中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題目4韋達(dá)定理應(yīng)用探討

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題目4韋達(dá)定理應(yīng)用探討2013年中考攻略專(zhuān)題4韋達(dá)定理應(yīng)用探討韋達(dá)，1540年出生于法國(guó)的波亞圖，早年學(xué)習(xí)法律，但他對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，常利用業(yè)余時(shí)間鉆研數(shù)學(xué)。韋達(dá)第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”）。人們?yōu)榱思o(jì)念他在代數(shù)學(xué)上的功績(jī)，稱他為“代數(shù)學(xué)之父”。韋達(dá)定理說(shuō)的是：設(shè)一元二次方程有二實(shí)數(shù)根，則。這兩個(gè)式子反映了

2、一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù)a，b，c的關(guān)系。其逆命題：如果滿足，那么是一元二次方程的兩個(gè)根也成立。韋達(dá)定理的應(yīng)用有一個(gè)重要前提，就是一元二次方程必須有解，即根的判別式。韋達(dá)定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和中考中有著廣泛的應(yīng)用。錦元數(shù)學(xué)工作室將其應(yīng)用歸納為：不解方程求方程的兩根和與兩根積； 求對(duì)稱代數(shù)式的值； 構(gòu)造一元二次方程； 求方程中待定系數(shù)的值； 在平面幾何中的應(yīng)用；在二次函數(shù)中的應(yīng)用。下面通過(guò)近年全國(guó)各地中考的實(shí)例探討其應(yīng)用。一、不解方程求方程的兩根和與兩根積：已知一元二次方程，可以直接根據(jù)韋達(dá)定理求得兩根和與兩根積。典型例題：例1：（2012湖北武漢

3、3分）若x1、x2是一元二次方程x23x20的兩根，則x1x2的值是【 】A2 B2 C3 D1【答案】C?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥扛鶕?jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x23。故選C。例2：（2001湖北武漢3分）若x1、x2是一元二次方程x24x30的兩個(gè)根，則x1·x2的值是【 】 A.4.   B.3.  C.4.  D.3.【答案】B?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥扛鶕?jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得。故選B。例3：（2012山東煙臺(tái)3分）下列一元二次方程兩實(shí)數(shù)根和為4的是【 】Ax2+2x4=0Bx

4、24x+4=0Cx2+4x+10=0Dx2+4x5=0【答案】D?！究键c(diǎn)】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥扛鶕?jù)一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，要使方程的兩實(shí)數(shù)根和為4，必須方程根的判別式=b24ac0，且x1+x2=4。據(jù)此逐一作出判斷： Ax2+2x4=0：=b24ac=200，x1+x2=2，所以本選項(xiàng)不合題意； Bx24x+4=0：=b24ac=0，x1+x2=4，所以本選項(xiàng)不合題意； Cx2+4x+10=0：=b24ac=280，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以本選項(xiàng)不合題意； Dx2+4x5=0：b24ac=360，x1+x2=4，所以本選項(xiàng)符號(hào)題意。故選D。例4：（201

5、2廣西來(lái)賓3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根為1，那么它的另一個(gè)實(shí)數(shù)根是【 】A2 B0 C1 D2【答案】A。【考點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥吭O(shè)方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根為x，則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1=1，解得x=2。故選A。練習(xí)題：1. （2007重慶市3分）已知一元二次方程的兩根為x1、x2，則x1+x2= 。2. （2005浙江湖州3分）已知一元二次方程的兩個(gè)根為x1、x2，則x1+x2的值是【 】A12 B12 C7 D73. （2011廣西來(lái)賓3分）已知一元二次方程x2+mx2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，則x1·x2= 4

6、.（2011湖北咸寧3分）若關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為【 】ABC1D3 5.（2011云南昆明3分）若x1，x2是一元二次方程2x27x+4=0的兩根，則x1+x2與x1x2的值分別是【 】A、72，2B、，2 C、，2 D、，2二、求對(duì)稱代數(shù)式的值：應(yīng)用韋達(dá)定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對(duì)稱式的值。所謂對(duì)稱式，即若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母交換，代數(shù)式不變（），則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對(duì)稱式，如等。擴(kuò)展后，可以視中與對(duì)稱。典型例題：例1：（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x23x1=0的兩個(gè)根分別是x1、x2，則x12x2+x1x22的值為【 】A3B3C6D6【

