第三章 柯西定理

1、1第一節(jié)第一節(jié) 柯西定理柯西定理 1.1復變函數(shù)的積分 1.2 幾個引理 1.3 柯西定理21.有向曲線有向曲線: 設設C 為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或分段光滑或分段光滑) )曲線曲線, , 如果選定如果選定C 的兩個可能方向中的一個作的兩個可能方向中的一個作為正方向為正方向( (或正向或正向),),那么我們就把那么我們就把C 理解為帶理解為帶有方向的曲線有方向的曲線, , 稱為稱為有向曲線有向曲線。xyoAB如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負向的負向, . C記記為為1.1 復變函數(shù)的積分復變函數(shù)的積分一、積分的定義

2、一、積分的定義3簡單閉曲線正向的定義簡單閉曲線正向的定義: 簡單閉曲線簡單閉曲線C的正向的正向是指當曲線上的點是指當曲線上的點P順此方順此方向前進時向前進時, , 鄰近鄰近P點的曲線點的曲線的內部始終位于的內部始終位于P點的左方點的左方. xyoPPPP與之相反的方向就是曲線的負方向與之相反的方向就是曲線的負方向.關于曲線方向的說明關于曲線方向的說明: 在今后的討論中在今后的討論中,常把兩個端點中的一個作常把兩個端點中的一個作為起點為起點, 另一個作為終點另一個作為終點, 除特殊聲明外除特殊聲明外, 正方正方向總是指從起點到終點的方向向總是指從起點到終點的方向.42.2.積分的定義積分的定義:

3、 : ( ) , wf zDCDAB 設函數(shù)定義在區(qū)域內為區(qū)域內起點為終點為 的一條光滑的有向曲線.oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1(1,2, ) ,kkkzzkn第二步:在每個弧段上任意取一點011 , ,kknCnAzzzzzB第一步:把曲線任意分成個弧段 設分點為111 () ()(),nnkkkknkkkSfzzfz作和式11 , . kkkkkkzzzszz其中的長度(51 max,kk ns 第三步:記 , 0 時時無無限限增增加加且且當當 n , , ( ) , knCSf zC如果不論對的分法及的取法如何有唯一極限 那么稱這極限值為函數(shù)沿曲線的積分記為.)

4、(limd)(1knkknCzfzzf 注注:(1) , ( )d . CCf zz如果是閉曲線 那么沿此閉曲線的積分記為(2) , ( )( ),. Cxaxbf zu x當是軸上的區(qū)間且時此時積分就是一元實變函數(shù)定積分的定義61. 存在的條件存在的條件.d)( , )(一定存在一定存在積分積分是光滑曲線時是光滑曲線時是連續(xù)函數(shù)而是連續(xù)函數(shù)而如果如果 CzzfCzf二、積分存在的條件及計算方法二、積分存在的條件及計算方法連續(xù)一定可積，反之不一定成立。連續(xù)一定可積，反之不一定成立。7 : ddd )(相相乘乘后后求求積積分分得得到到與與yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)

5、( dddd )Cu xiv xiu yv y.dddd CCyuxviyvxu( )dddddCCCf zzu xv yiv xu y在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式2. 積分的計算方法積分的計算方法線積分法：線積分法：8 ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)()(),()()(),(d)()(),()()(),(d)( tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf參數(shù)方程法：參數(shù)方程法：推導過程：推導過程： ttztzfzzfCd)()(d)(9復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質復積分與實變

6、函數(shù)的定積分有類似的性質.(4)( )d( )d ;CCf zzf zz (1)( )d( )d ;() CCf zzf zz為常數(shù)(2) ( )( )d( )d( )d ;CCCf zg zzf zzg zz(5) ,( ), , ( )d( ) d.CCCf zMLCf zzf zsML設如果在上而 是曲線的長度 那末 三、積分的性質三、積分的性質12(3)( )d( )d( )d( )d ,nCCCCf zzf zzf zzf zz12 , nCC CC其中是由 光滑曲線連接而成.10例例1 解解 d , 34 . Cz zCi計算其中 為從原點到點的直線段3 ,01,4 ,xtCtyt

