等差、等比數(shù)列以及數(shù)列求和專題

1、§6.2等差數(shù)列課程目標(biāo)理解等差數(shù)列的概念;1. 掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式；能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；2. 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.二知識梳理定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an+1an=d（nN,d為常數(shù)），或anan1=d（n絲，d為常數(shù)）.通項公式若等差數(shù)列an的首項是ai,公差是d,則其通項公式為an=ai+(n1)d.1. 前n項和公式等差數(shù)列的前n項和公式：Sn=na1-n(

2、ni)d=an)其中nN*,ai為首項，2d為公差，an為第n項).3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，S是an的前n項和.(1) 通項公式的推廣：an二am，(n_m)d(n,m：=N*)(2) 若耐n=p+q(mn,p,qN)，則有aaaaq。特別的，當(dāng)m+n=2p時，aman=2ap(3) 等差數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)d>0時，an是遞增數(shù)列；當(dāng)dv0時，an是遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時，an是常數(shù)列.(4) 若an是等差數(shù)列，公差為d,貝yak,ak+m,ak+2m(k,肚N)是公差為md的等差數(shù)列.(5) 若an,bn是等差數(shù)列，則panqbn仍是等差數(shù)列.2. 與等差數(shù)列各項

3、和相關(guān)的性質(zhì)(1)若an是等差數(shù)列，貝叫蛍也是等差數(shù)列，其首項與an的首項相同，公差為an的n1公差的丄。2(2)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m_S2m也是等差數(shù)列(3)關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項與偶數(shù)項的性質(zhì)。a.若項數(shù)為2n，則S禺-S奇二nd,S呂禺b.若項數(shù)為2n-1,則S禺二n(n-1)an,S奇二nan,S偶(4)若兩個等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn,Tn,則色bnT2n/3. 等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系：d2d2(1) Sn2(a-)n，數(shù)列an是等差數(shù)列？$=An+Bn(A,B為常數(shù)).(2) 在等差數(shù)列an中，a1>0,dv0,貝US存在最大值；若av0,d

4、>0,貝US存在最小值.考點梳理等差數(shù)列的概念及運算例1.(2016全國I卷)已知等差數(shù)列an前9項的和為27,a10=8,則aeo=()例2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為S,Sb=6,S=12,則$=練習(xí)1.(2015全國I卷)已知an是公差為1的等差數(shù)列，S為an的前n項和.若$=4S,則a10等于()171922等差數(shù)列的性質(zhì)例1.（2015全國n卷）設(shè)S是等差數(shù)列an的前n項和，若ai+a3+as=3,貝U0=（）例2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為S,若S3=9,$=36,貝Ua?+a*+ao等于（）例3.若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146,且所有項的和為390，則

5、這個數(shù)列的項數(shù)為（）例4.（2015廣東卷）在等差數(shù)列an中，若a3+a4+as+a6+a7=25,貝Va2+a8=例5.（2016武漢調(diào)研）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1+a7=8,a2=2，則數(shù)列an的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4例6.設(shè)等差數(shù)列an,bn的前n項和分別為Sn,Tn,若對任意自然數(shù)n都有7=?二3則Tn4n3_ag_b5+b7_ag_b5+b7_as_b8+b4的值為等差數(shù)列與函數(shù)例1.等差數(shù)列an的前n項和為S,已知a1=13,S=S1，當(dāng)$最大時，n的值是（）a69例2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為S,a1>0且一=一，則當(dāng)S取最大值時，n的值為（）a511

6、例3.已知等差數(shù)列an滿足ai+a2+as+-+aioi=0，則有()A.ai+aioi>0B.A.ai+aioi>0B.a2+aiooV0C.a3+a99=0D.a5i=51例4.已知正項等差數(shù)列an的前n項和為S,若S2=24,則a6a7的最大值為()例5.設(shè)Sn是公差為d(d=0)的無窮等差數(shù)列an的前n項和，則下列命題錯誤的是()若d<0，則數(shù)列Sn有最大項A. 若數(shù)列Sn有最大項，則d<0若數(shù)列Sn為遞增數(shù)列，則對任意nN*，均有Sn>0B. 若對任意N*，均有Sn>0,則數(shù)列Sn為遞增數(shù)列例6.設(shè)等差數(shù)列an滿足a2=7,a4=3,S是數(shù)列an的

