運(yùn)籌學(xué)圖解法的靈敏度分析

1、5.15.1 圖解法的靈敏度分析圖解法的靈敏度分析 n靈敏度分析的概念和重要性靈敏度分析的概念和重要性n目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)c cj j的靈敏度分析的靈敏度分析n約束條件中右邊系數(shù)約束條件中右邊系數(shù)b bi i的靈敏度分析的靈敏度分析 一、靈敏度分析的概念一、靈敏度分析的概念 n靈敏度分析：就是在建立數(shù)學(xué)模型和求得最優(yōu)解之后，研究線性規(guī)劃的一些系數(shù)cj、bi、aij變化時(shí)，對(duì)最優(yōu)解產(chǎn)生什么影響。二、靈敏度分析的重要性二、靈敏度分析的重要性n首先，因?yàn)檫@些系數(shù)都是估計(jì)值和預(yù)測(cè)值，不一定非常精確；n其次，即使這些系數(shù)值在某一時(shí)刻是精確值，他們也會(huì)隨著市場(chǎng)條件的變化而變化，不會(huì)一成不變的

2、。例如，原材料的價(jià)格，商品的售價(jià)、加工能力、勞動(dòng)力的價(jià)格等等都會(huì)影響這些系數(shù)的變化；n有了靈敏度分析就不必為了應(yīng)付這些變化而不停地建立新的模型和求其新的最優(yōu)解，也不會(huì)由于系數(shù)的估計(jì)和預(yù)測(cè)的精確性而對(duì)所求的得最優(yōu)解存在不必要的懷疑。 三、目標(biāo)函數(shù)系數(shù)三、目標(biāo)函數(shù)系數(shù)cj的的靈敏度分析靈敏度分析n例：0,12241032. .46max21212121xxxxxxtsxxF圖解122421 xx204621 xxx1x2426351103221 xxOABC04621 xx討論cj變化對(duì)原問(wèn)題的影響2k2斜率204621 xxx1x242635132k1斜率OABC04621 xx（1）Cj變動(dòng)不

3、影響可行解域；（2）cj變動(dòng)將影響目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率，從而可能影響與可行解域的交點(diǎn)；（3）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率在 和 之間變動(dòng)時(shí)，最優(yōu)解仍在B點(diǎn)；1212討論cj變化對(duì)原問(wèn)題的影響204621 xx04621 xx2k2斜率x1x2426351OABC（4）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率0kk1時(shí)，最優(yōu)解交于A點(diǎn)；1232k1斜率討論cj變化對(duì)原問(wèn)題的影響2k2斜率x1x2426351OABC（5）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率kk2時(shí)，最優(yōu)解交于C點(diǎn)；1232k1斜率討論最優(yōu)解不變時(shí)c1變動(dòng)的范圍（c2=4不變）2k2斜率204621 xx04621 xxx1x242635132k1斜率OABC128c

4、38c324c-2-kkkcck1111221的變動(dòng)范圍為：即，時(shí)，最優(yōu)解不變，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)等值線斜率討論最優(yōu)解不變時(shí)c2變動(dòng)的范圍（c1=6不變）2k2斜率204621 xx04621 xxx1x242635132k1斜率OABC1293c32c6-2-kkkcck2221221c的變動(dòng)范圍為：即，時(shí)，最優(yōu)解不變，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)等值線斜率總結(jié)：總結(jié)：cj的靈敏度分析的靈敏度分析n目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù)cj變化不影響可行解域； ncj變化只影響目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率； n線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解若為可行解域的某一頂點(diǎn)，交于該頂點(diǎn)的兩條直線的斜率即cj變動(dòng)范圍，cj在兩條直線斜率之間變動(dòng)時(shí)，原線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解

5、不變，最優(yōu)值變動(dòng)最優(yōu)值變動(dòng)（cj變動(dòng)）。 四、約束條件中右邊系數(shù)四、約束條件中右邊系數(shù)bi的的靈敏度分析靈敏度分析n例：0,12241032.46max21212121xxxxxxtsxxF討論：當(dāng)b1=10 b1=11時(shí)對(duì)原問(wèn)題的影響122421 xx204621 xxx1x2426351103221 xxOABC04621 xx討論：b1變動(dòng)對(duì)原問(wèn)題的影響（b1=10 b1=11）122421 xx204621 xx04621 xxx1x2426351103221 xxOABC113221 xxBA5 .204621 xx討論：b1變動(dòng)對(duì)原問(wèn)題的影響（b1=10 b1=11）x1x2426