7、 曲線 的參數(shù)方程為, (34 ) , zi t此時 ,d)43(dtiz 120d(34 ) d Cz zi t t于是 d)43(102 tti .2)43(2i 11例例2 解解2 Re d , : (1) 1 ; (2) 1 ; (3) 1 1 .Cz zCiyxixi計算其中為從原點到點的直線段拋物線上從原點到點的弧段從原點沿軸到點再到的折線段(1) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x12(2) 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為xy

8、oi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i 13xyoi 11iy=x2xy (3) 積分路徑由兩段直線段構成積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數(shù)方程為軸上直線段的參數(shù)方程為),10()( tttz1到到1+i直線段的參數(shù)方程為直線段的參數(shù)方程為),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于于是是,dd, 1Re tizz 于于是是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 您發(fā)現(xiàn)了什么？您發(fā)現(xiàn)了什么？14例例3 解解 d , 2. CzzCz

9、計算其中為圓周積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22 iie)2( z因為因為 20d)sin(cos4 ii. 0 15例例4 解解0101 d , , () .nCzCzrzzn求為以為中心為半徑的正向圓周,為整數(shù)zxyor0z 積分路徑的參數(shù)方程為積分路徑的參數(shù)方程為),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri16zxyor0z , 0 時時當當 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 時時當當 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ni

10、nrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要結論重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關. .17例例5解解1 34 , d .CCizzi設為從原點到點的直線段 試求積分絕對值的一個上界 1)(0 ,)43( ttizC的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為11 , 3(41)Czitti在上22)14()3(1 tt2592542512 t,35 5, C曲線的長度為.325d1 Cziz故故18解解26 2221d.13CCzzzizz例設為上從到在第一象限的弧,證明21 , 1Cz 在上 , C曲線的長度為211z211

11、31z21d.13Czz故47 11d4 2.CCzizzz例設為從到的直線段,通過觀察線段上點到原點的距離,證明19思考題思考題 ( ) ( )d?Cf zf zz復函數(shù)的積分定義式與一元函數(shù)定積分是否一致 , , 是是實實軸軸上上區(qū)區(qū)間間若若C,d)(d)( xxfzzfC則則,)(是實值的是實值的如果如果xf即為一元實函數(shù)的定積分即為一元實函數(shù)的定積分.答案答案.d)( , , ,d)( )( ,C zzfzzfzf必必須須記記作作線線的的限限制制要要受受積積分分路路因因為為這這是是一一個個線線積積分分記記作作的的積積分分的的函函數(shù)數(shù)終終點點為為一一般般不不能能把把起起點點為為 201.

12、2 三個引理三個引理 引理2.1 引理2.2 引理2.321一一.柯西定理柯西定理 (1) ( ) , ( ) : ( )d0.Cf zDf zDCf zz 如果函數(shù)在單連通域內處處解析 那末函數(shù)沿內的任何一條閉合曲線的積分為零1.3 柯西定理10010101 (2) ( ) ,;( ).zzf zDCDzzCzzzzCf z dz如果函數(shù)在單連通域內處處解析是 內連接 及 兩點的任一條簡單曲線 那么沿 從 到 的積分值由 及 所決定 不依賴于曲線這時積分也可記作 22DD 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz終點為終點為如果起點為如果起點為 21d)(d)(CCzzfzzf

13、 10d)(zzzzf011 , , , zzDzz如果固定讓在內變動 并令0 ( )( )d . zzDF zf便可確定內的一個單值函數(shù)23關于定理的說明關于定理的說明:(1) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 D 的邊界的邊界, )( 在在函函數(shù)數(shù)zf , DDC即在閉區(qū)域上解析 那么 , DC內與上解析( )d0.Cf zz (2) 如果曲線如果曲線 C 是區(qū)域是區(qū)域 D 的邊界的邊界, )( 在在函函數(shù)數(shù)zf ,DDC在閉區(qū)域上連續(xù) 那末定理仍然成立. , D 內解析常用這個結論！常用這個結論！24例例1 1解解11 d .23zzz計算積分 , 1 321 內內解解析析在在函函數(shù)數(shù)