7、前n項和，則使得S>0成立的最大的自然數(shù)n是()A.9B.10C.11D.12方法總結(jié)：求等差數(shù)列前n項和的最值，常用的方法：(1) 利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項；利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；將等差數(shù)列的前n項和S=Ar2+Bn(A,B為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.§6.3等比數(shù)列一課程目標(biāo)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式；1. 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題;了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.二知識梳理等比數(shù)列的概念如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零

8、常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q（q老）表示.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：q（n絲，q為非零常數(shù)），或一q（nN,q為非零常數(shù)）.ch1an如果三個數(shù)a,Gb成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，其中G=±ab.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式n一1（1）若等比數(shù)列a“的首項為ai，公比是q,則其通項公式為an=aiq;通項公式的推廣：nmanamq.等比數(shù)列的前a1(1qn)a1anqn項和公式：當(dāng)q1時，Sna；當(dāng)q為時，Sy1q1q3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知an是等比數(shù)列，S是數(shù)列an的前n項和.(1)若k+I=n(k,l,mnN)，則有akai=

9、aman.數(shù)列can(c式0),an,anbn(bn是等比數(shù)列)，a；,等也是等比數(shù)列。相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak,ak+m,ak+；m,仍是等比數(shù)列，公比為mq.當(dāng)q=1,或q=1且n為奇數(shù)時，S,SnS,&一&仍成等比數(shù)列，其公比為qn.等比數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)q>1,a0或0vqv1,av0時，數(shù)列an是遞增數(shù)列；當(dāng)q>1,a1v0或0vqv1,a>0時，數(shù)列an是遞減數(shù)列；當(dāng)q=1時，數(shù)列an是常數(shù)列.（6）當(dāng)n是偶數(shù)時，S偶S奇q；當(dāng)n為奇數(shù)時，S奇=a1S偶q三考點梳理等比數(shù)列的概念及運算5例1.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列an中，若a3

10、=1,a2a,則a1=（）2例2.公比不為1的等比數(shù)列an滿足a5a6-a4a?=18，若a1a9，則m的值為（）例3.（2015全國I卷）在數(shù)列an中，a1=2,an+1=2an,S為an的前n項和.若S=126,貝Hn=.1. 等比數(shù)列的性質(zhì)例1.（2016全國I卷）設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10,a2+a4=5，貝Uaa?an的最大值為例2.設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為S,若=3，則|=()78A.2B.3C.3D.3例3.(2015全國n卷)已知等比數(shù)列an滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a?=()例4.設(shè)各項都是正數(shù)的等比數(shù)列an，&為前n項和，且S10=1

11、0,$。=70,那么S。等于（）A.150B.200C.150或200D.400或50例5.在正項等比數(shù)列an中，已知ai&a3=4,a4asa6=12,anianan+1=324,則n等于()例6.數(shù)列an中，已知對任意nN,ai+a2+as+an=3n1,則a2+a2+a3+a?等于()A.(3n1)2B.；(9n1)C.9n1D.4(3n1)例7.在等比數(shù)列an中，a2=1，則其前3項的和S3的取值范圍是.例8.已知數(shù)列an滿足log3an+1=log3an+1(nN)，且比+a4+a6=9,則g1(a5+a7+a9)3的值是（）A.5B例9.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，比二

12、、2-1,a5=.21，則a；2a?a6asa?=D.8-4.2()A.8B例10.若等比數(shù)列an的前n項均為正數(shù)，且a10a11-a9a12=2e5，則Ina1+Ina2+lna2o=.£.3數(shù)列求和一. 課程目標(biāo)：1. 熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式；掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法二. 知識梳理求數(shù)列的前n項和的方法(1) 公式法等差數(shù)列的前n項和公式_n(ai+an(n1)S=2=na1+2d. 等比數(shù)列的前n項和公式(i)當(dāng)q=1時，Sn=na1；a1(1q)a1anq(ii)當(dāng)q為時，Sn=-一=.1q1q分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化

