高數(shù)下冊(cè)筆記精

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第七章 微分方程§1 微分方程的基本概念一.基本概念:1.微分方程;凡表示未知函數(shù),未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系式稱為微分方程2.常微分方程;如果微分方程中的未知函數(shù)是一元函數(shù)，則稱此類(lèi)方程為常微分方程3.偏微分方程; 如果微分方程中的未知函數(shù)是多元函數(shù)，則稱此類(lèi)方程為偏微分方程4.微分方程的階;微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，就稱為此微分方程的階5.微分方程的解;將某個(gè)已知函數(shù)代入到微分方程的左右兩邊可使其成為恒等式，那么就稱此已知函數(shù)為此微分方程的解6.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相

2、等，則這樣的解就稱為此微分方程的通解7.微分方程的初始條件與特解.8.微分方程的積分曲線: 微分方程的解的圖象是一條平面曲線，稱此曲線為微分方程的積分曲線二例題分析P2635寫(xiě)出由下列條件所確定的曲線所滿足的微分方程:例1曲線在點(diǎn)處的切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方.解：設(shè)該曲線的方程為,則由題意得: .-這就是所需確定的曲線應(yīng)滿足的微分方程例2曲線上點(diǎn)處的法線與軸的交點(diǎn)為,且線段被軸平分.解：設(shè)該曲線的方程為,且設(shè)曲線在點(diǎn)P處的法線記為L(zhǎng)，則其斜率為；設(shè)法線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，再設(shè)法線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M，進(jìn)而得法線的方程為：且即；則易求得：且由題意知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)知：且由上述，兩式最終可得：-這

3、就是所需確定的曲線應(yīng)滿足的微分方程§2可分離變量的一階微分方程（注：它是一類(lèi)最易求解的微分方程?。┮灰浑A微分方程的一般形式和一階微分方程的對(duì)稱形式：一般形式：對(duì)稱形式：二何為可分離變量的一階微分方程？如果某一階微分方程由對(duì)稱式：，可等價(jià)地轉(zhuǎn)化為的形式，則稱原方程為可分離變量的微分方程三可分離變量的一階微分方程的基本解法：（可由如下兩步來(lái)完成求解過(guò)程）第一步：進(jìn)行自變量，與因變量，的左右分離；第二步：方程兩邊同時(shí)作不定積分即可求得原方程的隱式通解§一階齊次微分方程（注：它是一類(lèi)經(jīng)變量代換之后，可轉(zhuǎn)化為變量左右分離的一階微分方程?。┮灰浑A齊次微分方程的定義：在某個(gè)一階微分方程中

4、，如果方程右邊的函數(shù)可寫(xiě)成的函數(shù)式即，也即原方程形如：，則稱此微分方程為一階齊次微分方程二一階齊次微分方程的基本解法：轉(zhuǎn)化求解法即首先將原一階齊次微分方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程；然后再按變量分離方程的解法去求解即可！具體地說(shuō)，第一步，作變量代換令，則，代入原一階齊次微分方程得：；第二步，進(jìn)行變量與的左右分離得：；第三步，兩邊求不定積分即可得其解三例題分析參見(jiàn)271例又如276（4）求方程的通解解：原方程可轉(zhuǎn)化為，作變量代換令，則；則原方程轉(zhuǎn)化為：（注意：齊次方程在進(jìn)行變量代換之后，一定是可以進(jìn)行變量分離的?。┚o接著就進(jìn)行自變量與因變量的左右分離最后兩邊作不定積分即可§一階線性微分方程一一

5、階線性微分方程的定義：稱形如：的方程為一階線性微分方程（注：因?yàn)榉匠痰淖筮厡?duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)是一次線性組合的形式，所以稱上述方程為線性方程！）（i）.當(dāng)時(shí)，則稱為一階線性齊次微分方程（ii）.當(dāng)時(shí)，則稱為一階線性非齊次微分方程二一階線性微分方程的解法（常數(shù)變易法是求解線性非齊次方程的基本方法）所謂的常數(shù)變易法：就是為了求解某一階線性非齊次方程，可先去求解與其所對(duì)應(yīng)的齊次方程；然后在所得齊次方程的通解中，將任意常數(shù)代換成一個(gè)待定的未知函數(shù)來(lái)構(gòu)造生成非齊次方程的解；最后再將由此法構(gòu)造生成的解，代回原非齊次方程中去確定那個(gè)待定函數(shù)的表達(dá)式整個(gè)這樣的求解過(guò)程就稱為非齊次方程的常數(shù)變易法（可參考27