14、 zz由柯西定理由柯西定理, 有有11 d0.23zzz2211112 d ,d ,d ,322zzzzzzzezzzzz例 .計算積分11 tan d ,ln(2)d .zzz zzz25例例3 32121 d .(1)z izz z 計算積分解解221111111,(1)12z zzzzzizi111 , 2zizzi因為和都在上解析根據(jù)柯西定理得根據(jù)柯西定理得1211111d22z izzzizi 2121 d(1)z izz z 1211d2z izzi i 221. i 26二二. . 復合閉路定理復合閉路定理012120 1, , , , , , , .nnnC CCCDCCCC設

15、有條簡單閉合曲線圍成有界多連通區(qū)域其中互不相交互不包含 并且都包含于DC1C2C3C那末那末01(2)( )d( )d .knkCCf zzf zz( ),f zD設在 上解析(1)( )d0.Cf zz 27例例1 1解解2221 d . zzzzz計算積分221 0 1,zzzzz因為函數(shù)在復平面內有兩個奇點和122 ,zCC在內分別以0和1為圓心作兩個互不相交互不包含的圓周和由復合閉路定理由復合閉路定理,得得221dzzzz12222121ddCCzzzzzzzz11221111dddd11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 2 .z 它們都在內28例例2 2 . 1 2 ,

16、d 所組成所組成向圓周向圓周和負和負為正向圓周為正向圓周計算積分計算積分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21圍圍成成一一個個圓圓環(huán)環(huán)域域和和CC, 上處處解析上處處解析在此圓環(huán)域和其邊界在此圓環(huán)域和其邊界函數(shù)函數(shù)zez圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理根據(jù)閉路復合定理,. 0d zzez29113d , , .()nzanza例求為含的任一簡單閉路為整數(shù)解解 , 內部內部在曲線在曲線因為因為 a a , 故故可可取取很很小小的的正正數(shù)數(shù) , : 1內內部部含含在在使使 az1 , )(111內內處處處處解解析析為為邊邊界界的的復復連連通通域域在

17、在以以 naz30由復合閉路定理由復合閉路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此結論非常重要此結論非常重要, 用起來很方用起來很方便便, 因為因為不必是圓不必是圓, a也不必是也不必是圓的圓心圓的圓心, 只要只要a在簡單閉曲線在簡單閉曲線內即可內即可.31 ( ) , ( )d . Cf zDf zzC柯西定理 如果函數(shù)在單連通域內處處解析那末積分與連結起點及終點的路線無關三三. .定積分定積分DD 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , ,

18、 10zz終點為終點為如果起點為如果起點為 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf011 , , , zzDzz如果固定讓在內變動 并令0 ( )( )d . zzDF zf便可確定內的一個單值函數(shù)320 ( ) , ( )( )d , ( )( ). zzf zDF zfDF zf z定理1 如果函數(shù)在單連通域內處處解析那末函數(shù)必為內的一個解析函數(shù) 并且定理定理2101001 ( ) ,( ) ( ) , ( )d( )(), , .zzf zDF zf zf zzF zF zzzD如果函數(shù)在單連通域內處處解析為的一個原函數(shù) 那末其中為區(qū)域內的兩點( (類似于牛頓類似于牛頓-

19、 -萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )33例例解解 . d 10的的值值求求 zzzz , z因為在整個復平面上解析 ,21 2z它的原函數(shù)是它的原函數(shù)是由牛頓由牛頓-萊布尼茲公式知萊布尼茲公式知, 21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 34第二節(jié)第二節(jié) 柯西公式柯西公式 柯西公式 高階導數(shù)公式 柯西不等式 莫勒拉定理350 , . DzD設為一單連通域為中一點0( ) d,Cf zzzz所以一般不為零00( ) ( ) , . f zf zDDzzz如果在內解析 那末在 內的點不解析根據(jù)復合閉路定理知根據(jù)復合閉路定理知,該積分值不隨閉曲線該積分值不隨閉曲線 C 的變的變化而