6、351OABCBA（1）原可行解域?yàn)镺ABC，現(xiàn)可行解域?yàn)?ABC。（2）原最優(yōu)解為B點(diǎn)，現(xiàn)最優(yōu)解為B點(diǎn)?？偨Y(jié)：約束條件中右邊系數(shù)總結(jié)：約束條件中右邊系數(shù)bi的的靈敏度分析靈敏度分析 n當(dāng)約束條件右邊系數(shù)bi變化時(shí)，其線性規(guī)劃的可行解域?qū)⒆兓?n當(dāng)某個(gè)bi發(fā)生變動(dòng)時(shí)，它所在的約束條件直線的斜率不變，相當(dāng)于將可行解域的一個(gè)邊界做平行移動(dòng)。 n當(dāng)約束條件右邊系數(shù)bi變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)等值線斜率不變； n當(dāng)bi變動(dòng)時(shí)，重新考察最優(yōu)解的交點(diǎn)是否改變。 討論bi變動(dòng)帶來(lái)最優(yōu)值的變化n例：某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)。生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及A、B兩種原材料的消耗以及資源的限制如下表：n

7、工廠每生產(chǎn)一單位甲產(chǎn)品可獲利50元，每生產(chǎn)一單位乙產(chǎn)品可獲利100元，問(wèn)工廠應(yīng)分別生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品甲和產(chǎn)品乙才能使得獲利最多？甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品資源限制設(shè)備11300臺(tái)時(shí)原料A21400kg原料B01250kg數(shù)學(xué)模型：n設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2：0,02504002300.10050max212212121xxxxxxxtsxxFDBC圖解法400221 xx2502x01005021xx100200300400100200300400OA可行解域?yàn)镺ABCD最優(yōu)解為B點(diǎn)（50，250）最優(yōu)生產(chǎn)方案為：甲生產(chǎn)50，乙生產(chǎn)250；此時(shí)，總利潤(rùn)為27500元。30021 xx現(xiàn)提高設(shè)備可

8、利用臺(tái)時(shí)數(shù)（b1=300 b1=310)n設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2：0,02504002300.10050max212212121xxxxxxxtsxxF0, 02504002310. .10050max212212121xxxxxxxtsxxFDBC圖解法400221 xx2502x01005021xx100200300400100200300400OA此時(shí)，可行解域?yàn)镺ABCD最優(yōu)解為B點(diǎn)（60，250）最優(yōu)生產(chǎn)方案為：甲生產(chǎn)60，乙生產(chǎn)250；此時(shí)，總利潤(rùn)為28000元。BC30021 xxB1變化前后對(duì)比：nb1=300時(shí)，n最優(yōu)解為x1=50,x2=250n最優(yōu)值為 5

9、0*50+100*250=27500nb1=310時(shí)，n最優(yōu)解為x1=60,x2=250n最優(yōu)值為 50*60+100*250=28000每增加一個(gè)臺(tái)時(shí)的設(shè)備就可以多獲得每增加一個(gè)臺(tái)時(shí)的設(shè)備就可以多獲得500/10=50元的利潤(rùn)元的利潤(rùn)設(shè)備臺(tái)時(shí)數(shù)增加10臺(tái)時(shí)總利潤(rùn)增加500元對(duì)偶價(jià)格n約束條件常數(shù)項(xiàng)中增加一個(gè)單位而使得目標(biāo)函數(shù)值得到改進(jìn)的數(shù)量稱之為這個(gè)約束條件的對(duì)偶價(jià)格。n上例中，設(shè)備臺(tái)時(shí)數(shù)的對(duì)偶價(jià)格=50。DBC討論：原料A（b2）的對(duì)偶價(jià)格10020030040010020030040001005021xxOA原料A的約束條件原料B的約束條件設(shè)備臺(tái)時(shí)的約束條件CD400221 xxb b2

10、 2小變動(dòng)對(duì)原問(wèn)題小變動(dòng)對(duì)原問(wèn)題不產(chǎn)生影響不產(chǎn)生影響原料原料A A的的對(duì)偶價(jià)格對(duì)偶價(jià)格為為0 0DBC討論：原料B（b3）的對(duì)偶價(jià)格10020030040010020040001005021xxOA原料A的約束條件原料B的約束條件設(shè)備臺(tái)時(shí)的約束條件BAb b3 3變動(dòng)變動(dòng)會(huì)對(duì)原問(wèn)題的會(huì)對(duì)原問(wèn)題的最優(yōu)解產(chǎn)生最優(yōu)解產(chǎn)生影響影響新的新的最優(yōu)解最優(yōu)解在在B B點(diǎn)點(diǎn)2502x討論：b3增加一個(gè)單位，最優(yōu)值的變化量。nb3=250時(shí)，n最優(yōu)解為x1=50,x2=250n最優(yōu)值為 50*50+100*250=27500nb3=251時(shí)，n最優(yōu)解為x1=49,x2=251n最優(yōu)值為 50*49+100*251=2