6、8例）一階線性微分方程：的通解公式如下：請(qǐng)牢記！三伯努利方程（注：它是一類(lèi)經(jīng)變量代換之后可轉(zhuǎn)化為可分離變量的一階微分方程?。┎匠痰亩x我們稱形如：（）的方程為伯努利方程（或稱級(jí)伯努利方程）伯努利方程的解法（變量代換轉(zhuǎn)化法）只要令，則，將其代入原級(jí)伯努利方程（）可得-這是一個(gè)一階線性非齊次方程!進(jìn)而可由一階線性非齊次方程的通解公式求出其解,這樣也就求出原伯努利方程（）的解!變量代換法在求解微分方程中的運(yùn)用利用變量代換（包括自變量的變量代換和因變量的變量代換），把一個(gè)微分方程轉(zhuǎn)化為可分離變量方程，或轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知其求解步驟的方程，這是解微分方程的常用方法例解方程2829（1）解：可令，則原方

7、程轉(zhuǎn)化為兩邊積分就可得其解例282.9.（3）解方程解：可令兩邊關(guān)于自變量求導(dǎo)得代入原方程得：，兩邊積分就可得其解§可降階的高階微分方程（本節(jié)著重掌握三種容易降階的高階微分方程的解法）一型微分方程這類(lèi)高階微分方程的解法很簡(jiǎn)單，只要兩邊積分次，就可得其通解二型微分方程首先此方程的類(lèi)型是二階顯微分方程，且此這類(lèi)二階顯微分方程的特征是不顯含因變量此類(lèi)方程的解法：運(yùn)用變量代換進(jìn)行降階求解具體地，可令，則，進(jìn)而原方程轉(zhuǎn)化為：這是一個(gè)一階顯微分方程根據(jù)其具體形式，可按前幾節(jié)所介紹的求解一階方程的解法去求解得其通解設(shè)為又，也即有，最后只要兩邊再作一次積分，就可得原二階顯微分方程的解三型微分方程首先

8、方程的類(lèi)型也是二階顯微分方程，且此這類(lèi)二階顯微分方程的特征是不顯含自因變量此類(lèi)方程的解法：也是運(yùn)用變量代換進(jìn)行降階求解具體地，可令，則，進(jìn)而原方程轉(zhuǎn)化為這也是一個(gè)一階顯微分方程根據(jù)其具體形式，可按前幾節(jié)所介紹的求解一階方程的解法去求解設(shè)得其通解為又，也即有，最后只要兩邊再作一次積分，就可得原二階顯微分方程的解四例題分析2921（5）求解方程：解：第一步：判定此方程的類(lèi)型是二階顯微分方程且不顯含因變量，即型接著可令，則，進(jìn)而原方程轉(zhuǎn)化為：這是一階線性非齊次方程由一階線性非齊次方程的通解公式知：；進(jìn)而知：，最后只要兩邊再作一次積得原方程的通解五微分方程的參數(shù)方程形式的隱式通解及其在有關(guān)問(wèn)題中的運(yùn)用

9、所謂微分方程的參數(shù)方程形式的隱式通解就是將微分方程的通解用參數(shù)方程形式來(lái)刻畫(huà)即將微分方程的自變量與因變量都表達(dá)成某個(gè)參數(shù)的函數(shù)式的形式例如：2921（4）求解方程：解：首先判定此方程的類(lèi)型是二階顯微分方程且不顯變量和，它同屬與型；所以解法相對(duì)由自以下我們來(lái)介紹微分方程的參數(shù)方程形式的隱式通解給大家！先設(shè)，則進(jìn)而原方程轉(zhuǎn)化為：這就求得了自變量關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式；以下再來(lái)求出因變量關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式，進(jìn)而就可得原方程的參數(shù)方程形式的隱式通解由，所以；從而原方程的參數(shù)方程形式的隱式通解為：注：運(yùn)用同樣的方法，大家可以嘗試一下去求解292（8）；（9）；（10）§高階線性微分方程（主要的是學(xué)習(xí)二

