等差、等比數(shù)列以及數(shù)列求和專題

1、§6.2等差數(shù)列課程目標(biāo)理解等差數(shù)列的概念;1. 掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；2. 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.二知識(shí)梳理定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：an+1an=d（nN,d為常數(shù)），或anan1=d（n絲，d為常數(shù)）.通項(xiàng)公式若等差數(shù)列an的首項(xiàng)是ai,公差是d,則其通項(xiàng)公式為an=ai+(n1)d.1. 前n項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=na1-n(

2、ni)d=an)其中nN*,ai為首項(xiàng)，2d為公差，an為第n項(xiàng)).3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，S是an的前n項(xiàng)和.(1) 通項(xiàng)公式的推廣：an二am，(n_m)d(n,m：=N*)(2) 若耐n=p+q(mn,p,qN)，則有aaaaq。特別的，當(dāng)m+n=2p時(shí)，aman=2ap(3) 等差數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)d>0時(shí)，an是遞增數(shù)列；當(dāng)dv0時(shí)，an是遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時(shí)，an是常數(shù)列.(4) 若an是等差數(shù)列，公差為d,貝yak,ak+m,ak+2m(k,肚N)是公差為md的等差數(shù)列.(5) 若an,bn是等差數(shù)列，則panqbn仍是等差數(shù)列.2. 與等差數(shù)列各項(xiàng)

3、和相關(guān)的性質(zhì)(1)若an是等差數(shù)列，貝叫蛍也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與an的首項(xiàng)相同，公差為an的n1公差的丄。2(2)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m_S2m也是等差數(shù)列(3)關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)。a.若項(xiàng)數(shù)為2n，則S禺-S奇二nd,S呂禺b.若項(xiàng)數(shù)為2n-1,則S禺二n(n-1)an,S奇二nan,S偶(4)若兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,則色bnT2n/3. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系：d2d2(1) Sn2(a-)n，數(shù)列an是等差數(shù)列？$=An+Bn(A,B為常數(shù)).(2) 在等差數(shù)列an中，a1>0,dv0,貝US存在最大值；若av0,d

4、>0,貝US存在最小值.考點(diǎn)梳理等差數(shù)列的概念及運(yùn)算例1.(2016全國(guó)I卷)已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則aeo=()例2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,Sb=6,S=12,則$=練習(xí)1.(2015全國(guó)I卷)已知an是公差為1的等差數(shù)列，S為an的前n項(xiàng)和.若$=4S,則a10等于()171922等差數(shù)列的性質(zhì)例1.（2015全國(guó)n卷）設(shè)S是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若ai+a3+as=3,貝U0=（）例2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若S3=9,$=36,貝Ua?+a*+ao等于（）例3.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390，則

5、這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）例4.（2015廣東卷）在等差數(shù)列an中，若a3+a4+as+a6+a7=25,貝Va2+a8=例5.（2016武漢調(diào)研）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1+a7=8,a2=2，則數(shù)列an的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4例6.設(shè)等差數(shù)列an,bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若對(duì)任意自然數(shù)n都有7=?二3則Tn4n3_ag_b5+b7_ag_b5+b7_as_b8+b4的值為等差數(shù)列與函數(shù)例1.等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,已知a1=13,S=S1，當(dāng)$最大時(shí)，n的值是（）a69例2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,a1>0且一=一，則當(dāng)S取最大值時(shí)，n的值為（）a511

6、例3.已知等差數(shù)列an滿足ai+a2+as+-+aioi=0，則有()A.ai+aioi>0B.A.ai+aioi>0B.a2+aiooV0C.a3+a99=0D.a5i=51例4.已知正項(xiàng)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若S2=24,則a6a7的最大值為()例5.設(shè)Sn是公差為d(d=0)的無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是()若d<0，則數(shù)列Sn有最大項(xiàng)A. 若數(shù)列Sn有最大項(xiàng)，則d<0若數(shù)列Sn為遞增數(shù)列，則對(duì)任意nN*，均有Sn>0B. 若對(duì)任意N*，均有Sn>0,則數(shù)列Sn為遞增數(shù)列例6.設(shè)等差數(shù)列an滿足a2=7,a4=3,S是數(shù)列an的