20、改變化而改變, 求這個值。求這個值。0. CDz其中為內圍繞的閉曲線一、柯西公式1.問題的提出36(1)( ) ; f zD在區(qū)域內處處解析(2) , ;CDD為內的任何一條正向簡單閉曲線 它的內部完全含于0(3) , zC為內任一點定理定理4.1 ( ) f z如果函數(shù)滿足下列三個條件:D 0zC001( ) ()d .2Cf zf zzizz那末2.柯西公式柯西公式37關于柯西積分公式的兩點說明關于柯西積分公式的兩點說明: :(1) 把函數(shù)在把函數(shù)在C內部任一點的值用它在邊界上的內部任一點的值用它在邊界上的值表示值表示. (這是解析函數(shù)的又一特征這是解析函數(shù)的又一特征)(2) 公式不但提供

21、了計算某些復變函數(shù)沿閉路積公式不但提供了計算某些復變函數(shù)沿閉路積分的一種方法分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個積分而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式表達式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具這是研究解析函數(shù)的有力工具)38D 0zCK , 0時時當當 zz . )()(0 zfzf, :)( , 00的內部的內部全在全在的正向圓周的正向圓周半徑為半徑為為中心為中心設以設以CRzzKRRz R Czzzzfd)( 0則則 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(2000 , )( 0連連續(xù)續(xù)在在因因為為zzf, 0 則則,

22、0)( 證明：證明：39 Kszzzfzfd)()(00.2d KsR上不等式表明上不等式表明, 只要只要 R 足夠小足夠小, 左端積分的模就左端積分的模就可以任意小可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知, 左端積分的值與左端積分的值與 R 無關無關, 所以只有在對所有的所以只有在對所有的 R 積分值為零時才有可能積分值為零時才有可能.證畢證畢 Czzzzfizfd)(21)(00柯西積分公式柯西積分公式 Kzzzzfzfd)()(0040解解441 1sin12(1)d ;(2)d .213zzzzzizzz例求下列積分(1) ( )sin , f zz因為在復平面內解析 , 4

23、0內內位位于于 zz 4dsin21zzzzi; 0 由柯西積分公式得由柯西積分公式得0sin221 zzii412(2)d13zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 412 d .1zzezz例2計算積分解解 ( ) 2, zf zez因為在內解析 , 2 1內內位位于于 zz由柯西積分公式得由柯西積分公式得122d1 zzzzeizze.2ie 2(1) d ?(1)(3)zzezzz思考:如何計算積分 ( ) 23zef zzz注意到在內解析.2(2) d ?(1)zzezz z如何計算積分先使用復合閉路定理，先使用復合閉路定理，再使用柯西公式即可！再使用柯西公式即

24、可！42例例3 3.d)1(1 212 izzzz計算積分計算積分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf 11 ( ) , ()2f zziz zi因為在內解析由柯西積分公式得由柯西積分公式得 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii . i 43例例4 4;211 (1): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中計算積分計算積分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 44例例4 4;211 (2): ,d14sin 2 zCzzzC其中其中計算積分計

25、算積分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解45由復合閉路定理由復合閉路定理, 得得例例4 4. 2 (3): ,d14sin 2 zCzzzC其其中中計計算算積積分分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 46解解2223715 3, ( )d . (1) (2).CCxyf zzfifi例設表示正向圓周求及根據(jù)柯西公式知根據(jù)柯西公式知, , 內時內時在在當當Czzizf )173(2)(2),173(22 zzi),76(2)( zizf故故 , 1