7、答案】A?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值?！痉治觥坑梢辉畏匠蹋簒23x1=0的兩個(gè)根分別是x1、x2，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=3，x1x2=1，x12x2x1x22=x1x2（x1x2）=（1）·3=3。故選A。例2：（2012山東萊蕪3分）已知m、n是方程x22x10的兩根，則代數(shù)式的值為【 】A9 B±3 C3 D5【答案】C?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值?！痉治觥縨、n是方程x22x10的兩根，mn=，mn=1。 。故選C。例3：（2012江蘇南通3分）設(shè)m、n是一元二次方程x23x70的兩個(gè)根，則m24

8、mn 【答案】4。【考點(diǎn)】求代數(shù)式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。【分析】m、n是一元二次方程x23x70的兩個(gè)根， m 23 m70，即m 23 m7；mn3。 m24mn（m 23 m）（mn）734。例4：（2012湖北鄂州3分）設(shè)x1、x2是一元二次方程x25x3=0的兩個(gè)實(shí)根，且，則a= .【答案】10?！究键c(diǎn)】一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥縳1、x2是一元二次方程x25x3=0的兩個(gè)實(shí)根，x225x23=0，x1x2=3。 又，即，即。 ，即，解得a=10。練習(xí)題：1. （2012湖南張家界3分）已知m和n是方程2x25x3=0的兩根，則= 2. （

9、2012四川瀘州3分）設(shè)x1，x2是一元二次方程x2 3x 1 =0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為 3. （2012山東日照4分）已知x1、x2是方程2x2+14x16=0的兩實(shí)數(shù)根，那么的值為 .4. （2012黑龍江綏化3分）設(shè)a，b是方程x2x2013=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a22ab的值為 5. （2012黑龍江大慶4分）若方程的兩實(shí)根為、，求的值6. （2011湖北荊州、荊門(mén)3分）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根、，且有，則的值是【 】 A. B. C. 或 D.7.（2011貴州黔東南4分）若、是一元二次方程的兩根，則的值為【 】A、2010 B、2011 C、 D、8. （2011江蘇蘇

10、州3分）已知、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于 9. （2011山東德州4分）若x1，x2是方程x 2+ x1=0的兩個(gè)根，則x 12+ x 22= 10. （2011廣西玉林、防城港6分）已知：、是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根求：的值考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪專(zhuān)題：計(jì)算題三、構(gòu)造一元二次方程：如果我們知道問(wèn)題中某兩個(gè)字母的和與積，則可以利用韋達(dá)定理構(gòu)造以這兩個(gè)字母為根的一元二次方程。擴(kuò)展后字母可為代數(shù)式。典型例題：例1：（2012湖北隨州4分）設(shè)，且1ab20，則= .例2：（2012四川內(nèi)江12分）如果方程的兩個(gè)根是，那么請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：（1） 已知關(guān)于

11、的方程求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；（2） 已知滿足,求；（3） 已知滿足求正數(shù)的最小值?！敬鸢浮拷猓海?）設(shè)關(guān)于的方程的兩根為，則有：，且由已知所求方程的兩根為，。所求方程為，即。（2）滿足，是方程的兩根。 。（3）且 。是一元二次方程的兩個(gè)根，代簡(jiǎn)，得 。又此方程必有實(shí)數(shù)根，此方程的，即，。又 。 。正數(shù)的最小值為4?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，代數(shù)式化簡(jiǎn)?！痉治觥浚?）設(shè)方程的兩根為，得出，再根據(jù)這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案。（2）根據(jù)滿足，得出是一元二次方程的兩個(gè)根，由，即可求出的值。（3）根據(jù)，得出，