13、為幾個等差、等比數(shù)列，再求解裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣錯位相減法即等比數(shù)列求和主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，公式的推導(dǎo)過程的推廣.1. 常見的裂項公式(1)(1)1_1_1n(n1)nn11(2n-1)(2n1)12n1_f=Jn+1_你.nrn1三. 考點梳理求數(shù)列的通項公式。1*2例1.已知數(shù)列an滿足ai=1,an書=1,其中nN.設(shè)bn=,求證：數(shù)列bn4an2a1是等差數(shù)列，并求出an的通項公式；2 3a1例2.已知數(shù)列an滿足a1=-,an

14、+1=n,nN+.求證：數(shù)列一-2是等比數(shù)列，并74an+1an且求出數(shù)列an的通項公式；1例3.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1,SSn4anJ-(nN*且n2),數(shù)列bn237*滿足：0=-一，且3bnbn=n+1(nN且n支).4(I)求數(shù)列an的通項公式；(n)求證：數(shù)列bn-a.為等比數(shù)列；例4.在數(shù)列an中，已知&=1,a3,an2=2an1-2an.證明數(shù)列a.r-an是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；例5.數(shù)列an滿足a2,2n1an_2na.1二(nN*)。設(shè)bn:(n1)%2nan2求數(shù)列0的通項公式。例6.數(shù)列an滿足a-=2,a-a2a3=12，且a2an-

15、an0(n?N*)。(1)求數(shù)列an的通項公式；4n1令bn=+2nan,求數(shù)列bn的前n項和.anan+3 752例7.數(shù)列an中，a1,a2，且an.2andan(nN*).3333(1) 求a3,a4;(2) 求數(shù)列an的通項公式；求通項公式的方法： 利用Sn1-Sn=an；根據(jù)目標(biāo)數(shù)列構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后通過等差、等比數(shù)列的通項公式反推出原數(shù)列的通項公式；2的步驟 如果遞推公式是有數(shù)列的前后三項組成，可先構(gòu)造等比或等差數(shù)列，然后按照進(jìn)行反推。1. 數(shù)列求和(1)分組轉(zhuǎn)化法若數(shù)列Cn的通項公式為Cn=an_bn，且an,bn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列Cn的前n項和.Ia

16、n,n為奇數(shù)， 若數(shù)列Cn的通項公式為Cn=其中數(shù)列an,g是等比數(shù)列或等差數(shù)bn,n為偶數(shù)，列，可采用分組求和法求an的前n項和.1a1例1.在數(shù)列an中，已知a1,n1,bn2=3log1an(N*).4an44(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(3)設(shè)數(shù)列Cn滿足Cn=anbn，求Cn的前n項和Sn.*112例2.已知an是等比數(shù)列，前n項和為S(nN)，且，S6-63.a1a2a3(1)求an的通項公式；若對任意的nN,bn是log2an和log2an1的等差中項，求數(shù)列(T)nb；的前2n項和.11111項和S的值等于（例3.數(shù)列12,34，58,716,-

17、，(2n1)+2n,的前n)2,1-2,1A.n+1n2B.2nn+1-n22,12,1C.n+12n"1D.nn+12n例4.數(shù)列an的通項公式an二ncos，其前n項和為S,貝yS2等于（）A.1008B.2016（2）裂項相消法： 利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項. 將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.2例1.（2015全國I卷）S為數(shù)列an的前n項和.已知an>0,an+2an=4$+3.（1）求an的通項公式；1設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項和.anan

18、+1例2.設(shè)S為等差數(shù)列an的前n項和，已知a7,a*2as=3.(1)求an；1設(shè)bn=S，求數(shù)列bn的前n項和為Tn.1例3.已知數(shù)列an的前n項和S=an-()n-1+2(nN)，數(shù)列bn滿足bn=2nan.2(1)求證數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式；,n225*(2)設(shè)Cn=log2，數(shù)列的前n項和為Tn,求滿足TnV(nN)的n的最anCnCn4221大值.例4.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,ai=1，且an+i=2S+1,nN?.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令c=log1?3a2n,bn=，記數(shù)列bn的前n項和為Tn,若對任意nN,入VTn恒cncn42成立，求實數(shù)入的取值范圍.(3) 錯位相減法：一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解。在寫出s”與qs”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出sqS”的表達(dá)式.例1.已知等差數(shù)列an的前n項和S滿足S3=6,$=15.(1)求an的通項公式；a設(shè)bn=，求數(shù)列b