10、階線性微分方程的有關(guān)理論?。┮欢A線性微分方程的定義： 稱形如：（）的方程為二階線性微分方程（注：方程的左邊對(duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)這三者來(lái)說(shuō)，是一次線性組合形式！）（i）.當(dāng)時(shí)，則稱為二階線性齊次微分方程（ii）.當(dāng)時(shí)，則稱為二階線性非齊次微分方程二二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二階線性齊次微分方程解的疊加原理定理：設(shè)與都是二階線性齊次微分方程的解，則此兩解的任意線性組合也是此二階線性齊次微分方程的解定理揭示了齊次方程的解所滿足的一種性質(zhì)此性質(zhì)常稱為齊次方程解的疊加原理多個(gè)函數(shù)間的線性相關(guān)性與線性無(wú)關(guān)性的定義（參見(jiàn)教材296從略）特別地，兩個(gè)函數(shù)與在區(qū)間上線性相關(guān)常數(shù)，二階線性齊次微分方程的通解的結(jié)構(gòu)

11、定理：設(shè)與是二階線性齊次微分方程的解，且與線性無(wú)關(guān)，則此兩解的任意線性組合就是原二階線性齊次微分方程的通解定理揭示了如何用齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解去構(gòu)造生成齊次方程的通解！ 二階線性非齊次微分方程通解的結(jié)構(gòu)定理：設(shè)是二階線性非齊次微分方程（）的一個(gè)特解，且是對(duì)應(yīng)的二階線性齊次方程的通解，則就是原二階線性非齊次微分方程（）的通解定理揭示了如何用齊次方程的通解去構(gòu)造非齊次方程的通解！即：非齊次通解齊次通解非齊次特解二階線性非齊次微分方程解的疊加原理（297定理）定理：設(shè)有二階線性非齊次微分方程，（其中）而是的特解，且是的特解則就是原二階線性非齊次方程的一個(gè)特解定理揭示了如何去求非齊次方程特解的

12、一種方法它通常又稱為非齊次方程解的疊加原理！定理：設(shè)與是二階線性非齊次微分方程（）的兩個(gè)不相等的特解，則是對(duì)應(yīng)的二階線性齊次方程的一個(gè)非零特解此定理揭示了如何用二階線性非齊次方程的二個(gè)特解去構(gòu)造生成對(duì)應(yīng)的齊次方程的特解！例題分析326.(4)已知是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求該方程的通解？分析與解答：設(shè)此二階線性非齊次微分方程為（），則由定理知：非齊次通解齊次通解非齊次特解，現(xiàn)由題意知非齊次特解可取之中的任意一個(gè)，故以下只要求出齊次通解來(lái)即可再由定理知：齊次通解是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的齊次特解的任意線性組合即：（其中是兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的齊次特解）而現(xiàn)在又應(yīng)如何來(lái)求得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的齊次特解呢？這可

13、根據(jù)定理來(lái)得到！由定理知，可令：且，且顯然兩者線性無(wú)關(guān)，所以原非齊次方程的通解為三二階線性非齊次微分方程的求解過(guò)程中的常數(shù)變易法與二階線性非齊次微分方程的通解公式二階線性非齊次微分方程求解過(guò)程中的常數(shù)變易法為了求解二階線性非齊次微分方程（），可先求解與之對(duì)應(yīng)的齊次方程；第一步：先求得對(duì)應(yīng)的二階線性齊次微分方程（）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特解與，則由定理知：（）就是原二階線性齊次微分方程（）的通解；第二步：對(duì)齊次方程的通解（）作常數(shù)變易，去構(gòu)造生成非齊次微分方程（）的解為()（其中是兩個(gè)待定的未知函數(shù)）；第三步：接下來(lái)將（）式代入原非齊次方程（）并設(shè)法去求出，這樣也就求出了原非齊次方程（）的解了！這就是二

14、階線性非齊次微分方程求解過(guò)程中的常數(shù)變易法二階線性非齊次微分方程的通解公式定理設(shè)與是二階線性齊次方程（）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，記，則與之對(duì)應(yīng)的二階線性非齊次方程（）有通解公式：§常系數(shù)齊次線性微分方程（重點(diǎn)是掌握二階線性常系數(shù)微分方程的有關(guān)理論?。┮欢A線性常系數(shù)微分方程的定義： 在二階線性微分方程：（）之中，(i)如果的系數(shù)都是常數(shù)，即（）式成為（其中為常數(shù)），則稱其為二階線性常系數(shù)微分方程；(ii)如果不全為常數(shù)，則稱為二階線性變系數(shù)微分方程 二二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法：（如下方法通常稱為特征根公式法）第一步，寫(xiě)出原微分方程的特征方程，并求出此方程的二個(gè)特征根；第二步，根據(jù)