12、是一元二次方程的兩個(gè)根，再根據(jù)，即可求出的最小值。例3：（2012四川宜賓8分）某市政府為落實(shí)“保障性住房政策，2011年已投入3億元資金用于保障性住房建設(shè)，并規(guī)劃投入資金逐年增加，到2013年底，將累計(jì)投入10.5億元資金用于保障性住房建設(shè)（1）求到2013年底，這兩年中投入資金的平均年增長(zhǎng)率（只需列出方程）；（2）設(shè)（1）中方程的兩根分別為x1，x2，且mx124m2x1x2+mx22的值為12，求m的值【答案】解：（1）設(shè)到2013年底，這兩年中投入資金的平均年增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5。（2）由（1）得，x2+3x0.5=0，由一元二次方程根與系

13、數(shù)的關(guān)系得，x1+x2=3，x1x2=0.5。又mx124m2x1x2+mx22=12即m（x1+x2）22x1x24m2x1x2=12，即m9+14m2（0.5）=12，即m2+5m6=0，解得，m=6或m=1。【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥浚?）方程的應(yīng)用解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，列出方程求解。本題等量關(guān)系為：2011年、2011年和2013某市用于保障房建設(shè)資金總量=10.5億元，把相關(guān)數(shù)值代入求得合適的解即可。（2）由（1）得到的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得關(guān)于m的一元二次方程，解之即得m的值。例4：（2012貴州黔西南14分）問(wèn)題：已知方程，求

14、一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍。解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x，所以把代入已知方程，得化簡(jiǎn)，得：故所求方程為這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”。請(qǐng)閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）（1）已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為： ；（2）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程的倒數(shù)?！敬鸢浮拷猓海?）y2y2=0。 （2）設(shè)所求方程的根為y，則（x0），于是（y0）。把代入方程，得，去分母，得a+by+cy2=0。若c=0，有，可得有一

15、個(gè)解為x=0，與已知不符，不符合題意。c0。所求方程為cy2+by+a=0（c0）?！究键c(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用。【分析】（1）設(shè)所求方程的根為y，則y=x所以x=y。把x=y代入已知方程，得y2y2=0。（2）根據(jù)所給的材料，設(shè)所求方程的根為y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。練習(xí)題：1. （2004遼寧沈陽(yáng)2分）請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1，兩實(shí)數(shù)根之和為3的一元二次方程： .2. （2005山東臨沂3分）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且其兩根互為倒數(shù) .3.（2002浙江杭州10分）已知某二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為p、q，且滿足關(guān)系式 ，試求這個(gè)

16、一元二次方程4. （2007江蘇淮安3分）寫(xiě)出一個(gè)兩實(shí)數(shù)根符號(hào)相反的一元二次方程： .四、求方程中待定系數(shù)的值：已知方程兩根滿足某種關(guān)系，則可以利用韋達(dá)定理確定方程中待定字母系數(shù)的值。典型例題：例1：（2012湖北天門(mén)、仙桃、潛江、江漢油田3分）如果關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1x22x12x25=0，那么a的值為【 】A3 B3 C13 D13【答案】B?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。【分析】x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+a=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，x1+x2=4，x1x2=a。x1x22x12x25=x1x22（x1+x2）5=

17、a2×（4）5=0，即a+3=0，解得，a=3。故選B。例2：（2012湖南株洲3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2bx+c=0的兩根分別為x1=1，x2=2，則b與c的值分別為【 】Ab=1，c=2Bb=1，c=2Cb=1，c=2Db=1，c=2【答案】D?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥筷P(guān)于x的一元二次方程x2bx+c=0的兩根分別為x1=1，x2=2，x1+x2=b=1+（2）=1，x1x2=c=1×（2）=2。b=1，c=2。故選D。例3：（2012內(nèi)蒙古呼和浩特3分）已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的兩根，且x1+x2=3，x1x2=1

