一. 無窮積分性質

1、( )daf xx收斂的充要條件是收斂的充要條件是: :0,Ga 1221( )d( )d( )d.uuuaauf xxf xxf xx 12,u uG當當時時(無窮積分收斂的柯西準則無窮積分收斂的柯西準則) )無窮積分無窮積分 定理定理11.111.1,b，auaf上可積在任何有限區(qū)間若且有同斂散與則，dxxfdxxfba)()(.)()()(dxxfdxxfdxxfbbaa性質性質，k，kdxxfdxxfaa為任意常數(shù)都收斂與若2121,)()(且也收斂則，dxxfkxfka)()(2211aaadxxfkdxxfkdxxfkxfk)()()()(22112211性質性質2其中右邊第一項為

2、定積分其中右邊第一項為定積分. .，dxxf，uafa收斂且上可積在任何有限區(qū)間若)(,并有必收斂則，dxxfa)(.)()(dxxfdxxfaa 注注.)()(為絕對收斂為絕對收斂稱稱收斂時收斂時當當 aadxxf，dxxf性質說明：絕對收斂的級數(shù)自身一定收斂性質說明：絕對收斂的級數(shù)自身一定收斂我們稱收斂而不絕對收斂的級數(shù)為條件收斂我們稱收斂而不絕對收斂的級數(shù)為條件收斂性質性質3但自身收斂的級數(shù)但自身收斂的級數(shù), 不一定絕對收斂不一定絕對收斂都在任何有限區(qū)間和上的兩個函數(shù)設定義在gfa),),),()(axxgxf1 1、定理、定理11.2 11.2 （比較準則）（比較準則）且滿足, , a

3、 u 上可積;)(,)(收斂則收斂若dxxfdxxgaa.)(,)(發(fā)散則發(fā)散若aadxxgdxxfaadxxgdxxf，ci;)()(0)(同斂散與時當且且上可積上可積都在任何有限區(qū)間都在任何有限區(qū)間和和設設, 0)(, x，guagf;)()(0)(收斂則收斂若時當dxxf，dxxg，ciiaa.)()()(發(fā)散則發(fā)散若時當dxxf，dxxg，ciiiaa2 2、推論、推論1 1:,)()(lim則有cxgxfx且在任何有限定義在設，aaf)0)(,3 3、柯西判別法、柯西判別法推論推論2 2則有上可積區(qū)間，ua,1(1)( ), ,)1( );paf xxapf x dxx當且0時收斂

4、發(fā)散時且當.)(1),1)()2(dxxfpaxxxfap.)(limxfxpx推論推論3且在任何有限區(qū)間定義在設，af),且上可積，,ua則有則有: :(i)(i)當當1,0p 時時, ,|( )|af xdx 收斂收斂; ;(ii)(ii)當當1,0p 時時, ,|( )|af xdx 發(fā)散發(fā)散. .定理定理11.3 (狄利克雷判別法狄利克雷判別法) 若若( )( )uaF uf x dx在在 ,)a 上有界上有界, ,( )g x在在 ,)a 上當上當x時單調趨于時單調趨于0,0,則則( ) ( )af x g x dx收斂收斂. .證證: :由條件設由條件設|( )|, ,).af x

5、 dxM ua任給任給0,由于由于lim( )0,xg x因此存在因此存在,Ga當當xG時時, ,有有|( )|.4g xM又因又因( )g x為單調函數(shù)為單調函數(shù), ,利用積分第二中值定理利用積分第二中值定理, ,對于任何對于任何21,uuG存在存在12 ,u u使得使得221112( ) ( )()( )()( ).uuuuf x g x dxg uf x dxg uf x dx于是有于是有221112|( ) ( )| |()| |( )|()|( )|uuuuf x g x dxg uf x dxg uf x dx1212| ( )| |( )( )| ()|( )( )|uuaaaa

6、g uf x dxf x dxg uf x dxf x dx22.44MMMM根據(jù)柯西準則根據(jù)柯西準則: :( ) ( )af x g x dx收斂收斂. .若若 adxxf)(則則上上單單調調有有界界在在收收斂斂，ax，g),)( .)()(收收斂斂 adxxgxf定理定理11.4 (阿貝爾判別法阿貝爾判別法) 例例1 1 討論討論1sinpxdxx與與1cospxdxx的收斂性的收斂性. .解解 (i)(i) 當當1p 時時1sinpxdxx絕對收斂絕對收斂. .因為因為sin1|,1,),ppxxxx而而11pdxx當當1p 時收斂時收斂, ,故由比較法則推知故由比較法則推知1sin|p

7、xdxx收斂收斂. .(ii)(ii) 當當01p1,u 1|sin| |cos1 cos| 2,uxdxu而而1px當當0p 時單調趨于時單調趨于0(),x 故由狄利克雷判別法推知故由狄利克雷判別法推知1sinpxdxx當當0p 時總是收斂的時總是收斂的. .又由于又由于2sinsin1cos2|,1,)22pxxxxxxxx其中其中12cos21cos22xtdxdtxt滿足狄利克雷判別條件滿足狄利克雷判別條件, , 是收斂的是收斂的, , 而而12dxx是發(fā)散的是發(fā)散的, ,因此當因此當01p時該無窮積分不是絕對收斂的時該無窮積分不是絕對收斂的. .所以它是條件收斂的所以它是條件收斂的.

8、 .例例2.討論下列無窮積分的收斂性，討論下列無窮積分的收斂性， 0521.1)2(;)1(dxxxdxexx 解解(1)：都有都有由于由于,R , 0limlim22 xxxxexexx 根據(jù)柯西判別法根據(jù)柯西判別法 1dxexx .都收斂都收斂R 解解()：11lim5221 xxxx由由于于根據(jù)柯西判別法根據(jù)柯西判別法 0521dxxx.發(fā)發(fā)散散例例3.1134的收斂性的收斂性判別反常積分判別反常積分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根據(jù)比較原則，根據(jù)比較原則，.1134收收斂斂反反常常積積分分 xdx例例4.1122/3的的收收斂斂性性判判別別反反常常積積分分

9、dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 根據(jù)極限判別法，所給反常積分發(fā)散根據(jù)極限判別法，所給反常積分發(fā)散例例5.arctan1的收斂性的收斂性判別反常積分判別反常積分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 根據(jù)極限判別法，所給反常積分發(fā)散根據(jù)極限判別法，所給反常積分發(fā)散證證).)()(21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且且,)(收收斂斂dxxfa .)(也也收收斂斂dxxa , )()(2)(xfxxf 但但,)()(2)( bababadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 即即收斂收斂.也也收收斂斂則則收收斂斂如如果果上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設設函函數(shù)數(shù)定定理理dxxfdxxf，axfaa )(;)(),)(例例5.)0,(sin0的收斂性的收斂性常數(shù)常數(shù)都是都是判別反常積分判別反常積分