7、前n項(xiàng)和，則使得S>0成立的最大的自然數(shù)n是()A.9B.10C.11D.12方法總結(jié)：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1) 利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和S=Ar2+Bn(A,B為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.§6.3等比數(shù)列一課程目標(biāo)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；1. 能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題;了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.二知識(shí)梳理等比數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零

8、常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q（q老）表示.數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：q（n絲，q為非零常數(shù)），或一q（nN,q為非零常數(shù)）.ch1an如果三個(gè)數(shù)a,Gb成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，其中G=±ab.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式n一1（1）若等比數(shù)列a“的首項(xiàng)為ai，公比是q,則其通項(xiàng)公式為an=aiq;通項(xiàng)公式的推廣：nmanamq.等比數(shù)列的前a1(1qn)a1anqn項(xiàng)和公式：當(dāng)q1時(shí)，Sna；當(dāng)q為時(shí)，Sy1q1q3.等比數(shù)列的性質(zhì)已知an是等比數(shù)列，S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(1)若k+I=n(k,l,mnN)，則有akai=

9、aman.數(shù)列can(c式0),an,anbn(bn是等比數(shù)列)，a；,等也是等比數(shù)列。相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak,ak+m,ak+；m,仍是等比數(shù)列，公比為mq.當(dāng)q=1,或q=1且n為奇數(shù)時(shí)，S,SnS,&一&仍成等比數(shù)列，其公比為qn.等比數(shù)列an的單調(diào)性：當(dāng)q>1,a0或0vqv1,av0時(shí)，數(shù)列an是遞增數(shù)列；當(dāng)q>1,a1v0或0vqv1,a>0時(shí)，數(shù)列an是遞減數(shù)列；當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列an是常數(shù)列.（6）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，S偶S奇q；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S奇=a1S偶q三考點(diǎn)梳理等比數(shù)列的概念及運(yùn)算5例1.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列an中，若a3

10、=1,a2a,則a1=（）2例2.公比不為1的等比數(shù)列an滿足a5a6-a4a?=18，若a1a9，則m的值為（）例3.（2015全國(guó)I卷）在數(shù)列an中，a1=2,an+1=2an,S為an的前n項(xiàng)和.若S=126,貝Hn=.1. 等比數(shù)列的性質(zhì)例1.（2016全國(guó)I卷）設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10,a2+a4=5，貝Uaa?an的最大值為例2.設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,若=3，則|=()78A.2B.3C.3D.3例3.(2015全國(guó)n卷)已知等比數(shù)列an滿足a1=3,a1+a3+a5=21,則a3+a5+a?=()例4.設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列an，&為前n項(xiàng)和，且S10=1

11、0,$。=70,那么S。等于（）A.150B.200C.150或200D.400或50例5.在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，已知ai&a3=4,a4asa6=12,anianan+1=324,則n等于()例6.數(shù)列an中，已知對(duì)任意nN,ai+a2+as+an=3n1,則a2+a2+a3+a?等于()A.(3n1)2B.；(9n1)C.9n1D.4(3n1)例7.在等比數(shù)列an中，a2=1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是.例8.已知數(shù)列an滿足log3an+1=log3an+1(nN)，且比+a4+a6=9,則g1(a5+a7+a9)3的值是（）A.5B例9.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，比二

12、、2-1,a5=.21，則a；2a?a6asa?=D.8-4.2()A.8B例10.若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11-a9a12=2e5，則Ina1+Ina2+lna2o=.£.3數(shù)列求和一. 課程目標(biāo)：1. 熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法二. 知識(shí)梳理求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1) 公式法等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式_n(ai+an(n1)S=2=na1+2d. 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(i)當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；a1(1q)a1anq(ii)當(dāng)q為時(shí)，Sn=-一=.1q1q分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化