18、，則a、b的值分別是【 】Aa=3，b=1 Ba=3，b=1 C，b=1 D，b=1【答案】D。【考點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥縳1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的兩根，x1+x2=2a，x1x2=b，x1+x2=3，x1x2=1，2a=3，b=1，解得，b=1。故選D。例4：（2012內(nèi)蒙古包頭3分）關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且2x1+x2=7，則m的值是【 】A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7【答案】B?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解不等式和一元二次方程?！痉治觥糠匠逃袃蓚€(gè)正實(shí)數(shù)根， 。 又2x1+x2=7，x1=7m。 將x

19、1=7m代入方程，得。 解得m=2或m=6。 ，m=6。故選B。例5：（2012山東威海3分）若關(guān)于x的方程的兩根互為倒數(shù)，則a= .【答案】1?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，倒數(shù)。【分析】關(guān)于x的方程的兩根互為倒數(shù)，設(shè)兩根為x和。 則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得。 由得。 但當(dāng)時(shí)，無(wú)意義。 a=1。例6：（2012湖北孝感12分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(m3)xm10(1)求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若x1、x2是原方程的兩根，且|x1x2|2，求m的值和此時(shí)方程的兩根【答案】解：（1）證明：由關(guān)于x的一元二次方程x2(m3)xm10得=（m+3

20、）24（m+1）=（m+1）2+4，無(wú)論m取何值，（m+1）24恒大于0，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）x1，x2是原方程的兩根，x1+x2=（m+3），x1x2=m+1。|x1x2|2， （x1x2）2=8，即（x1x2）24x1x2=8。（m+3）24（m+1）=8，即m22m3=0。解得：m1=3，m2=1。當(dāng)m=3時(shí)，原方程化為：x22=0，解得：x1= ，x2=。 當(dāng)m=1時(shí)，原方程化為：x24x2=0，解得：x1=2+ ，x2=2。【考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥浚?）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2(m3)xm10的根的判別式=b24ac的符號(hào)來(lái)判定該方

21、程的根的情況。（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1x2和x1x2，由已知條件|x1x2|2平方后可以得到關(guān)于x1x2和x1x2的等式，從而列出關(guān)于m的方程，通過(guò)解該方程即可求得m的值，最后將m值代入原方程并解方程。例7：（2012湖南懷化10分）已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；（2）求使為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值.【答案】解：（1）成立。是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，；一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，=4a24（a6）a0，且a-60，解得，a0，且a6。由得，即。解得，a=240，且a60。存在實(shí)數(shù)a，使成立，

22、a的值是24。（2），當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，a60，且a6是6的約數(shù)。a6=6，a6=3，a6=2，a6=1。a=12，9，8，7。使為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值有12，9，8，7?！究键c(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，解分式方程。【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得；根據(jù)一元二次方程的根的判別式求得a的取值范圍。（1）將已知等式變形為x1x2=4+（x2+x1），即，通過(guò)解該關(guān)于a的方程即可求得a的值；（2）根據(jù)限制性條件“（x1+1）（x2+1）為負(fù)整數(shù)”求得a的取值范圍，然后在取值范圍內(nèi)取a的整數(shù)值。例8：（2011四川南充8分）關(guān)于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的實(shí)數(shù)解是x1和x2（1）

23、求k的取值范圍；（2）如果x1+x2x1x21且k為整數(shù)，求k的值【答案】解：（1）方程有實(shí)數(shù)根，=224（k+1）0，解得k0。k的取值范圍是k0。（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=2，x1x2=k+1，x1+x2x1x2=2（k+1）。由2（k+1）1，解得k2。又由（1）k0，2k0。k為整數(shù)，k的值為1和0?！究键c(diǎn)】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解一元一次不等式組?！痉治觥浚?）方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，必須滿足=b24ac0，從而求出實(shí)數(shù)k的取值范圍。（2）先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=2，x1x2=k+1再代入所給不等式即可求得k的取值范圍，然后

24、根據(jù)k為整數(shù)，求出k的值。例9：練習(xí)題：1. （2011湖南株洲3分）孔明同學(xué)在解一元二次方程時(shí)，正確解得，則的值為 2. （2011湖北孝感10分）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，（1）求的取值范圍；（2）若，求的值。3. （2012湖北鄂州8分）關(guān)于x的一元二次方程。（1）證明：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且x1=x22，求m的值及方程的根。4. （2012四川南充8分）關(guān)于x的一元二次方程x23xm1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1,x2。（1）求m的取值范圍；（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0求m的值。5. （2011四川達(dá)州3分