15、特征根的不同情形，原方程的通解公式如下：(i)若特征根不相等，則原方程的通解為：；(ii)若特征根為相等，則原方程的通解為：；(iii)若特征根為一對(duì)共軛復(fù)根，則原方程的通解為：三二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解舉例：參見(jiàn)教材304-305例; 例; 例等§常系數(shù)非齊次線性微分方程（重點(diǎn)只需掌握如下關(guān)于二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的通解公式?。┮魂P(guān)于二階線性常系數(shù)非齊次微分方程（其中為常數(shù)）有如下結(jié)論：定理：設(shè)與是二階線性常系數(shù)非齊次微分方程（）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，記，則與之對(duì)應(yīng)的二階線性非齊次方程（）有通解公式：請(qǐng)記牢！注：此定理只不過(guò)是第七節(jié)中介紹的定理的一個(gè)特例而已！二常系數(shù)

16、二階非齊次線性微分方程求解舉例例如313.例求方程的通解解：由定理應(yīng)首先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，再運(yùn)用定理來(lái)求原非齊次方程的通解易知齊次方程的特征方程為，特征根于是，齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解為；進(jìn)而原非齊次方程的通解為：三本章雜例3277設(shè)有可導(dǎo)函數(shù)滿足，求分析與解答：這是一個(gè)積分方程，求解積分方程的思路：首先我們把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)與其對(duì)應(yīng)的微分方程，再來(lái)求解現(xiàn)由兩邊關(guān)于自變量求導(dǎo)數(shù)得：現(xiàn)記，則有這是一階線性非齊次微分方程由通解公式得：又由條件知，當(dāng)時(shí)，則，所以綜上得原方程的解為：四綜述求解微分方程的一般程序如下：第一步，判定方程的類(lèi)型，它是一階微分方程還是二階微分方程？（我們知道標(biāo)準(zhǔn)求解步驟

17、的一階方程類(lèi)型包括：可分離變量方程；齊次方程；一階線性（非）齊次方程；貝努利方程）；第二步，根據(jù)我們?cè)诒菊滤v的各種方程的標(biāo)準(zhǔn)解法去求解！補(bǔ)充說(shuō)明：如果方程類(lèi)型是我們很陌生的形式，那么就首先考慮運(yùn)用變量代換法將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的方程類(lèi)型；然后再按上面的標(biāo)準(zhǔn)步驟去解決問(wèn)題第八章 空間解析幾何§ 向量及其線性運(yùn)算一. 一些基本概念 向量與自由向量;單位向量與零向量;向量的共線與共面;向量的模,方向角,以及投影等.二. 向量的加法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算的定義三.向量的線性運(yùn)算在空間直角坐標(biāo)系下的表達(dá) 借助于空間直角坐標(biāo)系，向量間的線性運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為它們坐標(biāo)之間的線性運(yùn)算§ 向量的數(shù)量積

18、向量積混合積一兩個(gè)向量的數(shù)量積數(shù)量積的定義 （其中為向量之間的夾角）數(shù)量積與投影之間的關(guān)系數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律二兩個(gè)向量的向量積向量積的定義 （其中為向量之間的夾角）向量積的模的幾何意義：它表示以向量為鄰邊所成的平行四邊形的面積三三個(gè)向量的混合積混合積的定義 三個(gè)混合積的模的幾何意義：它表示以向量為鄰邊所成的平行六面體的有向體積 即；(i) 當(dāng)呈右手系時(shí)，；(ii) 當(dāng)呈左手系時(shí)，§ 曲面及其方程一. 曲面方程的概念1. 如果某曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)與某個(gè)三元方程的解之間能構(gòu)成一一對(duì)應(yīng),則稱這個(gè)三元方程為此曲面S的方程;2. 建立曲面方程的一般方法:首先在所求曲面上任取一點(diǎn)M，記其坐標(biāo)為,然