13、為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣錯(cuò)位相減法即等比數(shù)列求和主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，公式的推導(dǎo)過程的推廣.1. 常見的裂項(xiàng)公式(1)(1)1_1_1n(n1)nn11(2n-1)(2n1)12n1_f=Jn+1_你.nrn1三. 考點(diǎn)梳理求數(shù)列的通項(xiàng)公式。1*2例1.已知數(shù)列an滿足ai=1,an書=1,其中nN.設(shè)bn=,求證：數(shù)列bn4an2a1是等差數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式；2 3a1例2.已知數(shù)列an滿足a1=-,an

14、+1=n,nN+.求證：數(shù)列一-2是等比數(shù)列，并74an+1an且求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1例3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1,SSn4anJ-(nN*且n2),數(shù)列bn237*滿足：0=-一，且3bnbn=n+1(nN且n支).4(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n)求證：數(shù)列bn-a.為等比數(shù)列；例4.在數(shù)列an中，已知&=1,a3,an2=2an1-2an.證明數(shù)列a.r-an是等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；例5.數(shù)列an滿足a2,2n1an_2na.1二(nN*)。設(shè)bn:(n1)%2nan2求數(shù)列0的通項(xiàng)公式。例6.數(shù)列an滿足a-=2,a-a2a3=12，且a2an-

15、an0(n?N*)。(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；4n1令bn=+2nan,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.anan+3 752例7.數(shù)列an中，a1,a2，且an.2andan(nN*).3333(1) 求a3,a4;(2) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；求通項(xiàng)公式的方法： 利用Sn1-Sn=an；根據(jù)目標(biāo)數(shù)列構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后通過等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式反推出原數(shù)列的通項(xiàng)公式；2的步驟 如果遞推公式是有數(shù)列的前后三項(xiàng)組成，可先構(gòu)造等比或等差數(shù)列，然后按照進(jìn)行反推。1. 數(shù)列求和(1)分組轉(zhuǎn)化法若數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式為Cn=an_bn，且an,bn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和.Ia

16、n,n為奇數(shù)， 若數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式為Cn=其中數(shù)列an,g是等比數(shù)列或等差數(shù)bn,n為偶數(shù)，列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和.1a1例1.在數(shù)列an中，已知a1,n1,bn2=3log1an(N*).4an44(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(3)設(shè)數(shù)列Cn滿足Cn=anbn，求Cn的前n項(xiàng)和Sn.*112例2.已知an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為S(nN)，且，S6-63.a1a2a3(1)求an的通項(xiàng)公式；若對(duì)任意的nN,bn是log2an和log2an1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列(T)nb；的前2n項(xiàng)和.11111項(xiàng)和S的值等于（例3.數(shù)列12,34，58,716,-

17、，(2n1)+2n,的前n)2,1-2,1A.n+1n2B.2nn+1-n22,12,1C.n+12n"1D.nn+12n例4.數(shù)列an的通項(xiàng)公式an二ncos，其前n項(xiàng)和為S,貝yS2等于（）A.1008B.2016（2）裂項(xiàng)相消法： 利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng). 將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等.2例1.（2015全國(guó)I卷）S為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.已知an>0,an+2an=4$+3.（1）求an的通項(xiàng)公式；1設(shè)bn=，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.anan

18、+1例2.設(shè)S為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a7,a*2as=3.(1)求an；1設(shè)bn=S，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.1例3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=an-()n-1+2(nN)，數(shù)列bn滿足bn=2nan.2(1)求證數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,n225*(2)設(shè)Cn=log2，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,求滿足TnV(nN)的n的最anCnCn4221大值.例4.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,ai=1，且an+i=2S+1,nN?.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令c=log1?3a2n,bn=，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意nN,入VTn恒cncn42成立，求實(shí)數(shù)入的取值范圍.(3) 錯(cuò)位相減法：一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列bn的公比，然后作差求解。在寫出s”與qs”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出sqS”的表達(dá)式.例1.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和S滿足S3=6,$=15.(1)求an的通項(xiàng)公式；a設(shè)bn=，求數(shù)列b