25、）已知關(guān)于x的方程x2mx+n=0的兩個(gè)根是0和3，則m= ，n= 。6. （2011四川瀘州2分）已知關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k22=0的兩實(shí)根的平方和等于11，則k的值為 。7. （2011四川樂(lè)山10分）題甲：已知關(guān)于x的方程的兩根為x1、x2，且滿足.求的值。8. （2006北京市7分）已知：關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2，關(guān)于y的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根y1和y2，且2y1y24當(dāng) 時(shí)，求m的取值范圍。9. （2006四川涼山6分）已知：x2+a2x+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2；y1、y2是方程y2+5ay+7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x1y1=x2y2=2求a、b的值。五、在平

26、面幾何中的應(yīng)用：在平面幾何中，兩圓外切，兩圓圓心距離等于兩圓半徑之和；勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方的應(yīng)用，可以與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系相結(jié)合命題。典型例題：例2：（2003江蘇鎮(zhèn)江6分）已知，如圖，RtABC中，ACB=900，AB=5，兩直角邊AC、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。（1）求m的值及AC、BC的長(zhǎng)（BC>AC）（2）在線段BC的延長(zhǎng)線上是否存在點(diǎn)D，使得以D、A、C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？若存在，求出CD的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【答案】解：（1）設(shè)方程的兩個(gè)根分別是x1、x2。x1+x2=m+5，x1x2=6m。 。RtABC中，ACB=90&#

27、176;，AB=5，。，m2-m=0。m=0或m=2。當(dāng)m=0時(shí)，原方程的解分別為x1=0，x2=5，但三角形的邊長(zhǎng)不能為0，所以m=0舍去；當(dāng)m=2時(shí)，原方程為x27x+12=0，其解為x1=3，x2=4，所以兩直角邊AC=3，BC=4。m=2，AC=3，BC=4。（2）存在。已知AC=3，BC=4，AB=5，欲使以AD1C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則。，則CD1=。欲使以AD2C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則。BC=CD2=4。綜上所述，在線段BC的延長(zhǎng)線上是存在點(diǎn)D，使得以D、A、C為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，CD的長(zhǎng)為或4?！究键c(diǎn)】相似三角形的判定，根與系數(shù)的的關(guān)系，相似三角形的判定

28、和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥浚?）先利用根與系數(shù)的關(guān)系與勾股定理求出m的值，再代入m的值求出AC、BC的長(zhǎng)。（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)來(lái)解答此題，利用相似比即可求出CD的長(zhǎng)。練習(xí)題：1. （2012山東濰坊3分）已知兩圓半徑r1、r2分別是方程x27x+10=0的兩根，兩圓的圓心距為7，則兩圓的位置關(guān)系是【 】 A相交 B內(nèi)切 C外切 D外離2. （2006四川廣安8分）已知：ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5試問(wèn)：k取何值時(shí)，ABC是以BC為斜邊的直角三角形？3. （2002江蘇無(wú)錫9分）已知：如圖，O的半徑為

29、r，CE切O于C，且與弦AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，CDAB于D如果CE=2BE，且AC、BC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根求：（1）AC、BC的長(zhǎng)；（2）CD的長(zhǎng)4. （2002湖南益陽(yáng)10分）巳知：如圖，在ABC中，B=90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的半圓交AB于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D當(dāng)時(shí)，AD、AE（ADAE）是關(guān)于x的方程x2（m1）xm2=0（m0）的兩個(gè)根（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）證明：CD的長(zhǎng)度是無(wú)理方程的一個(gè)根；（3）以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、BC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求過(guò)A、B、D三點(diǎn)且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線的解析式5. （2010湖