26、 內內在在而而Ci ).136(2)1( iif 所以所以 ,zC當不在內時( )0.f z 2 , iC而不在內 (2)0.fi所以47例例6 6.d)cos(sin ,d0cos1 ezzezz并證明并證明求積分求積分解解一方面，根據(jù)柯西積分公式知一方面，根據(jù)柯西積分公式知, 1dzzzze02 zzei;2 i , ()ize令 1dzzzzedieiieiee diee i 另一方面，用參數(shù)方程法來計算該積分：另一方面，用參數(shù)方程法來計算該積分： dsincosie i 48 dsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei,2d 1izzezz 因

27、為因為 cos0cosd)sin(sind)cos(sin2 eei 1dzzzze比較兩式得比較兩式得.d)cos(sin0cos ecos(cos(sin )+isin(sin )die49課堂練習課堂練習.d)1( 32 zzzzze計計算算積積分分答案答案1, 1, 0 zzz有三個奇點有三個奇點).2(d)1( 132 eeizzzezz50(1)( ) ; f zD在區(qū)域內處處解析(2) , ;CDD為內的任何一條正向簡單閉曲線 它的內部完全含于0(3) , zC為內任一點 ( ) f z如果函數(shù)滿足下列三個條件:定理定理4.2( )010!( ) ()d (1,2,).2()nn

28、Cnf zfzz nizz高階導數(shù)公式高階導數(shù)公式的作用高階導數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導不在于通過積分來求導, , 而在于通過求導來求積分而在于通過求導來求積分. .問：在高階導數(shù)公式中，當問：在高階導數(shù)公式中，當n=0n=0時是什么公式？時是什么公式？二、高階導數(shù)公式( ),f zD那么在內有任意階導數(shù) 且51 (2)高階導數(shù)公式是復積分的重要公式高階導數(shù)公式是復積分的重要公式. 它表明了它表明了解解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結論這一異常重要的結論, 同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)的本質區(qū)別同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)的本質區(qū)別.(1) 系系4.

29、1 解析函數(shù)必有各高階導數(shù)解析函數(shù)必有各高階導數(shù). (3) 高階導數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積高階導數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示分來表示, 這與實變函數(shù)完全不同這與實變函數(shù)完全不同.注：注： 52例例1 1.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求積分求積分解解3(1) ( )1 2, f zzz函數(shù)在內解析01 2 , zz 在內 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i ( )010!( ) ()d2()nnCnf zfzzizz根據(jù)高階導數(shù)公式得53 12dcos)2(zzzzze ( )cos 1,zf zezz函數(shù)在內解析

30、00 1 ,zz在內 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i ( )010!( ) ()d2()nnCnf zfzzizz根據(jù)高階導數(shù)公式得54例例2 2解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225為為正正向向圓圓周周其其中中計計算算下下列列積積分分(1)( )cos ,f zzC函數(shù)在內處處解析( )010!( ) ()d2()nnCnf zfzzizz由高階導數(shù)公式得 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i 01 ,zC在內55 , )1( )2(22

31、處處不不解解析析內內的的在在函函數(shù)數(shù)izCzez 1C2Cxyo iCi 12 - , CiiCC在內分別以和為圓心作兩個正向圓周和12 CCC使得和互不相交互不包含且都包含于 內.根據(jù)復合閉路定理及高階導數(shù)公式得根據(jù)復合閉路定理及高階導數(shù)公式得 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze122222()()dd()()zzCCeezizizzzizi222(2 1)!()()zzz iziieezizi(1)(1)22iii ei e.41sin2 i56例例3 3解解) (.d 1為整數(shù)為整數(shù)求積分求積分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在

32、在 zzenz由柯西定理得由柯西定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由柯西積分公式得由柯西積分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i , 1)3( n( )010!( ) ()d2()nnCnf zfzzizz由高階導數(shù)公式得 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni57練習練習 CzzzzzzgzC.d)()( , 302400求求的簡單閉曲線的簡單閉曲線是不通過是不通過設設答案答案 ; 0)( , 00 zgCz外外在在 . )16(2)( , 2000izzgCz 內內在在58例例4 4解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其其中中求求積積分分231 0 2, (2)zzzz函數(shù)有兩個奇點和, 23)1( z 2, z僅包含奇