，試求等效結(jié)點(diǎn)荷載?！窘狻浚?

11、）在所選的坐標(biāo)系中應(yīng)用教材中式（6-19）及（6-20），得應(yīng)用教材中式（6-32）和（6-33），得該單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 （a）應(yīng)用教材中式（6-37）及（6-38），得單元的勁度矩陣。（2）求得式（b）中每一行（或列）的元素之和為零（其第一、三、五個(gè)元素之和或第二、四、六個(gè)元素之和也為零）。因?yàn)閗中的每一個(gè)元素都表示，發(fā)生單位結(jié)點(diǎn)位移時(shí)所引起的結(jié)點(diǎn)力。而各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移都相同，說明單沒有發(fā)生形變，即不會(huì)引起結(jié)點(diǎn)力。（3） 設(shè)單元發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移此時(shí)，單元作平移，則三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，從而結(jié)點(diǎn)力為零；但單元發(fā)生結(jié)點(diǎn)位移，單元作轉(zhuǎn)動(dòng)，從而結(jié)點(diǎn)力也為零。（4） 單元在jm邊上受有線性分布的壓力，在j點(diǎn)及m點(diǎn)的集度分別為（可假設(shè)），此時(shí)，相當(dāng)于有均布荷載和三角形分布荷載（在j點(diǎn)集度為0，m點(diǎn)集度為）同時(shí)作用在jm邊上。 在均布荷載的作用下，x方向的均布面力為；y方向的均布面力為。由教材中式（6-45）求得的結(jié)點(diǎn)荷載為應(yīng)用教材中式（6-22）中的第二式及式（6-21）中的第三式，得。所以，有 （c） 在線性分布荷載（j點(diǎn)集度為0，m點(diǎn)集度為）的作用下，m點(diǎn)x方向的面力為，y方向的均布面力為。由教材中式（6-45）求得的結(jié)點(diǎn)荷載為 （d）三角形分布荷載作用在jm上，兩點(diǎn)的形函數(shù)有，根據(jù)教材式（6-22）的第二式，。代入式（d），得 （e）將式（c）和（e）中對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加，得如果設(shè)