30、南株洲3分）兩圓的圓心距d=5，它們的半徑分別是一元二次方程x2-5x+4=0的兩個(gè)根，這兩圓的位置關(guān)系是七、在二次函數(shù)中的應(yīng)用：一元二次方程ax2bxc(a0)可以看作二次函數(shù)yax2bxc(a0)當(dāng)y0時(shí)的情形，因此若干二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與軸交點(diǎn)的綜合問(wèn)題都可以用韋達(dá)定理解題。典型例題：例1：（2012天津市3分）若關(guān)于x的一元二次方程（x2）（x3）=m有實(shí)數(shù)根x1,x2，且x1x2，有下列結(jié)論：x1=2，x2=3；二次函數(shù)y=（xx1）（xx2）m的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）和（3，0）其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 例2：（

31、2012甘肅蘭州10分）若x1、x2是關(guān)于一元二次方程ax2bxc(a0)的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x1、x2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x1x2，x1x2把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理如果設(shè)二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，0)，B(x2，0)利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B連個(gè)交點(diǎn)間的距離為：AB|x1x2|。參考以上定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題：設(shè)二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然ABC為等腰三角形(1)當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，求b24ac的值；(2)當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，求b24a

32、c的值【答案】解：（1）當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，過(guò)C作CEAB于E，則AB2CE。拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，b24ac0，則|b24ac|b24ac。a0，AB。又CE，。，即。b24ac0，b24ac4。（2）當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，由(1)可知CEAB，。b24ac0，b24ac12。【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)，根與系數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)?！痉治觥浚?）當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，由于ACBC，所以ABC為等腰直角三角形，過(guò)C作CEAB于E，則AB2CE根據(jù)本題定理和結(jié)論，得到AB，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，得到CE，列出方程，解方程即可求出b24ac的值。（2）當(dāng)ABC為等邊三

33、角形時(shí)，解直角ACE，得CEAB，據(jù)此列出方程，解方程即可求出b24ac的值。例3：（2012廣東梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p24q0）的兩根為x1、x2；求證：x1+x2=p，x1x2=q（2）已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（1，1），設(shè)線段AB的長(zhǎng)為d，當(dāng)p為何值時(shí)，d2取得最小值，并求出最小值例4：（2012湖北荊州12分）已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=（k1）x22kx+k+2的圖象與x軸有交點(diǎn)（1）求k的取值范圍；（2）若x1，x2是函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且滿足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求k的值；當(dāng)kxk+2

34、時(shí)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象確定y的最大值和最大值【答案】解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)y=2x+3，其圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)k1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)，令y=0得（k1）x22kx+k+2=0=（2k）24（k1）（k+2）0，解得k2即k2且k1。綜上所述，k的取值范圍是k2。（2）x1x2，由（1）知k2且k1。由題意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*），將（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又x1+x2=，x1x2=，2k=4，解得：k1=1，k2=2（不合題意，舍去）。所求k值為1。如圖，k1=1

35、，y=2x2+2x+1=2（x）2+，且1x1，由圖象知：當(dāng)x=1時(shí)，y最小=3；當(dāng)x=時(shí)，y最大=。y的最大值為，最小值為3。【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)的定義，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)物關(guān)系，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）分兩種情況討論，當(dāng)k=1時(shí)，可求出函數(shù)為一次函數(shù)，必與x軸有一交點(diǎn)；當(dāng)k1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若與x軸有交點(diǎn)，則0。（2）根據(jù)（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根與系數(shù)的關(guān)系，建立關(guān)于k的方程，求出k的值。充分利用圖象，直接得出y的最大值和最小值。例5：（2012湖北黃石10分）已知拋物線C1的函數(shù)解析式為，若拋物線C1經(jīng)過(guò)點(diǎn)，方程的兩根為，且