19、后利用該曲面的特征并將其等價(jià)地表達(dá)為點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件式即可!例如 :試求球心在點(diǎn),半徑為R的球面方程? 解:設(shè)為所求球面上任意一點(diǎn),則由即所以二. 旋轉(zhuǎn)曲面1. 旋轉(zhuǎn)曲面的定義(參見(jiàn)P312)2. 坐標(biāo)平面內(nèi)的平面曲面繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面的方程及其特點(diǎn):例如: 將坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線： 繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面的方程只要將平面曲線：的方程中的代換為，即得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為又如: 將坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線：繞軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面的方程只要將平面曲線：的方程中的代換為，即得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為三. 柱面1.柱面的定義(參見(jiàn)P314)2.四種常見(jiàn)的柱面:圓柱面;橢圓柱面;拋物柱面;雙曲柱面3.二元方程在空間直角坐

20、標(biāo)系中的幾何意義: 二元方程在空間直角坐標(biāo)系中的總表示一個(gè)母線平行于坐標(biāo)軸的柱面.例如:方程表示的就是一個(gè)以坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線：為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面四. 二次曲面1. 九種二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其大致的曲面形狀2. 掌握運(yùn)用對(duì)旋轉(zhuǎn)曲面伸縮變形來(lái)認(rèn)識(shí)一般的二次曲面形狀的思想方法;例如： 橢圓錐面：的大致形狀可以按如下方式分析：首先將曲面方程中的改成，易知方程：表示的是一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面，且它可以由平面內(nèi)的兩條對(duì)稱直線：繞軸旋轉(zhuǎn)來(lái)生成；進(jìn)而把此旋轉(zhuǎn)曲面沿軸方向伸或縮倍，即得橢圓錐面：的形狀！§4 空間曲線及其方程一. 空間曲線的一般方程：即將空間曲線看成兩張曲面的交線形式設(shè)和是某兩張曲面的方

21、程，則它們的交線為；二. 空間曲線的參數(shù)方程，（有關(guān)定義參見(jiàn)）三. 空間曲線向坐標(biāo)平面的投影曲線與投影柱面（定義參見(jiàn)）四. 二個(gè)三元方程聯(lián)立消元的幾何意義聯(lián)立消元的幾何意義：實(shí)際上就是在求這兩個(gè)方程聯(lián)立的方程組所表示的空間曲線向某個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)的投影柱面的方程例如：試求球面與平面的交線在坐標(biāo)面上的投影柱面與投影曲線的方程？解：即需求空間曲線，向坐標(biāo)面內(nèi)的投影柱面與投影曲線的方程為此，只要在上述方程組中消去變量，得即為所需求的投影柱面的方程，而上述空間曲線向坐標(biāo)面的投影曲線的方程為§5平面及其方程一. 平面的點(diǎn)法式方程 設(shè)某平面過(guò)一定點(diǎn)且以為其法向量，則所求平面的點(diǎn)法式方程為：二. 平面的

22、一般式方程：（應(yīng)知此平面是以向量為其法向量的某一張平面）三. 平面的截距式方程：；數(shù)值分別稱為該平面在，軸上的截距四. 兩個(gè)平面的夾角兩個(gè)平面的夾角是指這兩個(gè)平面的法向量之間的夾角（當(dāng)其是銳角時(shí)），或者是指這兩個(gè)平面的法向量之間的夾角的補(bǔ)角（當(dāng)其是鈍角時(shí)）五. 點(diǎn)到面的距離公式設(shè)是空間中的任意一點(diǎn)，記其到平面：的距離為，則§6 空間直線及其方程一.空間直線的一般方程(或稱交線式方程)：二.空間直線的點(diǎn)向式方程(或稱對(duì)稱式方程)：三.空間直線的參數(shù)式方程由空間直線的點(diǎn)向式方程：，得此即為該直線的參數(shù)式方程；四.空間直線的兩點(diǎn)式方程設(shè)有直線過(guò)兩點(diǎn)，則此直線的兩點(diǎn)式方程為五.兩直線的夾角兩直線的夾角是指這兩條直線的方向向量之間的夾角（當(dāng)其是銳角時(shí)），或者是指這兩條直線方向向量之間的夾角的補(bǔ)角（當(dāng)其是鈍角時(shí)）六. 直線與平面的夾角（定義參見(jiàn)）七. 平面束的方程及其在解題中的運(yùn)用 所謂平面束就是指經(jīng)過(guò)某一定直線的所有平面的全體；平面束的方程