36、。（1）求拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo).（2）已知實(shí)數(shù)，請(qǐng)證明：,并說(shuō)明為何值時(shí)才會(huì)有.（3）若拋物線先向上平移4個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位后得到拋物線C2，設(shè)， 是C2上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足： ，.請(qǐng)你用含有的表達(dá)式表示出AOB的面積S，并求出S的最小值及S取最小值時(shí)一次函數(shù)OA的函數(shù)解析式。（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若，則P，Q兩點(diǎn)間的距離）【答案】解：（1）拋物線過(guò)（,）點(diǎn)，3a。a 。x2bx x2bx=的兩根為x1，x2且，且b。b。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。（2）x，。當(dāng)時(shí)，即當(dāng)x時(shí)，有。 （3）由平移的性質(zhì)，得C2的解析式為：yx2 。(m，m2)，B（n，n2）。AOB為直角三角

37、形，OA2OB2=AB2。m2m4n2n4（mn）2（m2n2）2，化簡(jiǎn)得：m n。AOB=，m n，AOB。AOB的最小值為，此時(shí)m,(,)。直線OA的一次函數(shù)解析式為x?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的知識(shí)。【分析】（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數(shù)a、b的值已知拋物線圖象與y軸交點(diǎn)，可確定解析式中的常數(shù)項(xiàng)（由此得到a的值）；然后從方程入手求b的值，題目給出了兩根差的絕對(duì)值，將其進(jìn)行適當(dāng)變形（轉(zhuǎn)化為兩根和、兩根積的形式），結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求出b的值。（2）將配成完全平方式，然后根據(jù)

38、平方的非負(fù)性即可得證。（3）結(jié)合（1）的拋物線的解析式以及函數(shù)的平移規(guī)律，可得出拋物線C2的解析式；在RtOAB中，由勾股定理可確定m、n的關(guān)系式，然后用m列出AOB的面積表達(dá)式，結(jié)合不等式的相關(guān)知識(shí)可確定OAB的最小面積值以及此時(shí)m的值，從而由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)OA的解析式。別解：由題意可求拋物線C2的解析式為：yx2。(m，m2)，B（n，n2）。過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為C、D，則由得 ，即。AOB的最小值為，此時(shí)m,(,)。直線OA的一次函數(shù)解析式為x。例6：（廣東廣州14分）已知關(guān)于的二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，1），且與軸交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0）（1

39、）求的值；（2）求的取值范圍；（3）該二次函數(shù)的圖象與直線1交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)P，記PCD的面積為S1，PAB的面積為S2，當(dāng)01時(shí)，求證：S1S2為常數(shù)，并求出該常數(shù)【答案】解：（1）把C（0，1）代入二次函數(shù)得：100，解得：1。 的值是1。 （2）由（1）二次函數(shù)為，把A（1，0）代入得：01， 1。 二次函數(shù)為與軸有兩個(gè)交點(diǎn)， 一元一次方程根的判別式0，即 0， 1且0。 的取值范圍是1且0。 （3）證明：01， B在A的右邊，設(shè)A（1，0），B（，0）， 由根與系數(shù)的關(guān)系得：1，。 AB。 把1代入二次函數(shù)得：解得：10，2， CD。 過(guò)

40、P作MNCD于M，交軸于N，則MN軸， CDAB，CPDBPA。，即。 解得，。 。 即不論為何值，S1S2的值都是常數(shù)。這個(gè)常數(shù)是1。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，解一元一次方程，解二元一次方程組，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）把C（0，1）代入拋物線即可求出。 （2）把A（1，0）代入得到01，推出1，求出方程的的值即可。 （3）設(shè)A（1，0），B（，0），由根與系數(shù)的關(guān)系求出AB，把1代入拋物線得到方程，求出方程的解，進(jìn)一步求出CD過(guò)P作MNCD于M，交軸于N，根據(jù)CPDBPA，求出PN、PM的長(zhǎng)，根據(jù)

41、三角形的面積公式即可求出S1S2的值即可。例7：（2011黑龍江大慶8分）已知二次函數(shù))圖象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不大于(1)求該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)若該二次函數(shù)圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB長(zhǎng)度的最小值【答案】解：（1）圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），由已知得 ，解得。該二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是不小于3。（2）設(shè)，則是方程的兩個(gè)根。 由（1）可知。由于當(dāng)時(shí)，隨著的增大，也隨著增大當(dāng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度的最小值為?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)和軸的交點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系，韋達(dá)定理。【分析】（1）先求出的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)題意得出 ，即可得出該二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范

42、圍。（2）設(shè)，則是方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，根據(jù)求出線段AB長(zhǎng)度的最小值。例8：（2012湖南長(zhǎng)沙10分）如圖半徑分別為m，n（0mn）的兩圓O1和O2相交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（4，1），兩圓同時(shí)與兩坐標(biāo)軸相切，O1與x軸，y軸分別切于點(diǎn)M，點(diǎn)N，O2與x軸，y軸分別切于點(diǎn)R，點(diǎn)H（1）求兩圓的圓心O1，O2所在直線的解析式；（2）求兩圓的圓心O1，O2之間的距離d；（3）令四邊形PO1QO2的面積為S1，四邊形RMO1O2的面積為S2試探究：是否存在一條經(jīng)過(guò)P，Q兩點(diǎn)、開(kāi)口向下，且在x軸上截得的線段長(zhǎng)為的拋物線？若存在，請(qǐng)求出此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）由題意可知

43、O1（m，m），O2（n，n），設(shè)過(guò)點(diǎn)O1，O2的直線解析式為y=kx+b，則有：（0mn），解得。兩圓的圓心O1，O2所在直線的解析式為：y=x。（2）由相交兩圓的性質(zhì)，可知P、Q點(diǎn)關(guān)于O1O2對(duì)稱P（4，1），直線O1O2解析式為y=x，Q（1，4）。如圖1，連接O1Q， O2Q。Q（1，4），O1（m，m），根據(jù)勾股定理得到：。又O1Q為小圓半徑，即QO1=m，=m，化簡(jiǎn)得：m210m+17=0 同理可得：n210n+17=0 由，式可知，m、n是一元二次方程x210x+17=0 的兩個(gè)根，解得：。0mn，m=5，n=5+。O1（m，m），O2（n，n），d=O1O2=。（3）不存在。理

44、由如下：假設(shè)存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax2+bx+c，開(kāi)口向下，a0。如圖2，連接PQ。由相交兩圓性質(zhì)可知，PQO1O2。P（4，1），Q（1，4），。又O1O2=8，。又O2R=5+，O1M=5，MR=，即拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)為1。拋物線過(guò)點(diǎn)P（4，1），Q（1，4），解得。拋物線解析式為：y=ax2（5a+1）x+5+4a，令y=0，則有：ax2（5a+1）x+5+4a=0，設(shè)兩根為x1，x2，則有：x1+x2=，x1x2=。在x軸上截得的線段長(zhǎng)為1，即|x1x2|=1，（x1x2）2=1，（x1+x2）24x1x2=1，即（）24（）=1，化簡(jiǎn)得：8a210a+1=0，解得

45、a=。可見(jiàn)a的兩個(gè)根均大于0，這與拋物線開(kāi)口向下（即a0）矛盾。不存在這樣的拋物線?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相交兩圓的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)直線過(guò)點(diǎn)O1（m，m），O2（n，n），利用待定系數(shù)法求出其解析式。（2）根據(jù)P、Q關(guān)于連心線對(duì)稱，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)勾股定理分別表示出O1Q和O2Q，由O1Q= m和O2Q= n得到一元二次方程，求解即可得到m，n的大??；最后由勾股定理求d。（3）假設(shè)存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax2+bx+c，因?yàn)殚_(kāi)口向下，所以a0；求出S1、S2，從而求得：，即拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)為1；根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)P（4，1），Q（1，4），用待定系數(shù)法求得其解析式為：y=ax2（5a+1）x+5+4a；由拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)為1，即|x1x2|=1，得到關(guān)于a的一元二次方程，此方程的兩個(gè)根均大于0，這與拋物線開(kāi)口向下（a0）相矛盾，所以得出結(jié)論：這樣的拋物線不存在。練習(xí)題：1. （2011貴州黔南4分）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解，另一個(gè)解= A、1 B、 C、 D、02.